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2018版高中数学第二章平面向量2.1向量的概念及表示学案苏教版必修4

2.1 向量的概念及表示 学习目标 1.能结合物理中的力、 位移、 速度等具体背景认识向量, 掌握向量与数量的区别.2. 会用有向线段作向量的几何表示, 了解有向线段与向量的联系与区别, 会用字母表示向量.3. 理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中 这些相关的概念. 知识点一 向量的概念 思考 1 在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别? 思考 2 两个数量可以比较大小,那么两个向量能比较大小吗? 梳理 向量与数量 (1)向量:既有________,又有________的量称为向量. (2)数量:只有________,没有________的量称为数量. 知识点二 向量的表示方法 思考 1 向量既有大小又有方向,那么如何形象、直观地表示出来? 思考 2 0 的模长是多少?0 有方向吗? 思考 3 单位向量的模长是多少? 梳理 (1)向量的几何表示: 向量可以用一条有向线段表示. 带有________的线段叫做有向线 段,它包含三个要素:________、________、________,如图所示. 1 → 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB. → (2)向量的字母表示:向量可以用字母 a, b, c,…表示(印刷用粗体 a,b,c,书写时用 a , → → b , c ). → → → (3) 向 量 AB 的 大 小 , 也 就 是 向 量 AB 的 长 度 ( 或 称 模 ) , 即 有 向 线 段 AB 的 长 度 , 记 作 _______._______的向量叫做零向量,记作_______;_______的向量,叫做单位向量. 知识点三 向量间的关系 → → 思考 1 已知 A,B 为平面上不同两点,那么向量AB和向量BA相等吗?它们共线吗? 思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗? 思考 3 若 a∥b,b∥c,那么一定有 a∥c 吗? 梳理 (1)相等向量:____________且____________的向量叫做相等向量. (2)平行向量:方向____________的________向量叫做平行向量. ①记法:向量 a 平行于 b,记作________. ②规定:零向量与____________平行. (3)共线向量: 由于任意一组平行向量都可以平移到同一直线上, 所以________向量也叫做共 线向量.也就是说,平行向量与共线向量是等价的,因此要注意避免向量平行、共线与平面 几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 类型一 向量的概念 例 1 下列说法中,正确的是________. 2 → → ①向量AB与向量BA的长度相等; ②两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同; ③零向量没有方向; ④任意两个单位向量都相等; ⑤两个相等向量的起点相同,则终点也相同. 反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义, 对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练 1 下列说法正确的有________. ①若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b; → → ②向量AB与CD是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上; → → ③向量AB与BA是平行向量. 类型二 共线向量与相等向量 例 2 如图所示,△ABC 的三边均不相等,E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点. → (1)写出与EF共线的向量; → (2)写出与EF的模大小相等的向量; → (3)写出与EF相等的向量. 反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反. (2)共线的向量不一定相等,但相等的向量一定共线. 跟踪训练 2 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心. → (1)与OA的模相等的向量有多少个? → (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个? 3 → (3)与OA共线的向量有哪些? 类型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点,然后又改变方向,向西偏北 50°的 方向走了 200 km 到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100 km 到达 D 点. → → → (1)作出向量AB、BC、CD; → (2)求|AD|. 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量 的大小确定向量的终点. 跟踪训练 3 在如图的方格纸上,已知向量 a,每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c,使|c|= 5,并说出向量 c 的终点的轨迹是什么? 4 1.下列结论正确的个数是________. ①温度含零上和零下温度,所以温度是向量; ②向量的模是一个正实数; ③向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; ④若|a|>|b|,则 a>b. 2.有下列说法: ①若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同; → → → → → → → → ②若向量AB,CD满足|AB|>|CD|,且AB与CD同向,则AB>CD; ③若 a≠b,则 a 一定不与 b 共线; ④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中,正确说法的个数是________. 3.把同一平面内所有模不小于 1,不大于 2 的向量的起点,移到同一点 O,则这些向量的终 点构成的图形的面积等于________. 4.如图所示,以 1×2 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. → → (1)写出与AF、AE相等的向量; → (2)写出与AD模相等的向量. 1.向量是既有大小又有方向的量,从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征,因此 借助于向量,我们可以将某些代数问题转化为几何问题,又将几何问题转化为代数问题,故 向量能起到数形结合


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