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利用基本不等式求最值的类型及方法

利用基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式:

① a2 ? b2 ? 2ab ? ab ? a2 ? b2 (a、b ? R),当且仅当 a = b 时,“=”号成
2

立;

②a?b ? 2

ab

?

ab

?

??

a

?

b

?2 ?

(a、b

?

R?

),当且仅当

a

=

b 时,“=”号成

?2?

立;

③ a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? abc ? a3 ? b3 ? c3 (a、b、c ? R? ),当 且 仅 当 a = b = c
3
时,“=”号成立;



a?b?c

? 33

abc

?

abc

?

??

a

?

b

?

c

3
? ?

(a、b、c ? R? )

,当且仅当

a

=

b

=

c

?3?

时,“=”号成立.

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、

三“等”;



熟悉一个重要的不等式链: 2
1?1

?

ab ? a ? b ? 2

a2 ? b2 。
2

ab

二、函数 f (x) ? ax ? b (a、b ? 0) 图象及性质
x
(1)函数 f (x) ? ax ? b ?a、b ? 0? 图象如图:
x
(2)函数 f (x) ? ax ? b ?a、b ? 0? 性质:
x

y

o ? b 2 ab a

x

b ? 2 ab a

①值域: (??,?2 ab] ? [2 ab,??) ;

②单调递增区间: (??, ? b ],[ b , ??) ;单调递减区间: (0, b ] ,

a

a

a

[? b , 0) .
a
三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。



1、求函数

y

?

x

?

1 2(x ?1)2

(x

?

1)

的最小值。

解析: y ? x ? 1 (x ? 1) ? (x ?1) ? 1 ?1(x ? 1) ? x ?1 ? x ?1 ? 1 ?1(x ? 1)

2(x ?1)2

2(x ?1)2

2 2 2(x ?1)2

? 33

x ?1 x ?1 1 2 ? 2 ? 2(x ?1)2

?1 ?

3 ?1 2

?

5,
2

当且仅当

x

?1 2

?

1 2(x ?1)2

(x

?

1)



x

?

2

时,“=”号成立,故此函数最

小值是 5 。
2
评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条

件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)

等方式进行构造。

类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。

例 2、求下列函数的最大值:

① y ? x2 (3 ? 2x)(0 ? x ? 3)
2
解析:① 0 ? x ? 3 ,∴3 ? 2x ? 0 ,
2

② y ? sin2 x cos x(0 ? x ? ? )
2

∴ y ? x2 (3 ? 2x)(0 ? x ? 3) ? x ? x ? (3 ? 2x) ? [ x ? x ? (3 ? 2x)]3 ? 1,

2

3

当且仅当 x ? 3?2x 即 x ?1时,“=”号成立,故此函数最大值是 1。

② 0 ? x ? ? ,∴sin x ? 0,cos x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先
2

求 y 2 的最大值。

y2 ? sin4 x ? cos2 x ? sin2 x ?sin2 x ?cos2 x ? 1 (sin2 x ?sin2 x ? 2cos2 x) ? 1 ?(sin2 x ? sin2 x ? 2cos2 x)3 ? 4 ,

2

2

3

27

当 且 仅 当 sin2 x ? 2cos2 x ( 0? x ? ? )? t a nx ? 2, 即 x ? a rtca n 2时
2

“=”号成立,故此函数最大值是 2 3 。
9

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,

使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式

子)、平方等方式进行构造。

类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。

例 3、若 x、y? R? ,求 f (x) ? x ? 4 (0 ? x ? 1) 的最小值。
x

解法一:(单调性法)由函数 f (x) ? ax ? b (a、b ? 0) 图象及性质知,当 x ?(0,1]
x

时,函数

f

(x)

?

x

?

4 x

是减函数。证明:任取

x1,

x2

? (0,1] 且 0

?

x1

?

x2

? 1,则

f (x1) ?

f

( x2

)

?

( x1

?

x2

)

?

(

4 x1

?

4 )
x2

?

( x1

?

x2

)

?

4

?

x2 ? x1 x1x2

?

