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高考数学均值不等式专题(含答案)家教文理通用


细节决定成功

高考:均值不等式专题
◆知识梳理
1.常见基本不等式

a ? R, a2 ? 0,

b b?m ? ; a a?m 1 1 若 a,b 同号且 a>b 则 ? 。 a b 2 2 a, b ? R, 则a ? b ? 2ab ; a, b ? R, a 2 ? b 2 ? ?2ab.
若 a>b>0,m>0,则 2.均值不等式: 两个正数的均值不等式:

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) , a2 ? b2 ? c2 ? ab ? bc ? ac a ?0 2 2

a?b ? a?b ? 2 2 ? ab 变形 a ? b ? 2 ab , ab ? ? ? a ? b ? 2ab 等。 2 ? 2 ? ,
时, 和x ? y有最小值2 P 时, 积xy有最大值( )

2

3.最值定理:设 x, y ? 0,由x ? y ? 2 xy (1)如果 x,y 是正数,且积 xy ? P(是定值) ,则 (2)如果 x,y 是正数和 x ? y ? S (是定值) ,则

S 2

2

4.利用均值不等式可以证明不等式,求最值、取值范围,比较大小等。 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2

◆课前热身
? 1. 已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为

. . .

2. 2. 若 x ? 0, y ? 0 x ? y ? 1 ,则

4 1 ? 的最小值为 x y

3. 已知: x ? y ? 0 ,且 xy ? 1 ,则 4. 4. 已知下列四个结论

x2 ? y 2 的最小值是 x? y

①当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 ;② 当x ? 0时, x ? 1 ? 2 ; lg x x ③ 当x ? 2时, x ?

1 1 的最小值为 2;④当 0 ? x ? 2时, x ? 无最大值. x x

则其中正确的个数为

◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
? 例 1( :2010 年高考山东文科卷第 14 题) 已知 x, y ? R , 且满足

x y ? ?1, 则 xy 的最大值为 3 4



1

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2 通过简单的配凑后,利用均值不等式求解最值。 例 2: (2010 年高考四川文科卷第 11 题)设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 ? 的最小值是( ab a ? a ? b ?



(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

2 2 例 3:已知 0<x<5,则 y=2x-5x 的最大值为________. 例 4: 已知 x ? 0,y ? 0 ,且 x ? 2 y ? xy ? 30 ,求 xy 的最大值 . (类似例 5)

二、转化题型
1.和积共存的等式,求解和或积的最值。 例 5:(2010 年高考重庆卷第 7 题)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A. 3 B. 4 C.

9 2

D.

11 2

2.分式型函数(

二次 一次 二次 、 、 )求解最值。 一次 二次 二次

例 6: (2010 年高考江苏卷第 14 题) 将边长为 1 的正三角形薄片, 沿一条平行于底边的直线剪成两块, 其中一块是梯形,记 S=
2 ( 梯形的周长) ,则 S 的最小值是_________。 梯形的面积

例 7: (2010 年高考全国Ⅰ 卷第 11 题)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两 切点,那么 PA ? PB 的最小值为( ) (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

三、解决恒成立问题
x 例 8:若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 变式训练:已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m-2 恒成立,则实数 m 的最大值是________.

◆课后强化 一、选择题。
1.已知 ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( b a b a A. + ≥2 B. + ≥-2 a b a b b a? b a C. + ≤-2 D.? ?a+b?≥2 a b )

2

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1 2.[2011· 重庆卷] 若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( ) x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 4 3.对一切正数 m,不等式 n< +2m 恒成立,则常数 n 的取值范围为( ) m A.(-∞,0) B.(-∞,4 2) C.(4 2,+∞) D.[4 2,+∞) 4.[2011· 陕西卷] 设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( ) a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2 5.[2011· 安徽] 已知 a>0,b>0,A 为 a,b 的等差中项,正数 G 为 a,b 的等比中项,则 ab 与 AG 的 大小关系是( ) A.ab=AG B.ab≥AG C.ab≤AG D.不能确定 1 1 1 6.设 a、b、c 都是正数,那么 a+ 、b+ 、c+ 三个数( ) b c a A.都不大于 2 B.都不小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 xy+yz 7.若 x、y、z 均为正实数,则 2 2 2的最大值是( ) x +y +z 2 A. B. 2 C.2 2 D.2 3 2 1 8.已知 f(x)=x+ -2(x<0),则 f(x)有( ) x A.最大值为 0 B.最小值为 0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 9.设 x,y∈R,且 x+y=4,则 5x+5y 的最小值是( ) A.9 B.25 C.50 D.162 10.若 log 2x+log 2y=8 log 2 ,则 3x+2y 的最小值为( ) A.4 B.8 二、填空题。 a+b? 1 1.若 a>b>1,P= lga· lgb,Q= (lga+lgb),R=lg? 2 ? 2 ?,则 P,Q,R 的大小关系为________. 2. ( 2010 年 高 考 山 东卷第 14 题 ) 若 对 任 意 x ? 0 , 是 。 3.(2010 年高考重庆文科卷第 12 题)已知 t ? o ,则函数 y ? C.4 6 D.8 6

x ? a 恒成立,则 a 的取值范围 x ? 3x ? 1
2

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为 t


(2010 年高考浙江文科卷第 15 题) 4. y 满足 xy ? 2 x ? y ? 6 , 若正实数 x, 则 xy 的最小值是 (变式:求 2x+y 的最小值为______) 5.下列函数中,y 的最小值为 4 的是________(写出所有符合条件的序号). 2?x2+3? 4 4 - ①y=x+ (x>0);②y= 2 ;③y=ex+4e x;④y=sinx+ . x sin x x +2 y2 6.设 x,y,z 为正实数,满足 x-2y+3z=0,则 的最小值是________. xz
3

