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全国青年教师优质课大赛课件《数学归纳法》


巢湖市第四中学 胡善俊

创设问题情境 费马( 世纪法国著名的数学家, 费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家, ) 17世纪法国著名的数学家 2n 一定都是质数,这 他曾认为, 一定都是质数, 他曾认为,当n∈N时,2 +1 时的值都是质数, 是他观察当n=0,1,2,3,4时的值都是质数, 提出猜想得到的.半个世纪后,18世纪伟大的瑞 提出猜想得到的.半个世纪后,18世纪伟大的瑞 25 967 士科学家欧拉( 士科学家欧拉(Euler)发现 ) =4 2 +1 294 297=6700417×641, 297=6700417×641,从而否定了费马的推 这一结论便不成立. 测.没想到当n=5这一结论便不成立.

师生互动,探求新知 引例

2an 中 1 在数列{ 在数列 an}中, a=1, an+1 = 2+an
, 3 a 的值; (1)求 a2 a, 4 的值; )

(n∈ ∈

* ), N

(2)试猜想该数列的通项公式. )

2 1 2 a2 = , a3 = , a4 = 3 2 5

2 an = n +1

你能证明这个猜想是正确的吗?

第一块 骨牌倒下

任意相邻的两块牌, 任意相邻的两块牌, 前一块倒下一定导 致后一块牌倒下. 致后一块牌倒下.

1

2

3

4

……

k

K+1

……
2 k +1
2 (k + 1) + 1

n=1时 a1 = 1 猜想成立

……

如果n=k时猜想成立即ak =

那么当n=k+1时猜想也成立,即 ak +1 =

第一项 成立

第k项成立, 项成立, k+1项成立 项成立. 第k+1项成立. 演示

n0 ∈ N * ) 时命题成立 (1) 证明当 取第一个值 = n0 ( 证明当n取第一个值 取第一个值n
(2) 假设当 =k (k∈N*, k≥n0 ) 时命题成立 证明 设当n= 时命题成立, ∈ 时命题也成立. 当n=k+1时命题也成立. = + 时命题也成立
归纳递推 递推奠 基

证明一个与正整数有关的命题步骤如下: 证明一个与正整数有关的命题步骤如下:

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n 完成这两个步骤后 就可以断定命题对从 0开始 的所有正整数 n都正确. 都正确. 都正确

————这种证明方法叫做数学归纳法. 这种证明方法叫做数学归纳法. 这种证明方法叫做数学归纳法

知识应用 巩固深化
例1 用数学归纳法证明

n( n + 1)(2n + 1) 1 + 2 + 3 + K+ n = 6 *
2 2 2 2

其中n ∈ N .

知识应用 巩固深化

用数学归纳法证明: 用数学归纳法证明:
2+23+…+2n—1 = 1 1+2+2 n-1(n∈ 2 1(n∈

N*).

回顾总结 反思提高
勇攀高峰 数学思想:递推思想、 数学思想:递推思想、 递推思想 类比思想、 类比思想、归纳思想 数学方法:数学归纳法—— 数学方法:数学归纳法—— 证明与正整数有关的命题 数学知识:数学归纳法 数学知识:数学归纳法 要点: 要点:两个步骤一结论

布置作业

课本: 第95页练习 1、2 95页练习 第96页习题2.3A组 1 96页习题2.3A组

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