( x1

?

x2

)

?

x1x2 ? x1x2

4



∵0?

x1

?

x2

? 1 ,∴ x1

?

x2

? 0,

x1x2 ? 4 x1x2

? 0 ,则

f

(x1)

?f

(x

2)

?0

? f (x )1

? f (x )2



即 f (x) ? x ? 4 在 (0,1]上是减函数。故当 x ?1时, f (x) ? x ? 4 在 (0,1]上

x

x

有最小值 5。

解法二:(配方法)因 0 ? x ?1,则有 f (x) ? x ? 4 ? ( 2 ? x)2 ? 4 ,
xx

易知当 0 ? x ?1时,? ? 2 ? x ? 0且单调递减,则 f (x) ? ( 2 ? x)2 ? 4 在 (0,1] 上也是

x

x

减函数,

即 f (x) ? x ? 4 在(0,1]上是减函数,当 x ?1时, f (x) ? x ? 4 在 (0,1]上有最

x

x

小值 5。

解法三:(拆分法) f (x) ? x ? 4 (0 ? x ? 1) ? (x ? 1) ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ? 5 ,

x

xx

x1

当且仅当 x ?1时“=”号成立,故此函数最小值是 5。

评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有

一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。

类型Ⅳ:条件最值问题。

例 4、已知正数 x、y 满足 8 ? 1 ? 1,求 x ? 2y 的最小值。
xy
解法一:(利用均值不等式)

x ? 2y ? (8 ? 1 )(x ? 2 y) ? 10 ? x ? 16 y ? 10 ? 2 x ?16y ? 18,

xy

yx

yx

当且仅当

? ?? ? ?

8 x x

? ?

1 ?1
y即
16 y

x

?

12,

y

?

3

时“=”号成立,故此函数最小

?? y x

值是 18。

解法二:(消元法)由 8 ? 1 ? 1得 y ? x ,由 y ? 0? x? 0 又 ?x?0 ? x 8 ,

xy

x?8

x?8

则 x ? 2y ? x ? 2x ? x ? 2(x ?8) ?16 ? x ? 2 ? 16 ? (x ? 8) ? 16 ?10 ? 2 (x ? 8) ? 16 ?10 ? 18 。

x?8

x?8

x?8

x?8

x?8

当且仅当 x ?8 ? 16 即 x ? 12,此时y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值
x?8

是 18。

解法三:(三角换元法)令

?8

?? x

? ?

1

?? y

? ?

sin 2 x cos2 x

则有

? ??

x

?

? ??

y

? ?

8 sin 2 x
1 cos2 x

则: x ? 2y

?

8 sin2

x

?

2 cos2

x

? 8csc2

x ? 2sec2

x

? 8(1? cot2

x) ? 2(1? tan2

x)

? 10 ? 8cot2

x ? 2 tan2

x

?10 ? 2 (8cot2 x)?(2tan2 x) ?18,易求得 x ? 12,此时y ? 3 时“=”号成立,故最小值

是 18。

评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这

样一种错误的求解方法: x ? 2y ? (8 ? 1 )(x ? 2y) ? 2 8 ? 1 ? x ? 2y ? 8 。原因就是

xy

xy

等号成立的条件不一致。

类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。

例 5、已知正数 x、y 满足 xy ? x ? y ? 3,试求 xy 、 x ? y 的范围。

解法一:由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ? 3 ? xy ?3 ? x ? y ? 2 xy ,

即 ( xy)2 ? 2 xy ? 3 ? 0 解得 xy ? ?1(舍)或 xy ? 3 ,

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3时取“=”号,故 xy 的取值范围

是[9, ??) 。 又 x ? y ? 3 ? xy ? ( x ? y)2 ? (x ? y)2 ? 4(x ? y) ?12 ? 0 ? x ? y ? ?2(舍)或x ? y ? 6 ,
2
当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3时取“=”号,故 x ? y 的取值范围

是[6, ??) 。

解法二:由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? (x ?1) y ? x ? 3 知 x ?1,

则: y ? x ? 3 ,由 y ? 0 ? x ? 3 ? 0 ? x ? 1,

x ?1

x ?1

则: xy ? x ? x ? 3 ? x2 ? 3x ? (x ?1)2 ? 5(x ?1) ? 4 ? (x ?1) ? 4 ? 5 ? 2 (x ?1) ? 4 ? 5 ? 9 ,

x ?1 x ?1

x ?1

x ?1

x ?1

当且仅当 x ?1 ? 4 (x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范
x ?1
围是[9, ??) 。

x ? y ? x ? x ? 3 ? x ? x ?1? 4 ? x ? 4 ?1 ? (x ?1) ? 4 ? 2 ? 2 (x ?1) ? 4 ? 2 ? 6 ,

x ?1

x ?1

x ?1

x ?1

x ?1

当且仅当 x ?1 ? 4 (x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范
x ?1
围是[9, ??) 。

