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高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4课时二次函数与幂函数教案


二次函数与幂函数

1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax +bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m) +n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图像和性质 解析式
2 2

f(x)=ax2+bx+c(a>0)

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图像

定义域 值域

(-∞,+∞)

(-∞,+∞)

?4ac-b ,+∞? ? 4a ? ? ?
在 x∈?-∞,- ?上单调递减; 2a? ? 在 x∈?- ,+∞?上单调递增 ? 2a ?

2

?-∞,4ac-b ? ? ? 4a ? ?
在 x∈?-∞,- ?上单调递增; 2a? ? 在 x∈?- ,+∞?上单调递减 ? 2a ?

2

?

b?

?

b?

单调性

?

b

?

?

b

?

对称性 2.幂函数

函数的图像关于 x=- 对称 2a

b

(1)定义:形如 y=x (α ∈R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数. (2)幂函数的图像比较

α

(3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
1

②幂函数的图像过定点(1,1); ③当 α >0 时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ④当 α <0 时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 4ac-b 2 (1)二次函数 y=ax +bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 .( × ) 4a (2)二次函数 y=ax +bx+c,x∈R,不可能是偶函数.(
2 2 2

× )

(3)在 y=ax +bx+c(a≠0)中,a 决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )
1

(4)函数 y=2x 2 是幂函数.( × ) (5)如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ ) (6)当 n<0 时,幂函数 y=x 是定义域上的减函数.( × )
n

1.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax +bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 答案 A B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

2

)

解析 因为 f(0)=f(4)>f(1),所以函数图像应开口向上,即 a>0,且其对称轴为 x=2,即- =2,所以 2a 4a+b=0,故选 A. 2.已知函数 f(x)=ax +x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( 1? ? A.?0, ? ? 20? C.? 1? ? B.?-∞,- ? 20? ?
2

b

)

? 1 ,+∞? ? ?20 ?

? 1 ? D.?- ,0? 20 ? ?

答案 C 解析 由题意知?
? ?a>0, ?Δ <0, ?

即?
2

? ?a>0, ?1-20a<0, ?

1 得 a> . 20 )

3.如图所示为二次函数 y=ax +bx+c 的图像,则|OA|·|OB|等于(

2

A.

c a c a c a

B.- C.±

D.无法确定 答案 B 解析 |OA|·|OB|=|OA·OB|=|x1x2|=? ? a =- (∵a<0,c>0). 4.已知函数 y=x -2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围为________. 答案 [1,2] 解析 如图,由图像可知 m 的取值范围是[1,2].
2

?c? ? ?

c a

5.已知幂函数 y=f(x)的图像过点?2, 答案 y=x
? 1 2

? ?

2? ?,则此函数的解析式为________;在区间________上递减. 2?

(0,+∞)

题型一 求二次函数的解析式 例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数的解析 式. 解 方法一 (利用一般式):
2

设 f(x)=ax +bx+c(a≠0).
3

4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2 2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7.

∴所求二次函数为 f(x)=-4x +4x+7. 方法二 (利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m) +n.∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的图像的对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8, 2
2

? 1?2 ∴y=f(x)=a?x- ? +8. ? 2?
∵f(2)=-1,

? 1?2 ∴a?2- ? +8=-1,解得 a=-4, ? 2? ? 1?2 2 ∴f(x)=-4?x- ? +8=-4x +4x+7. ? 2?
方法三 (利用零点式): 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax -ax-2a-1. 4a?-2a-1?-?-a? 又函数的最大值是 8,即 =8. 4a 解得 a=-4, ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x +4x+7. (1) 二 次 函 数 的 图 像 过 点 (0,1) , 对 称 轴 为 x = 2 , 最 小 值 为 - 1 , 则 它 的 解 析 式 是 ___________________. (2)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式
2 2 2

f(x)=________.
1 2 答案 (1)f(x)= x -2x+1 2 (2)-2x +4
2 2

解析 (1)依题意可设 f(x)=a(x-2) -1, 又其图像过点(0,1), 1 ∴4a-1=1,∴a= . 2

4

1 2 ∴f(x)= (x-2) -1. 2 1 2 ∴f(x)= x -2x+1. 2 (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图像关于 y 轴对称, ∴b=-2,∴f(x)=-2x +2a , 又 f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a =4, 故 f(x)=-2x +4.
2 2 2 2

