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2019高中数学 第一章 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积练习 新人教A版必修2

1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

【选题明细表】 知识点、方法 几何体的侧面积与表面积 几何体的体积 组合体的表面积与体积 综合问题 题号 3,4,5,10 1,2,7 6,9 8,11

1.已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体的体积为( B )

(A)

(B)

(C)2

π

(D)4

π ,

解析:由题意,该几何体可以看作是两个底面半径为 高为 的圆锥的组合体,

其体积为 2× ×π ×(



2

=

π.

2.(2018·河南焦作期末)一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 的半圆,则该圆锥的体积为 ( D )

(A)2

π

(B)

π

(C)

(D)

解 析 : 由 题 圆 锥 的 底 面 周 长 为 2 π , 底 面 半 径 为 1, 圆 锥 的 高 为

,圆锥的体积为

π ·1 ·

2

=

π ,故选 D.

3.(2018·河北沧州高一检测)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆 台的侧面积为 84π ,则圆台较小底面的半径为( A ) (A)7 (B)6 (C)5 (D)3 解析:设上、下底面半径为 r,R. 则 2π R=3×2π r, 所以 R=3r. 又π (r1+r2)l=S 侧, 所以 S 侧=π (3r+r)×3=84π ,所以 r=7. 4.(2018·安徽马鞍山期中 ) 若圆锥的高等于底面直径 , 则它的底面积与侧面积之比为 ( C )
1

(A)1∶2 (B)1∶

(C)1∶

(D)

∶2 =
2

解析:若圆锥的高等于底面直径,则 h=2r,则母线 l=
2

r,

而圆锥的底面面积为π r ,圆锥的侧面积为π rl= π r , 故圆锥的底面积与侧面积之比为 1∶ ,故选 C. 5.(2018·桂林调研 )正六棱柱的一条最长的对角线长是 13,侧面积为 180,棱柱的全面积 为 . 解析:如图,设正六棱柱的底面边长为 a,侧棱长为 h,

易知 CF′是正六棱柱的一条最长的对角线, 即 CF′=13. 因为 CF=2a,FF′=h, 所以 CF′= = =13. ② ①

因为正六棱柱的侧面积为 180, 所以 S 侧=6a·h=180,

联立①②解得



当 a=6,h=5 时,S 底=6× 所以 S 全=180+108 .

a ×2=108

2

.

当 a= ,h=12 时,S 底=6×

a ×2=

2

,

所以 S 全=180+

.

答案:180+

或 180+108

6.如图,直三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 6 cm,底面直角三角形的边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,以 上、 下底的内切圆为底面,挖去一个圆柱,求剩余部分形成的几何体的体积为 .(π 取 3.14)

2

解析:由题意知,Rt△ABC 的内切圆 O 的半径为 r=1(cm), 所以所求几何体的体积为

V= ×3×4×6-π ×1 ×6≈17.16(cm ). 即剩余部分形成的几何体的体积为 17.16 cm . 3 答案:17.16 cm 7.若圆锥的侧面积为 2π ,底面面积为π ,则该圆锥的体积为
3

2

3

.

解析:由题底面半径是 1,圆锥的母线为 2,则圆锥的高为

,所以圆锥的体积为 ×

×π

=

.

答案:

8.(2018·湖南郴州二模)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时, 用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺 八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( B ) ( 注 : ①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积 ; ②一尺等于十寸 ; ③台体的体积公式

V= (S 上+

+S 下)·h)

(A)2 寸 (B)3 寸 (C)4 寸 (D)5 寸 解析:如图,由题意可知,天池盆上底面半径为 14 寸,下底面半径为 6 寸,高为 18 寸.

因为积水深 9 寸,

所以水面半径为 (14+6)=10 寸, 则盆中水的体积为

3

π ×9(6 +10 +6×10)=588π (立方寸),

2

2

所以平地降雨量等于

=3(寸).故选 B.

9.(2018·辽宁抚顺一中月考)如图,多面体 ABCDEF 中,BA,BC,BE 两两垂直,且 AB∥EF,CD∥ BE,AB=BE=2,BC=CD=EF=1,则多面体 ABCDEF 的体积为 .

解析:多面体 ABCDEF 的体积等于四棱锥 D ABEF 和三棱锥 A BCD 的体积之和.

因为

= ×S 四边形 ABEF×BC

= × (1+2)×2×1=1,

= ×S△BCD×AB

= × ×1×1×2

= .

所以多面体 ABCDEF 的体积 V 多面体 ABCDEF= +1= .

答案: 10.已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为 30°,求正四棱锥的侧面积和 表面积. 解:如图,正四棱锥的高 PO,斜高 PE,底面边心距 OE 组成 Rt△POE.

因为 OE=2 cm,∠OPE=30°,

4

所以 PE=2OE=4 cm.

因此 S 侧=4× PE·BC=4× ×4×4=32(cm ),S 表面积=S 侧+S 底=32+16=48(cm ).

2

2

11.(2018·江苏省连云港市高一期末)如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2,P 是 BC 的中点, 点 Q 是棱 CC1 上的动点.

