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2016_2017学年高中数学第二章变化率与导数2.5简单复合函数的求导法则课件_图文

阶 段 一

阶 段 三

§2.5

简单复合函数的求导法则
学 业 分 层 测 评

阶 段 二

1.了解复合函数的概念.(难点) 2.掌握复合函数的求导法则.(重点) 3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)

[基础· 初探] 教材整理 1 复合函数的概念 阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分,完成下列问题. 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=φ(x)=ax+b,给定 x 的一个值,就得到 了 u 的值,进而确定了 y 的值,这样 y 可以表示成 x的函数 ,我们称这个函数 为函数 y=f(u)和 u=φ(x)的 y=f(φ(x)) ,记作复合函数 ,其中 u 为中间变量.

下列函数不是复合函数的是( 1 A.y=-x - x+1
3

)
? π? B.y=cos?x+4? ? ?

1 C.y=ln x

D.y=(2x+3)4

π 【解析】 A 中的函数是一个多项式函数, B 中的函数可看作函数 u=x+ , 4 1 y=cos u 的复合函数,C 中的函数可看作函数 u=ln x,y=u的复合函数,D 中的 函数可看作函数 u=2x+3,y=u4 的复合函数,故选 A.

【答案】 A

教材整理 2

复合函数的求导法则

阅读教材 P49 最后两行至 P50 部分,完成下列问题. 复合函数 y=f(φ (x))的导数和函数 y=f(u),u=φ(x)的导数间的关系为 yx′ =yu′·ux′.即 y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

(ln 2x)′等于( 1 A.2x 1 B. x

) 1 C.xln 2 ln 2 D. x

1 1 【解析】 (ln 2x)′=2x(2x)′=x .
【答案】 B

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: _____________________________________________________ _______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________

[小组合作型]

复合函数的定义
指出下列函数是怎样复合而成的. (1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos 3x.

【精彩点拨】 分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u,分别找出 y 和 u 的函数关系,u 和 x 的函数关系.

【自主解答】 (1)y=(3+5x)2 是由函数 y=u2,u=3+5x 复合而成的. (2)y=log3(x2-2x+5)是由函数 y=log3u,u=x2-2x+5 复合而成的. (3)y=cos 3x 是由函数 y=cos u,u=3x 复合而成的.

判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析,最外层的主体函数 结构是以基本函数为主要结构的,各层的中间变量结构也都是基本函数关系, 这样一层一层分析, 里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函 数经过有限次运算而得到的函数.

[再练一题] 1.指出下列函数由哪些函数复合而成. (1)y=ln x;(2)y=esin x;(3)y=cos( 3x+1).

【解】 (1)y=ln u,u= x. (2)y=eu,u=sin x. (3)y=cos u,u= 3x+1.

求复合函数的导数

求下列函数的导数. (1)y=e
2x+1

1 ;(2)y= ; (2x-1)3

(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.

【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的,找出中间变量,分层求导.

【自主解答】

(1)函数 y=e2x 1 可看作函数 y=eu 和 u=2x+1 的复合函数,


∴y′x=y′u·ux′=(eu)′(2x+1)′=2eu=2e2x+1. 1 -3 (2)函数 y= 可看作函数 y = u 和 u=2x-1 的复合函数, (2x-1)3 ∴y′x=y′u·ux′=(u 3)′(2x-1)′=-6u
- -4

6 =-6(2x-1) =- 4. (2x-1)
-4

(3)函数 y=5log2(1-x)可看作函数 y=5log2u 和 u=1-x 的复合函数, -5 5 ∴y′x=y′u·u′x=(5log2u)′·(1-x)′=uln 2= . (x-1)ln 2 (4)函数 y=sin3x 可看作函数 y=u3 和 u=sin x 的复合函数,函数 y=sin 3x 可看作函数 y=sin v 和 v=3x 的复合函数. ∴y′x=(u3)′·(sin x)′+(sin v)′·(3x)′ =3u2·cos x+3cos v =3sin2x cos x+3cos 3x.

1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数; (2)若是复合函数,不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.

2.复合函数求导的步骤

[再练一题] 2.求下列函数的导数. 1 (1)y=(2x-1) ;(2)y= ; 1-2x
4

? π? (3)y=sin?-2x+3?;(4)y=102x+3. ? ?

【解】

(1)原函数可看作 y=u4,u=2x-1 的复合函数,则 yx′=yu′·ux

′=(u4)′·(2x-1)′=4u3·2=8(2x-1)3. 1 1 (2)y= =(1-2x) 可看作 y=u-2,u=1-2x 的复合函数,则 yx′= 1-2x
3 ? 1? yu′·ux′=?-2?u 2·(-2) ? ?