题型二 二次函数的图像与性质

命题点 1 二次函数的单调性 例 2 已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6], (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (2)当 a=-1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解 2a 2 (1)函数 f(x)=x +2ax+3 的图像的对称轴为 x=- =-a, 2
2

∴要使 f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4 或-a≥6,解得 a≥4 或 a≤-6. 故 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞). (2)当 a=-1 时,f(|x|)=x -2|x|+3
? ?x +2x+3=?x+1? +2,x≤0, =? 2 2 ?x -2x+3=?x-1? +2,x>0, ?
2 2 2

其图像如图所示.

又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.

命题点 2 二次函数的最值 例 3 已知函数 f(x)=x -2x,若 x∈[-2,3],则函数 f(x)的最大值为________. 答案 8 解析 f(x)=(x-1) -1,∵-2≤x≤3(如图),
2 2

5

∴[f(x)]max=f(-2)=8. 引申探究 已知函数 f(x)=x -2x,若 x∈[-2,a],求 f(x)的最小值. 解 ∵函数 y=x -2x=(x-1) -1,
2 2 2

∴对称轴为直线 x=1, ∵x=1 不一定在区间[-2,a]内,∴应进行讨论,当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a -2a;当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x =1 时,y 取得最小值,即 ymin=-1. 综上,当-2<a≤1 时,ymin=a -2a, 当 a>1 时,ymin=-1.
2 2

命题点 3 二次函数中的恒成立问题 例 4 (1)(2015·石家庄模拟)设函数 f(x)=ax -2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,则实数
2

a 的取值范围为________.
(2)已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax +2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,则实数 a 的取值范围为________.
2

?1 ? 答案 (1)? ,+∞? ?2 ?

1? ? (2)?-∞, ? 2? ?

2 2 解析 (1)由题意得 a> - 2对 1<x<4 恒成立,

x x

2 2 ?1 1?2 1 1 1 又 - 2=-2? - ? + , < <1, x x ?x 2? 2 4 x 1 1 ?2 2 ? ∴? - 2?max= ,∴a> . 2 2 ?x x ? (2)2ax +2x-3<0 在[-1,1]上恒成立. 当 x=0 时,适合; 3?1 1?2 1 1 1 1 当 x≠0 时,a< ? - ? - ,因为 ∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当 x=1 时,右边取最小值 ,所以 a< . 2?x 3? 6 x 2 2 1? ? 综上,实数 a 的取值范围是 ?-∞, ?. 2? ? 思维升华 (1)二次函数最值问题解法:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴 指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
6
2

(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数. ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依 据是:a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 若二次函数 f(x)=ax +bx+c (a≠0),满足 f(x+2)-f(x)=16x 且 f(0)=2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若存在 x∈[1,2],使不等式 f(x)>2x+m 成立,求实数 m 的取值范围. 解 (1)由 f(0)=2,得 c=2,
2 2

所以 f(x)=ax +bx+2 (a≠0),

f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-[ax2+bx+2]=4ax+4a+2b.
因为 f(x+2)-f(x)=16x,所以 4ax+4a+2b=16x, 解得 a=4,b=-8. 所以 f(x)=4x -8x+2. (2)由 f(x)>2x+m, 可得 m<f(x)-2x=4x -10x+2, 设 g(x)=4x -10x+2,x∈[1,2]. 则 g(x)max=g(2)=-2,∴m<-2. 故实数 m 的取值范围是(-∞,-2).
2 2 2

题型三 幂函数的图像和性质 2? ?1 α 例 5 (1)已知幂函数 f(x)=k·x 的图像过点? , ?,则 k+α 等于( ?2 2 ? A. 1 2
1
2

) D.2

B.1
1

C.