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1 1 k 7.设 a>0,b>0,且不等式 + + ≥0 恒成立,则实数 k 的最小值等于________. a b a+b 三、解答题。 1.(13 分)若 x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0. (1)求 x2+y2 的取值范围; (2)求证:xy≤2.

2.(12 分)如图 K37-1,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪 分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参观线路,则 希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明.

5.在三角形 ABC 中,角 A、B、C 对边为 a、b、c,且 cos C ? (1)求 C; (2)当三角形 ABC 面积最大时,求 sin A 。

3 5 a 2 ? b 2) ? 6ab ? 20 ,( 5

答案
4

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◆课前热身(略) ◆考点剖析
例 1.解: y>0, 因为 x>0, 所以

x y x y ? ?2 ? 3 4 3 4

x y xy xy (当且仅当 ? , y=8 时取等号), 即 x=6, 于是 ?1 , 3 3 3 4

? xy ? 3. ,故 xy 的最大值位 3.
例 2.解: a ?
2

1 1 1 1 2 ? ? w= a ? ab ? ab ? ab a ? a ? b ? ab a(a ? b)

= ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ≥2+2=4 ab a (a ? b)
2 满足条件。 2

当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立,如取 a= 2 ,b= 故选择答案 D 例 3. 1/5 例 4.18

例 5.解: 因为 x>0,y>0,所以 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y) ? 8 ? ? 整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0
2

? x ? 2y ? , ? ? 2 ?

2

即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4 等号当且仅当 x ? 2 y ? 2 时成立,故选择答案 B。 例 6.解:设剪成的小正三角形的边长为 x ,则
S? (3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

令 f ( x) ?

(3 ? x)2 x 2 ? 6 x ? 9 ?6 x ? 10 (0 ? x ? 1) f ( x ) ? ? ?1 ,则 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2

令 t ? ?3x ? 5,(2 ? t ? 5) ,则 1 ? x 2

?6 x ? 10

?

2t 18t 18 ? 2 ? 5 ? t 2 ?t ? 10t ? 16 16 1? ( ) ?(t ? ) ? 10 3 t

因为 2 ? t ? 5 ,所以 t ? 所以 t ?

1 16 16 ? 2 t ? ? 8 ,等号当且仅当 t=4,即 x ? 时成立。 3 t t

16 最小值为 8 t
x2 ? 6 x ? 9 32 3 的最小值为 8,S 的最小值是 。 2 1? x 3
5

故 f ( x) ?

细节决定成功
A

例 7.解:如图所示:设 PA=PB= x ( x ? 0) ,
O

∠ APO= ? ,则∠ APB= 2? ,PO= 1 ? x2 ,

P

sin ? ?

1 1 ? x2

B



例5图

PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) =

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 = 2 , x2 ? 1 x ?1

令 PA ? PB ? y ,则 y ?

x4 ? x2 ,令 t ? x2 ? 1, t ? 0 , 2 x ?1

则y?

(t ? 1)2 ? (t ? 1) t 2 ? 3t ? 2 2 ? ? t ? ?3? 2 2 ?3 t t t
2 ,即 t ? 2 时成立。 t

等号当且仅当 t ?

故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ? 例 8.

2 ? 1 .,选择答案 D。

a?

1 5

变式:10

◆课后强化 一、选择题。
1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C 二、填空。 1.P<Q<R 2. a ? 三、解答题。 1.[解答] (1)由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0, 得(x2+y2+5)(x2+y2-4)≤0, 因为 x2+y2+5>0,所以有 0≤x2+y2≤4, 故 x2+y2 的取值范围为[0,4]. x2+y2 4 (2)证明:由(1)知 x2+y2≤4,由基本不等式得 xy≤ ≤ =2,所以 xy≤2. 2 2 2.[解答] (1)在△ADE 中,y2=x2+AE2-2x· AE· cos60° ? y2=x2+AE2-x· AE.① 1 3 1 又 S△ADE= S△ABC? = x· AE· sin60° ? x· AE=2.② 2 2 2 2?2 将②代入①得 y2=x2+? ?x? -2(y>0), 4 ∴y= x2+ 2-2(1≤x≤2). x 4 (2)如果 DE 是水管 y= x2+ 2-2≥ 2· 2-2= 2, x
6

1 3.-2 4.18 5.①③ 6.3 5

细节决定成功

4 当且仅当 x2= 2,即 x= 2时“=”成立,故 DE∥BC,且 DE= 2. x 4 如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+ 2,可知 x 函数 f(x)在[1, 2]上单调递减,在[ 2,2]上单调递增, 故 f(x)max=f(1)=f(2)=5,∴ymax= 5-2= 3. 即 DE 为 AB 边中线或 AC 边中线时,DE 最长.

7



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