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贵州省遵义四中2019届高三第三次月考 理科数学

遵义四中 2019 学年度高三第三次月考
数 学 试 题(理) 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1、集合 A ? {?1, 0,1} , A 的子集中,含有元素 0 的子集共有。 (A)2 个 (B)4 个 (C)6 个 (D)8 个

(3 ? i )(3 ? i ) ,则 | z |? 2?i 5 2 5 (A) (B) (C) 5 (D) 2 5 5 5 1 (sin ? ? cos ? ) 2 ? 3、已知 tan ? ? ,则 2 cos 2? (A) 2 (B) ?2 (C) 3 (D) ?3 4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为
2、已知复数 z ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5、设函数 y ? f ( x) ( x ? R) 的图象关于直线 x ? 0 及直线 x ? 1 对 称,且 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x2 ,则 f ( ? ) ? (A)

3 2

1 2

(B)

1 4

(C)

3 4

(D)

9 4

6.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如左图所示,则相应的侧视图可以为

v ?t ? v甲 v乙
(第 6 题图)

O
?C ? 2 ? D? 8

t0 t1 t
9 题图

7、设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2, 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ?

? A? 4

? B? 3
x ?x

8、已知命题 p1 :函数 y ? 2 ? 2 在 R 为增函数, 则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : (A) q1 , q3 (B) q2 , q3

?

?

p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真命题是。
(D) q2 , q4

p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数,

(C) q1 , q4

9、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线 分别为 v甲和v乙 ,那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是。

·1·

(A)在 t1 时刻,甲车在乙车前面 (C)在 t 0 时刻,两车的位置相同

(B) t1 时刻后,甲车在乙车后面 (D) t 0 时刻后,乙车在甲车前面

10、为了迎接党的十八大胜利召开,北京某大楼安装 5 个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯 闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这 5 个彩 灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的 时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是。 (A)1205 秒 (B)1200 秒 (C)1195 秒 (D)1190 秒 11 、 已 知 o 是 平 面 上 的 一 定 点 , A, B, C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ?

OB ? OC AB AC ? ?( ? ) , ? ? [0, ??) , 则 动 点 P 的 轨 迹 一 定 通 过 2 | AB | cos B | AC | cos C
(B) 垂心 (C) 重心 (D)外心

?ABC 的。
(A)内心 12.设函数 f ( x) ? 形区域,则 a 的值为 A. ? 2 B. ?3 C. ?4 D. ?5
w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

ax2 ? bx ? c ( a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t ))(s , t ? D) 构成一个正方

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

?? ? 。 ?? ?4? n n ?1 * 14、已知向量 p ? ? an , m ? , q ? ? an ?1 , m ? , n ? N , m 为正常数,向量 p // q ,且 a1 ? 1. 则数列 ?an ?
13、已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin x, 则f ?
/

的通项公式为 。 ABC 内的射 15、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A 1 在底面 影为 △ ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 16、设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛物线 的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? cos ? 2 x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期.,

? ?

??

2 ? ? sin x , 3?

1 C? 1 (Ⅱ)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cos B ? , f ? ? ? ? ? ,且 C 为锐角,求 sin A 。 3 ?2? 4
18、 (本小题满分 12 分)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 .
·2·

(Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ; (Ⅱ)若该批产品共 100 件,从中无放回抽取 2 件产品,? 表示取出的 2 件产品中二等品的件数。求

? 的分布列。
19、 (本小题满分 12 分)如图,一张平行四边形的硬纸片 ABC0 D 中, AD ? BD ? 1 , AB ? 2 。 沿它的对角线 BD 把△ BDC0 折起,使点 C0 到达平面 ABC0 D 外点 C 的位置。 (Ⅰ)证明:平面 ABC0 D ? 平面 CBC0 ; (Ⅱ)如果△ ABC 为等腰三角形,求二面角 A ? BD ? C 的大小。

20、 (本小题满分 12 分)已知以原点 O 为中心, F( 5, 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e= 0) (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;

5 . 2

(Ⅱ)如图,已知过点 M ? x1 , y1 ? 的直线: l1:x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ? x2 , y2 ? (其中x2 ? x1) 的直线 l2:x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交 于 G、H 两点,求 ?OGH 的面积。 y

l2
G N O H M 21、 (本小题满分 12 分) )已知函数 f ? x ? ? x

1 ? x ? ax e 。 1? x

l1

E

(Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围

选做题:请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)如图, A, E 是半圆周上的两个三等分点,直径

BC ? 4, AD ? BC ,垂足为 D, BE 与 AD 相交于点 F , 求 AF 的长。
·3·

A F

E

23、 (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 方程为 ? (Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 ?