3 2 )

(2)若(2m+1) 2 >(m +m-1) 2 ,则实数 m 的取值范围是( - 5-1? ? A.?-∞, ? 2 ? ? C.(-1,2) 答案 (1)C (2)D 2 ?1? 解析 (1)由幂函数的定义知 k=1.又 f? ?= , ?2? 2 2 1 3 ?1?α 所以? ? = ,解得 α = ,从而 k+α = . 2 2 2 ?2? B.? D.?

? 5-1 ? ,+∞? 2 ? ? ? 5-1 ? ,2? ? 2 ?

7

(2)因为函数 y=x 的定义域为[0,+∞), 且在定义域内为增函数, 2m+1≥0, ? ? 2 所以不等式等价于?m +m-1≥0, ? ?2m+1>m2+m-1. 1 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 - 5-1 5-1 2 解 m +m-1≥0,得 m≤ 或 m≥ . 2 2 解 2m+1>m +m-1,得-1<m<2, 综上所述, 5-1 ≤m<2. 2
α 2

1 2

思维升华 (1)幂函数的形式是 y=x (α ∈R),其中只有一个参数 α ,因此只需一个条件即可确定其解析 式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图像越靠近 x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上, 幂函数中指数越大,函数图像越远离 x 轴. (1)已知幂函数 f(x)的图像经过(9,3),则 f(2)-f(1)等于( A.3 C. 2-1
1 1

)

B.1- 2 D.1

(2)若(a+1) 2 <(3-2a) 2 ,则实数 a 的取值范围是________. 2 答案 (1)C (2)[-1, ) 3 1 α α 2α 解析 (1)设幂函数为 f(x)=x ,则 f(9)=9 =3,即 3 =3,所以 2α =1,α = ,即 f(x)=x 2 = x, 2 所以 f(2)-f(1)= 2-1,故选 C.
1

a+1≥0, ? ? (2)易知函数 y=x 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以?3-2a≥0, ? ?a+1<3-2a,
1 2

2 解之得-1≤a< . 3

3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用

8

典例 (12 分)已知 f(x)=ax -2x(0≤x≤1),求 f(x)的最小值. 思维点拨 参数 a 的值确定 f(x)图像的形状;a≠0 时,函数 f(x)的图像为抛物线,还要考虑开口方向和对 称轴与所给范围的关系. 规范解答 解 (1)当 a=0 时,f(x)=-2x 在[0,1]上递减,

2

∴f(x)min=f(1)=-2.[2 分] 1 2 (2)当 a>0 时,f(x)=ax -2x 图像的开口方向向上,且对称轴为 x= .[3 分]

a

1 2 ①当 ≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax -2x 图像的对称轴在[0,1]内,

a

1 1 ∴f(x)在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增.

a

a

1 1 2 1 ∴f(x)min=f( )= - =- .[6 分]

a

a a

a

1 ②当 >1,

a

即 0<a<1 时,f(x)=ax -2x 图像的对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.[9 分] (3)当 a<0 时,f(x)=ax -2x 的图像的开口方向向下, 1 且对称轴 x= <0,在 y 轴的左侧,
2

2

a

∴f(x)=ax -2x 在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.[11 分]

2

a-2, a<1, ? ? 综上所述,f(x)min=? 1 - , a≥1. ? ? a

[12 分]

温馨提醒 (1)本题在求二次函数最值时,用到了分类讨论思想,求解中既对系数 a 的符号进行讨论,又对 对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏, 三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论. (2)在有关二次函数最值的求解中,若轴定区间动,仍应对区间进行分类讨论.

[方法与技巧]

1.二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时,宜用一般式.