(1)点 Q 在何位置时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点,并说明理由; (2)求三棱锥 B1-DBQ 的体积; (3)若点 Q 是棱 CC1 的中点时,记过点 A,P,Q 三点的平面截正方体所得截面面积为 S,求 S. 解:(1)当 Q 是棱 CC1 的中点时,直线 D1Q,DC,AP 交于一点, 理由:延长 D1Q、DC 交于点 O,则 QC 为△DD1O 的中位线, 所以 C 为 DO 的中点,延长 AP、DC 交于点 O′,则 PC 为△ADO′的中位线,所以 C 为 DO′的中 点, 所以点 O 与点 O′重合,所以直线 D1Q、DC、AP 交于一点.

(2)

=

= ×( ×2×2)×2= .

(3)连接 AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ, 所以梯形 APQD1 为所求截面,

梯形 APQD1 的高为

=

,

S= (
[ ] 文 原 ⑿ 门 众 ⑾ 又 玄 ⑩ 谓 异 出 同 者 两 ⑨ 徼 所 ⑧ 眇 其 观 以 ⑦ 欲 故 ⑥ 母 ⑤ 有 ; 始 之 物 万 ④ 无 ③ 名 。 ② 恒 非 , ① 也 可 道 ] 文 译 [ “ ( ) 语 言 就 那 辞 文 果 如 通 普 非 并 明 说 也 径 化 变 切 悉 洞 形 达 到 门 总 又 般 一 不 它 远 深 、 玄 为 都 异 称 同 相 源 者 两 这 与 倪 端 会 体 妙 奥 道 悟 领 察 观 去 中 从 常 要 此 因 名 命 原 本 生 产 物 万 宙 宇 是 则 , 有 而 ; 况 状 的 际 之 开 未 沌 浑 地 天 述 表 来 用 以 可 ” 无 。 [ ] 释 注 出 得 言 犹 思 意 述 表 说 解 动 二 。 等 律 规 真 则 、 理 为 申 引 质 实 和 原 本 宙 宇 的 指 , 词 名 是 ” 道 “ 个 一 第 ① 。 通 普 , 的 般 一 : 恒 ② 思 意 明 说 动 二 。 态 形 的 道 指 , 词 是 ” 名 “ 个 一 第 ③ 。 形 指 : 名 无 ④ 。 形 指 : 名 有 ⑤ 。 源 根 , 体 : 母 ⑥ 。 常 经 : 恒 ⑦ 。 思 意 的 微 , 妙 通 : ) o a i m ( 眇 ⑧ 思 意 的 倪 端 申 引 。 界 、 际 边 : ) o a i j ( 徼 ⑨ ” 指 “ 为 此 。 称 : 谓 ⑩ 。 义 含 的 远 妙 , 色 黑 深 : 玄 ⑾ 。 ” 道 “ 原 唯 物 万 宙 宇 喻 比 来 用 此 , 径 总 的 化 变 妙 奥 切 一 , 之 : 门 ⑿ ] 1 读 阅 伸 延 [ 》 注 经 德 道 《 弼 王 。 名 常 非 , 可 道 。 不 故 也 常 其 非 形 造 事 指 名 , 之 道 可 。 母 物 万 有 ; 始 之 地 天 , 名 无 又 玄 所 知 不 而 成 以 道 言 也 母 毒 亭 育 长 其 及 。 物 万 为 则 时 之 名 形 未 故 , 无 於 始 皆 有 凡 ; 妙 其 观 以 , 欲 无 常 故 其 观 以 可 虚 空 欲 常 故 生 无 成 后 而 於 始 物 万 。 也 极 之 微 , 者 妙 。 徼 其 观 以 , 欲 有 常 物 其 观 可 常 故 济 后 而 道 适 本 所 欲 ; 用 无 以 必 利 为 之 有 凡 。 也 终 归 , 徼 门 妙 众 又 玄 之 谓 。 名 异 而 出 同 , 者 两 此 门 从 皆 妙 众 又 矣 远 失 是 已 一 乎 定 以 取 曰 言 故 而 得 、 有 无 然 默 冥 终 之 谓 则 首 在 可 不 施 所 名 异 玄 於 出 同 。 也 母 与 始 , 者 两 ] 2 读 阅 伸 延 [ 》 解 子 老 《 辙 苏 。 常 非 , 可 道 能 變 皆 彼 在 如 為 以 然 之 此 智 禮 義 仁 夫 今 耳 後 惟 , 常 不 者 可 而 。 也 道 非 莫 。 常 非 , 可 名 矣 常 同 直 曲 方 圓 則 立 既 。 也 者 其 皆 凡 ? 乎 之 名 得 況 而 , 可 不 道 徼 妙 其 觀 以 欲 常 。 母 物 萬 有 ; 始 之 地 天 , 名 無 遍 精 繳 留 神 粗 則 知 行 夫 若 徼 至 妙 觀 將 常 衆 於 入 用 下 以 人 聖 也 甩 體 之 道 者 故 載 勝 可 不 育 物 萬 播 有 。 矣 立 始 位 地 天 為 而 形 , 名 無 其 自 。 玄 之 謂 名 異 而 出 同 , 者 兩 此 出 從 加 可 盡 焉 在 心 猶 然 門 妙 衆 寄 常 子 老 故 又 色 者 極 至 所 遠 凡 玄 也 之 本 異 雖 名 其 哉 一 不 嘗 未 復 為 運 知 安 。 矣 兩 信 則 , 無 有 言 而 形 以

+2



= .

章 一 第

5



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