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第五讲 第3课时 二次函数与相似三角形的综合 2018届数学中考学练测 第5讲《二次函数综合型问题》ppt课件_图文

第3课时 二次函数与相似三角形的综合 1 2 1 [2017· 宁波]如图 5-3-1, 抛物线 y= x + x+c 与 x 轴的 4 4 负半轴交于点 A,与 y 轴交于点 B,连结 AB,点 抛物线上,直线 AC 与 y 轴交于点 D. ? 15? C?6, 2 ?在 ? ? (1)求c的值及直线AC的函数表达式; (2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线 AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中 点. ①求证:△APM∽△AON; ②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示). 图5-3-1 例1答图 【解析】 (1)将点C的坐标代入二次函数的表达式中,可求出点 c的值;令y=0,求得点A的坐标,利用待定系数法求得直线 AC的函数表达式; (2)①分别求出点D,点B的坐标,求得∠OAB=∠OAD,根据 直角三角形斜边中线等于斜边一半,知OM=PM,∴∠MOP =∠MPO,易求∠APM=∠AON,利用两角对应相等的两个 三角形相似,结论易证; AM AP ②由△APM∽△AON,得 = ,分别用含 m 的代数式表示 AN AO AM,AP,AO 的值,即可求出 AN 的值. 解:(1)把点 -3. ? 15? 15 3 ? ? C 6, 2 代入二次函数,得 =9+ +c,解得 2 2 ? ? c= 1 2 1 ∴y= x + x-3,令 y=0,则 4 4 1 2 1 x + x-3=0,解得 x1=-4,x2=3. 4 4 ∴A(-4,0).设直线 AC 的函数表达式为 y=kx+b(k≠0), 把 ? 15? A(-4,0),C?6, 2 ?代入, ? ? 3 0=-4k+b, ? ? ? ?k= , 4 得?15 解得? =6k+b, ? ? ?2 ?b=3. 3 ∴直线 AC 的函数表达式为 y= x+3. 4 OB 3 (2)①∵在 Rt△AOB 中,tan∠OAB=OA= , 4 OD 3 在 Rt△AOD 中,tan∠OAD= OA = , 4 ∴∠OAB=∠OAD. ∵在Rt△POQ中,M为PQ的中点, ∴OM=MP.∴∠MOP=∠MPO, ∵∠MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON, ∴△APM∽△AON. ②如答图,过点M作ME⊥x轴于点E, 又∵OM=MP,∴OE=EP. ∵点M横坐标为m, ∴AE=m+4,AP=2m+4. 3 ∵tan∠OAD= , 4 4 ∴cos∠EAM=cos∠OAD= . 5 5(m+4) 5 ∴AM= AE= . 4 4 5m+20 AM AP 由△APM∽△AON,得 = ,∴AN= . AN AO 2m+4 【点悟】 此类问题要注意当相似三角形的对应边和对应角不 明确时,要分类讨论,以免漏解. 1.[2016· 十堰]如图5-3-2①,在平面直角坐标系xOy中,抛 物线y=ax2+1经过点A(4,-3),顶点为B,P为抛物线上的一 个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过点P作PH⊥l, 垂足为H,连结PO. 图5-3-2 (1)求抛物线的表达式,并写出其顶点B的坐标; 5 , 5 ,PH=_____ (2)①当点P运动到点A处时,计算:PO=_____ = PH(选填“>”“<”或“=”); 由此发现,PO______ ②当点P在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系, 并证明你的猜想; (3)如图②,设点C(1,-2),问是否存在点P,使得以P,O, H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标; 若不存在,请说明理由. 解: (1)∵抛物线 y=ax2+1 经过点 A(4,-3), 1 ∴-3=16a+1,解得 a=- , 4 1 2 ∴抛物线的表达式为 y=- x +1,顶点 B 坐标为(0,1); 4 (2)①当点 P 运动到点 A 处时,PO=5,PH=5,PO=PH; ②结论:PO=PH.理由: 设点 P ? ? 1 2 坐标为?m,-4m +1?, ? ? ? 1 2 ? 1 2 ∵PH=2-?-4m +1?= m +1, ? ? 4 PO= m 2 ? 1 2 ?2 1 2 +?-4m +1? = m +1, 4 ? ? ∴PO=PH; (3)存在,理由:∵BC= 12+32= 10,AC= 12+32= 10,AB = 42+42=4 2, ∴BC=AC, ∵PO=PH,以 P,O,H 为顶点的三角形与△ABC 相似, ∴PH 与 CB,PO 与 CA 是对应边, ? ? 1 2 PH CB ∴HO=BA,设点 P?m,-4m +1?, ? ? 1 2 m +1 4 10 ∴ = ,解得 m=± 1, m2 + 4 4 2 ∴点 P ? 3? ? 3? 坐标为?1,4?或?-1,4?. ? ? ? ? [2017· 湖州]如图5-3-3,在平面直角坐标系xOy中,已 知A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0)是线 段AB上一点(与A,B点不重合),抛物线L1:y=ax2+b1x+ c1(a<0)经过点A,C,顶点为D,抛物线L2:y=ax2+b2x+ c2(a<0)经过点C,B,顶点为E,AD,BE的延长线相交于 1 (1)若 a=- ,m=-1,求抛物线 L1,L2 的表达式; 2 (2)若a=-1,AF⊥BF,求m的值; 点F. (3)是否存在这样的实数a(a<0),无论m取何值,直线AF与BF 都不可能互相垂直?若存在,请直接写出a的两个不同的值; 若不存在,请说明理由. 图5-3-3 例2答图 【解析】 (1)把m=-1代入得到已知点坐标,利用待定系数法 求出函数表达式; (2)如答图,过点D作DG⊥x轴于点G,过点E作EH⊥x轴于点 H,把a=-1代入函数表达式,然后结合(-4,0),(m,0)代 入求出函数表达式L


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