9

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与 x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求 f(x)更方便. 2.研究二次函数的性质要注意: (1)结合图像分析; (2)含参数的二次函数,要进行分类讨论. 3.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧 在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,转化为同指数幂,再选择适当的函数,借助其单调性进行比 较. [失误与防范] 1.对于函数 y=ax +bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足 a≠0,当题目条件中未说明 a≠0 时,就要 讨论 a=0 和 a≠0 两种情况. 2.幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内, 要看函数的奇偶性;幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点 一定是原点.
2

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.若二次函数 f(x)=ax +bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于( A.- 2a C.c 答案 C 解析 因为 f(x1)=f(x2),所以 x1,x2 关于对称轴 x=-
2 2

)

b

B.- D.

b a
2

4ac-b 4a

b b ? b? 对称,所以 x1+x2=- .因此,f(x1+x2)=a?- ? 2a a ? a?

+b·?- ?+c=c. a
2

? b? ? ?

2.函数 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为增函数,则实数 m 的值是( A.-1 C.3 答案 B B.2 D.-1 或 2

m

)

解析 f(x)=(m -m-1)x 是幂函数? m -m-1=1? m=-1 或 m=2.又在 x∈(0, +∞)上是增函数, 所以 m =2.
10

2

m

2

3.设函数 f(x)=x +x+a(a>0),且 f(m)<0,则( A.f(m+1)≥0 C.f(m+1)>0 答案 C 1 解析 ∵f(x)的对称轴为 x=- ,f(0)=a>0, 2 ∴f(x)的大致图像如图所示.

2

)

B.f(m+1)≤0 D.f(m+1)<0

由 f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0. 4.若函数 f(x)=x -ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于( A.-1 C.2 答案 B 解析 ∵函数 f(x)=x -ax-a 的图像为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点取得, ∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
?-a≥4-3a, ? ∴? ?-a=1, ?
-1 2 2

)

B.1 D.-2

?-a≤4-3a, ? 或? ?4-3a=1, ?
m n

解得 a=1. )

5.幂函数 y=x ,y=x 与 y=x 在第一象限内的图像如图所示,则 m 与 n 的取值情况为(

A.-1<m<0<n<1 C.-1<m<0<n 答案 D

B.-1<n<0<m D.-1<n<0<m<1

解析 可作直线 x=2,观察直线 x=2 和各图像交点的纵坐标可知 2 <2 <2 <2 <2 , ∴-1<n<0<m<1. 6.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax +bx+c 在同一坐标系中的图像可能是(
2

-1

n

0

m

1

)

11

答案 C 解析 若 a>0,则一次函数 y=ax+b 为增函数,二次函数 y=ax +bx+c 的开口向上,故可排除 A; 若 a<0,一次函数 y=ax+b 为减函数,二次函数 y=ax +bx+c 开口向下,故可排除 D; 对于选项 B,看直线可知 a>0,b>0,从而- <0,而二次函数的对称轴在 y 轴的右侧,故应排除 B,因此选 2a C. 7.当 0<x<1 时,函数 f(x)=x ,g(x)=x ,h(x)=x 的大小关系是________________. 答案 h(x)>g(x)>f(x) 解析 如图所示为函数 f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图像,由此可知,h(x)>g(x)>f(x).
1.1 0.9 -2 2 2

b

8.已知函数 f(x)=x -2ax+2a+4 的定义域为 R,值域为[1,+∞),则 a 的值为________. 答案 -1 或 3 解析 由于函数 f(x)的值域为[1,+∞), 所以 f(x)min=1. 又 f(x)=(x-a) -a +2a+4, 当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a +2a+4=1, 即 a -2a-3=0,解得 a=3 或 a=-1. 9.已知函数 f(x)=ax +bx+1(a,b 为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数 f(x)的图像过点(-2,1),且方程 f(x)=0 有且只有一个根,求 f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围. 解 (1)因为 f(-2)=1,即 4a-2b+1=1,所以 b=2a.
2 2 2 2 2 2

2

因为方程 f(x)=0 有且只有一个根,所以 Δ =b -4a=0. 所以 4a -4a=0,所以 a=1,所以 b=2.
12
2

所以 f(x)=x +2x+1. (2)g(x)=f(x)-kx=x +2x+1-kx=x -(k-2)x+1=?x-
2 2

2

? ?

k-2?2

+1- 2 ? ?