评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌

握构造的技巧。

四、均值不等式易错例析:

例 1. 求函数 y ? ?x ? 4??x ? 9? 的最值。
x

错解: y ? ?x ? 4??x ? 9? ? x 2 ? 13x ? 36 ? 13 ? x ? 36 ? 13 ? 2 x ? 36 ? 25

x

x

x

x

当且仅当 x ? 36 即 x ? ?6 时取等号。所以当 x ? ?6 时,y 的最小值为 25,此
x
函数没有最大值。

分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最 值 时 的 条 件 导 致 错 误 。 因 为 函 数 y ? ?x ? 4??x ? 9? 的 定 义 域 为
x
???,0???0, ? ??,所以须对 x 的正负加以分类讨论。

正解:1)当 x ? 0 时, y ? 13 ? x ? 36 ? 13 ? 2 x ? 36 ? 25

x

x

当且仅当

x

?

36 x



x

?

6时取等号。所以当

x

?

6 时, ymin

?

25

2)当 x ? 0 时, ?x ? 0, ? 36 ? 0 ,
x

?? x?

?

???

?

36 x

???

?

2

??

x????

?

36 x

???

? 12

当 且 仅 当 ?x ? ? 36 , 即 x ? ?6 时 取 等 号 , 所 以 当 x ? ?6 时 ,
x

ym a x? 13 ? 12 ? 1.

例 2.



x

?

0 时,求

y

?

4x

?

9 x2

的最小值。

错解:因为 x

? 0,y ?

4x ?

9 x2

?2

4x

?

9 x2

?

6 x

所以当且仅当 4x

?

9 x2

即x

3
?

9 4

时, ymin

?

6 ? 23 18 。
x

分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定

值”或“和为定值”,而上述解法中 4x



9 x2

的积不是定值,导致错误。

正解:因为

x

?

0,y

?

4x

?

9 x2

9 ? 2x ? 2x ? x2

3
?3

9 2x ?2x ? x2

? 33 36

当且仅当

2x

?

9 x2

,即

x

?

3

36 2

时等号成立,所以当

x

?

3

36 2

时,

ym i n ? 33 36 。

例 3. 求 y ? x 2 ? 5 (x ? R) 的最小值。
x2 ? 4

错解:因为 y?

x2 ?5 ?

x2 ? 4 ?

1

? 2 x2 ? 4 ? 1

?2 ,所以

x2 ? 4

x2 ? 4

x2 ? 4

ymin ? 2

分析:忽视了取最小值时须 x2 ? 4 ? 1 成立的条件,而此式化解得
x2 ? 4

x2 ? ?3 ,无解,所以原函数 y 取不到最小值 2 。

正解:令 t ? x 2 ? 4?t ? 2? ,则 y ? t ? 1 (t ? 2)
t

又因为 t

? 1时,y

?

t

?

1 是递增的。所以当 t
t

?

2 ,即 x

?

0 时,ymin

?

5 2



例 4.已知 x, y ? R? 且 1 ? 4 ? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值.
xy

错解:?1 ? 1 ? 4 ? 4 ? xy ? 4 ,?u ? x ? y ? 2 xy ? 8,? u 的最小值为8 .
x y xy

分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为 1 ? 4 和 x ? y ,
xy

而这两个式子不能同时成立,故取不到最小值8 .

正解: u ? (x ? y)( 1 ? 4 ) ? 5 ? 4x ? y ? 5 ? 4 ? 9

xy

yx

当且仅当 4x ? y 即 x ? 3, y ? 6 时等号成立. ? u 的最小值为9 .
yx

综上所述,应用均值不等式求最值要注意:

一要正:各项或各因式必须为正数;

二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出“和为定

值”或“积为定值”的式子结构,如果找不出“定值”的条件用这个定

理,求最值就会出错;

三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不

是最值。

技巧一:凑项

例 1:已知 x ? 5 ,求函数 y ? 4x ? 2 ? 1 的最大值。

4

4x ?5

解:因 4x ?5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4x ? 2) 1 不是常数,所
4x ?5

以 对 4x ? 2 要 进 行 拆 、 凑 项 , x ? 5 ,?5 ? 4x ? 0 ,
4

?

y

?

