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2012年高二数学教案:第2章(第9课时)平面向量应用举例(1)(人教A版必修4)

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课 题:

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2.5.1 平面几何中的向量的方法
王新敞
奎屯 新疆

教学目的: 使学生运用向量的几何背景,解决平面几何中的一些问题 教学重点:运用向量的有关知识对几何问题进行相关分析和计算 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、讲解新课: 1.解决平面几何问题的一般方法: 综合方法——不使用其他工具,对几何元素及其关系直接进行讨论; 解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具,对几何元素及其关系进行 讨论; 向量方法——以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论; 分析方法 2.用向量工具解决平面几何问题的“三步曲” ⑴ 建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题; ⑵ 通过向量运算,研究几元素之间的关系,如距离、夹角等问题; ⑶ 把运算结果“翻译”成几何关系. 二、例题讲解: 例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图, AC ? AB ? AD,

??? ?

??? ? ????

??? ? ??? ? ???? BD ? AB ? AD, 你能发现平行四边形对角线的长度 与两条邻边长度之间的关系吗?
分析: 令AB ? a, AD ? b ,则

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AC ? a ? b, DB ? a ? b,

??? ?2 2 AB ? a , ??? ?2

???? 2 2 AD ? b ??? ? ??? ?

涉及长度问题常常考虑向量的数量积. 解: AC ? AC ? AC ? ? a ? b ? ? ? a ? b ?

? a?a ? a?b ? b ?a ? b ?b
? a ? 2a ? b ? b
2 2

(1)

??? ?2 2 2 BD ? a ? 2a ? b ? b
①+②得

(2)
2

???? 2 ??? ?2 AC ? BD ? 2

?

a ?b

2

? ? 2?

??? ? 2 ???? 2 AB ? AD

?

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平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 例 2 如图,连接□ABCD 的一个顶点至 AD、DC 边的中点 E、F,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之间的关系吗? 分析:由于 AR,RT,TC 在 AC 上,只要判断 AR,RT,TC 与 AC 的关系

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 判断AD, AR, AT与AC之间的关系即可.
解: 设AB ? a, AD ? b, AR ? r, AT ? t, 则AC ? a ? b

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

设 r ? n ?a ? b? , n ? R
又因为 EB ? AB ? AE ? a ?

??? ?

??? ? ??? ?

1 b 2

??? ? ??? ? ER与EB共线,
所以可以 设 ER ? mEB ? m ? a ?

??? ?

??? ?

? ?

1 ? b ? ,m ? R 2 ?

??? ? ??? ? ??? ? ? AR ? AE ? ER
∴r ?

1 1 ? ? b ? m?a ? b? 2 2 ? ? 1 1 ? ? b ? m?a ? b? 2 2 ? ? m ?1 ? ?b ? 0 2 ?

因此 n ? a ? b ? ?

即 ? n ? m? a ? ? n ?

? ?

?n ? m ? 0 1 ? ∴? 解得 n ? m ? m ?1 3 n? ?0 ? ? 2 ??? ? 1 ???? ∴ AR ? AC , 3 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ???? 同理 TC ? AC ,于是 RT ? AC 3 3 所以 AR ? RT ? TC
利用实数与向量的积证明共线、平行、长度问题. 三、课堂练习: 四、小结:利用向量解决平面几何中的问题方法步骤 五、课后作业: 六、板书设计(略) 七、课后记:

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