? x ? 5cos ? (? 为参数) ? y ? 3sin ?

? x ? 4 ? 2t (t 为参数)平行的直线 l 的普通方程。 ?y ? 3?t

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。

y
24、 (本小题满分 10 分)设函数 f ? x ? ? 2x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ? x ? 的图像; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? ax 的解集非空, 求 a 的取值范围。 (右图中一个小方格表示一个单位)

x

·4·

遵义四中 2019 学年度高三第三次月考 理科答案
一、选择题

BDCBB

DACAC

DC

二、填空题 13, 0 三、解答题

14, an ? mn?1

15,

2 3

16,

4 5

? ? ? 1 ? cos 2 x 2 )+sin x.= cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 2 3 1 3 1? 3 所以函数 f(x)的最大值为 ,最小正周期 ? . ? ? sin 2 x 2 2 2 c 1 1 ? 3 3 (2) f ( ) = ? , 因为 C 为锐角, 所以 C ? , sin C =- , 所以 sin C ? 4 3 2 2 2 2 1 2 B? 3 又因为在 ? ABC 中, cosB= , 所以 s i n , 3 3 2 1 1 3 2 2? 3 所以 sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cosB sinC ? . 2? ? ? ? 3 2 3 2 6 18.解: (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , . A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A 1 ,故
17 解: (1)f(x)=cos(2x+
2 P( A) ? P( A0 ? A1 ) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? (1 ? p)2 ? C1 2 p(1 ? p) ? 1 ? p

1, 2. (2) ? 的可能取值为 0,
2 C80 316 . P(? ? 0) ? 2 ? C100 495 所以 ? 的分布列为 ? 0 316 P 495

于是 0.96 ? 1 ? p 2 .解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) . 若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故
1 C1 160 80 C20 . P(? ? 1) ? 2 ? C100 495

C2 19 . P(? ? 2) ? 220 ? C100 495

1

2

160 495

19 495

19 题:解: (Ⅰ)证明:因为

AD ? BC0 ? BD ? 1 , AB ? C0 D ? 2 , 所以 ?DBC0 ? 90? , ?ADB ? 90? 。 因为折叠过程中, ?DBC ? ?DBC0 ? 90? , 所以 DB ? BC ,又 DB ? BC0 ,故 DB ? 平面 CBC0 。 又 DB ? 平面 ABC0 D ,所以平面 ABC0 D ? 平面 CBC0 。 (Ⅱ)解法一:如图,延长 C0 B 到 E ,使 BE ? C0 B ,
连结 AE , CE 。因为 AD BE , BE ? 1 , DB ? 1 , ?DBE ? 90? ,所以 AEBD 为正方形, AE ? 1 。
·5·

由于 AE , DB 都与平面 CBC0 垂直,所以 AE ? CE ,可知 AC ? 1 。 因此只有 AC ? AB ?

2 时,△ ABC 为等腰三角形。在 Rt △ AEC 中,

由(Ⅰ)可知, ,所以 ?CBE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角, 即二面角 A ? BD ? C 的大小为 60 ? 。 解法二:以 D 为坐标原点,射线 DA , DB 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴,建立如图的空间直角 坐标系 D ? xyz ,则 A(1, 0, 0) , B(0,1, 0) , D(0,0,0) 。
2 2 由(Ⅰ)可设点 C 的坐标为 ( x,1, z ) ,其中 z ? 0 ,则有 x ? z ? 1。

CE ? AC2 ? AE2 ? 1,又 BC ? 1 ,所以△ CEB 为等边三角形, ?CBE ? 60? 。



因为△ ABC 为等腰三角形,所以 AC ? 1 或 AC ? 2 。 若 AC ? 1 ,则有 ( x ?1)2 ? 1 ? z 2 ? 1 。则此得 x ? 1 , z ? 0 ,不合题意 若 AC ? 2 ,则有 ( x ?1)2 ? 1 ? z 2 ? 2 。 联立①和②得 x ? ②