4x

?

2

?

1 4x ?

5

?

?

? ??

5

?

4x

?

5

1 ? 4x

? ??

?

3

?

?2

?

3

?

1,

当且仅当

5

?

4x

?

5

1 ? 4x

,即

x

? 1 时,上式等号成立,故当

x

? 1 时,

ymax

?

1。

技巧二:凑系数

例 2. 当

时,求 y ? x(8 ? 2x) 的最大值。

解析:由

知,

,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,注意到

2x ? (8 ? 2x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2x) 凑上一个系数即可。



,即 x=2 时取等号 当 x=2 时, y ? x(8 ? 2x) 的最大值为 8。

技巧三: 分离
例 3. 求 y ? x2 ? 7x ?10 (x ? ?1) 的值域。 x ?1
解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。



,即

时, y ? 2 (x ?1) ? 4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。



,即 t=

时, y ? 2 t ? 4 ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t

技巧五:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函

数 f (x) ? x ? a 的单调性。例:求函数 y ? x2 ? 5 的值域。

x

x2 ? 4

解:令 x2 ? 4 ? t(t ? 2) ,则 y ? x2 ? 5 ? x2 ? 4 ? 1 ? t ? 1 (t ? 2)

x2 ? 4

x2 ? 4

t

因 t ? 0,t ?1 ? 1,但 t ? 1 解得 t ? ?1不在区间?2, ??? ,故等号不成立,考虑单调

t

t

性。

因为 y ? t ? 1 在区间?1, ??? 单调递增,所以在其子区间?2,??? 为单调递增函
t

数,故 y ? 5 。
2

所以,所求函数的值域为

? ??

5 2

,

??

? ??



技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件

的一致性,否则就会出错。。

2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且 1 ? 9 ? 1,求 x ? y 的最小值。
xy

解:

x

?

0,

y

?

0,

1 x

?

9 y

? 1,?x

?

y

?

?x

?

y?

? ?

?

1 x

?

9 y

? ? ?

?

y x

?

9x y

?10

?

6

?10

?

16

当且仅当 y ? 9x 时,上式等号成立,又 1 ? 9 ? 1 ,可得 x ? 4, y ?12 时 ,

xy

xy

? x ? y?min ?16 。

巩固练习:

1、已知: x2 ? y 2 ? a, m2 ? n2 ? b 且 a ? b ,则 mx ? ny 的最大值为(

)

(A) ab

(B) a ? b
2

(C) a 2 ? b2
2

(D) a 2 ? b 2
2

2、若 a, x, y ? R? ,且 x ? y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(

)

(A) 2 2

(B) 2

(C)2

(D)1

3、已知下列不等式:① x3 ? 3 ? 2x(x ? R ? ) ;② a5 ? b5 ? a3b2 ? a 2b3 (a,b ? R? ) ;

③ a2 ? b2 ? 2(a ? b ?1) .其中正确的个数是(

)

(A)0 个

(B)1 个

(C)2 个

(D)3 个

4、设 a,b ? R? ,则下列不等式中不成立的是(

)

(A) (a ? b)(1 ? 1) ? 4 (B) a 2 ? b2 ? 2 ab

ab

ab

(C) ab ? 1 ? 2
ab

(D) 2ab ? ab
a?b

5、设 a,b ? R ? 且 2a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4a 2 ? b2 的最大值是(

)

(A) 2 ?1

(B) 2 ? 1
2

(C) 2 ?1

6、若实数 a,b 满足 a ? b ? 2 ,则 3a ? 3b 的最小值是(

(D) 2 ? 1
2
)

(A)18

(B)6

(C) 2 3

7、若正数 a,b 满足 ab ? a ? b ? 3,则 ab 的取值范围是

8、若 x, y ? R? ,且 2x ? y ? 1,则 1 ? 1 的最小值为
xy

(D) 24 3 .
.



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