?k-2? . 4

2

由 g(x)的图像知:要满足题意,则

k-2
2

≥2 或

k-2
2

≤-1,即 k≥6 或 k≤0,

所以所求实数 k 的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞). 10.已知函数 f(x)=x +ax+3-a,若 x∈[-2,2]时,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围. 解 要使 f(x)≥0 恒成立,则函数在区间[-2,2]上的最小值不小于 0,设 f(x)的最小值为 g(a).
2

a 7 (1)当- <-2,即 a>4 时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得 a≤ ,故此时 a 不存在. 2 3 a ? a? (2)当- ∈[-2,2],即-4≤a≤4 时,g(a)=f?- ?=3-a- ≥0,得-6≤a≤2,又-4≤a≤4, 2 4 ? 2? a
故-4≤a≤2. (3)当- >2,即 a<-4 时,g(a)=f(2)=7+a≥0, 2 得 a≥-7,又 a<-4,故-7≤a<-4, 综上得-7≤a≤2. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.已知函数 f(x)=ax +2ax+4(0<a<3),x1<x2,x1+x2=1-a,则( A.f(x1)=f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 答案 B 解析 函数的对称轴为 x=-1, 设 x0=
2 2

a

)

x1+x2
2

,由 0<a<3 得到-1<

1-a 1 < . 2 2

又 x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断得 f(x1)<f(x2). 12.已知幂函数 f(x)=x ,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是________. 答案 (-∞,1) 解析 当 x>1 时, 恒有 f(x)<x, 即当 x>1 时, 函数 f(x)=x 的图像在 y=x 的图像的下方, 作出幂函数 f(x) =x 在第一象限的图像,由图像可知 α <1 时满足题意. 3 2 13.已知 a≤ x -3x+4≤b 的解集为[a,b],则 b=____,a+b 的值为________. 4 答案 4 4
13
α α α

3 2 解析 设 f(x)= x -3x+4,则 f(x)的最小值为 1,因此 a≤1(如果 a>1,则 a≤f(x)≤b 的解集由两个区 4 4 域构成),于是有 f(a)=f(b)=b,而由 f(b)=b,得 b=4 或 ,而函数 y=f(x)图像的对称轴为 x=2,故 b 3 =4,则 f(a)=4,解得 a=0(a=4 舍去),所以 a+b=4. 14.设 0≤α ≤π ,不等式 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为_______.
2

? π ? ?5π ,π ? 答案 ?0, ?∪? ? 6 6 ? ? ? ?
2

解析 由 8x -(8sin α )x+cos 2α ≥0 对 x∈R 恒成立,得 Δ =(-8sin α ) -4×8cos 2α ≤0, 1 2 2 2 即 64sin α -32(1-2sin α )≤0,得到 sin α ≤ . 4 1 ∵0≤α ≤π ,∴0≤sin α ≤ , 2 π 5π ∴0≤α ≤ 或 ≤α ≤π . 6 6

2

? π ? ?5π ? 即 α 的取值范围为?0, ?∪? ,π ?. 6? ? 6 ? ?
15.已知函数 f(x)=ax +bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
? ?f?x?,x>0, F(x)=? ?-f?x?,x<0, ?
2

求 F(2)+F(-2)的值;

(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围. 解 (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a
2

b

解得 a=1,b=2,∴f(x)=(x+1) .
??x+1? ,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ?-?x+1? ,x<0. ?
2

∴F(2)+F(-2)=(2+1) +[-(-2+1) ]=8. (2)f(x)=x +bx,原命题等价于-1≤x +bx≤1 在(0,1]上恒成立, 1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立.
2 2

2

2

x

x

1 1 又 -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2.

x

x

∴-2≤b≤0.故 b 的取值范围是[-2,0].

14



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