1 3 1 3 ,z? 。故点 C 的坐标为 ( ,1, )。 2 2 2 2 由于 DA ? BD , BC ? BD ,所以 DA 与 BC 夹角的大小等于二面角 A ? BD ? C 的大小。 1 3 DA ? BC 1 又 DA ? (1,0,0) , BC ? ( , 0, ) , cos ? DA, BC ?? ? . 2 2 | DA || BC | 2
所以 ? DA, BC ?? 60? 即二面角 A ? BD ? C 的大小为 60 ? 。

20 、 (1)设 C 的标准方程为

x2 y 2 c 5 ? 2 ? 1? a, b ? 0 ? 在 由 题 意 c ? 5, e ? ? ,因此 2 a b a 2 1 x2 a ?? 2, b ? c2 ? a2 ? 1 ,则曲线 C 的标准方程为 ? y 2 ? 1,曲线 C 的渐近线方程为 y ? ? x 。 2 4

(2)解法一:由题意点 ? xE , yE ? 在直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4和l2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 ,因此有 因此直线 MN 的方程为 x1xE ? 4 y1 yE ? 4, x2 xE ? 4 y2 yE ? 4, 故点 M,N 均在直线 xxE ? 4 yyE ? 4, 上, xE x ? 4 yE y ? 4, ,设 G,H 分别是直线 MN 与渐近线 x ? 2 y ? 0及x ? 2 y ? 0的交点 ,由方程组

? xE x ? 4 yE y ? 4 ? xE x ? 4 yE y ? 4 2 2 解得 yG ? , 设 MN 与 x 轴的交点 , yH ? ? 及? ? xE ? 2 yE xE ? 2 yE ?x ? 2 y ? 0 ?x ? 2 y ? 0 4 2 2 为 Q ,则在直线 xE x ? 4 yE y ? 4, 中令 y ? 0 ,得 xQ ? (易得 xE ? 0 ) ,注意到 xE ? 4 yE ? 4 ,得 xE
S? 1 1 1 1 4 1 OQ ? yG ? yH ? ? ? ? ?2 2 2 xE xE ? 2 yE xE ? 2 yE xE x E ? 4 y 2 E

解 法 二 : 设 ? xE , yE ? , 由 方 程 组 ?

4 ? y2 ? y1 ? ? x1 x ? 4 y1 y ? 4 x1 ? x2 得 xE ? ,因为 , yE ? x1 y2 ? x2 y1 x1 y2 ? x2 y1 ? x2 x ? 4 y 2 y ? 4

x2 ? x1 ,则直线 MN 的斜率 K ?

y2 ? y1 x x ? ? E ,故直线 MN 的方程为 y ? y1 ? ? E ? x ? x1 ? 4 yE x2 ? x1 4 yE
·6·

注意到 xE x1 ? 4 yE y1 ? 4, 因此直线 MN 的方程为 xE x ? 4 yE y ? 4, 下同解法一,

21.解(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= (ⅰ)当 a=2 时, f '(x)= ∞).为增函数. (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数. a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x f '(x) f(x) (-∞, - + a-2 ) a (- a-2 , a - a-2 ) a ( a-2 ,1) a + a-2 , x2= a

ax2+2-a -ax e . (1-x)2

2x2 - e 2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在(-∞,1), (1,+ (1-x)2

a-2 . a

(1,+∞) +


a-2 ), ( a






a-2 , a a-2 )为减函数. a

f(x)在(-∞, -

a-2 ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- a

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1. (ⅱ)当 a>2 时, 取 x0= 1 2 a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1 a

1+x - (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e ax≥1,得 1-x f(x)= 1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1. 1-x 1-x

22 题 : 连 接 CE,AO,AB 根 据 A, E 是 半 圆 的 圆 周 上 的 两 个 三 等 分 点 , BC 为 直 径 , 可 得

?CEB ? 900 , ?CBE ? 300 , ?AOB ? 600 , 故三角形 AOB 瓦诶等边三角形,
AD ? 3, OD ? BD ? 1,? DF ? 3 2 3 ,? AF ? AD ? DF ? 3 3

23 题: (1)由已知得椭圆的右焦点为 ? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 , 所以 k ?

1 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。 2

(2) S ? 4 xy ? 60sin ? cos ? ? 30sin 2? , 当 2? ?
·7·

?
2

时,面积最大为 30。

24 题: (1) f ? x ? ? ? (2) ? ??, ?2 ?

??2 x ? 5, x ? 2 如图所示。 2 x ? 3, x ? 2 ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?

·8·



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