-

1 2

=(1-2x)

-

3 2

1 = . (1-2x) 1-2x

(3)原函数可看作 y=sin u, π u=-2x+3的复合函数, 则 yx′=yu′·ux′=cos
? ? π? π? u·(-2)=-2cos?-2x+3?=-2cos?2x-3?. ? ? ? ?

(4)原函数可看作 y=10u,u=2x+3 的复合函数, 则 yx′=yu′·ux′=102x+3·ln 10·2=(2ln 10)102x+3.

[探究共研型]

复合函数导数的应用

探究 1 求曲线

? π? y=cos?2x+6?在 ? ?

π x=6处切线的斜率.

【提示】

? π? ∵y′=-2sin?2x+6?, ? ? ? π π? k=-2sin?2×6+6?=-2. ? ?

∴切线的斜率

探究 2 求曲线 y=f(x)=e


2x+1

? 1 ? 在点?-2,1?处的切线方程. ? ?


【提示】 ∵f′(x)=e2x 1·(2x+1)′=2e2x 1,
? 1? ∴f′?-2?=2, ? ?

∴曲线 y=e

2x+1

? 1 ? 在点?-2,1?处的切线方程为 ? ?

? 1? y-1=2?x+2?, ? ?

即 2x-y+2=0.

已知函数 f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线 y=f(x)在点(1,f(1)) 1 处的切线为 l,若直线 l 与圆 C:x +y =4相切,求实数 a 的值.
2 2

【精彩点拨】 求出导数 f′(1),写出切线方程,由直线 l 与圆 C 相切,建立 方程求解.

【自主解答】

2 因为 f(1)=a,f′(x)=2ax+ (x<2), x-2

所以 f′(1)=2a-2, 所以切线 l 的方程为 2(a-1)x-y+2-a=0. 因为直线 l 与圆相切,所以圆心到直线 l 的距离等于半径,即 d= |2-a| 1 11 =2,解得 a= 8 . 2 4(a-1) +1

关于复合函数导数的应用及其解决方法 1.应用 复合函数导数的应用主要有:求在某点处的切线方程 ,已知切线的方程或 斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用. 2.方法 先求出复合函数的导数,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程;若切 点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.总之, 在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.

[再练一题] 3.曲线 y=f(x)=esin x 在(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为 2, 求直线 l 的方程. 【导学号:94210048】

【解】

设 u=sin x,则 f′(x)=(esin x)′

=(eu)′(sin x)′=cos xesin x. f′(0)=1. 则切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0. 若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 x-y+c=0. |c-1| 两平行线间的距离 d= = 2?c=3 或 c=-1. 2 故直线 l 的方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0.

[构建· 体系] ?— 复合函数的概念 ? ? 复合函数的求导 —?— 复合函数的求导法则 ?— 应用 ?

1.函数 y=cos (-x)的导数是( A.cos x C.-sin x

) B.-cos x D.sin x

【解析】 y′=-sin (-x)(-x)′=-sin x. 【答案】 C

2.若 f(x)=e2xln 2x,则 f′(x)=(
2x e A.e2xln 2x+ 2x 2x e C.2e2xln 2x+ x

)
2x e B.e2xln 2x+ x

1 D.2e ·x
2x

【解析】 f′(x)=(e2x)′ln 2x+e2x(ln 2x)′
2x e =2e2xln 2x+ x .

【答案】 C

3.已知 f(x)=ln(3x-1),则 f′(1)=________.

1 3 【解析】 f′(x)= · (3x-1)′= , 3x-1 3x-1 3 ∴f′(1)= . 2

3 【答案】 2

4. 设曲线 y = eax 在点 (0 , 1) 处的切线与直线 x + 2y + 1 = 0 垂直,则 a = ________.

【解析】 令 y=f(x),则曲线 y=eax 在点(0,1)处的切线的斜率为 f′(0),又 切线与直线 x+2y+1=0 垂直,所以 f′(0)=2.因为 f(x)=eax,所以 f′(x)=(eax)′= (eax)· (ax)′=aeax,所以 f′(0)=ae0=a,故 a=2.
【答案】 2

5.求下列函数的导数. (1)y=cos(x+3);(2)y=(2x-1)3; (3)y=e-2x+1.

【解】 (1)函数 y=cos(x+3)可以看做函数 y=cos u 和 u=x+3 的复合函数, 由复合函数的求导法则可得 yx′=yu′·ux′=(cos u)′·(x+3)′ =-sin u·1=-sin u=-sin(x+3).

(2)函数 y=(2x-1)3 可以看做函数 y=u3 和 u=2x-1 的复合函数, 由复合函数的求导法则可得 yx′=yu′·ux′=(u3)′·(2x-1)′ =3u2·2=6u2=6(2x-1)2. (3)y′=e-2x+1·(-2x+1)′=-2e-2x+1.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________



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