9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 高考 >>

高中数学第一章计数原理5二项式定理同步测控北师大选修2-3创新


高中数学 第一章 计数原理 5 二项式定理同步测控 北师大版选修 2-3
我夯基,我达标 1.在(x-1)(x+1) 的展开式中,x 的系数是 …( ) A.-14 B.14 C.-28
8 5

D.28

4 3 解析:原式=x(x+1) -(x+1) ,故 x 的系数为 C 8 -C 8 =14.
8 8 5

答案:B 2.( x ? A.0
r 解析:∵Tr+1=C 10 (

1 10 ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( 3x
B.2 C.4

) D.6
3

x )10-r(-

1 r r ) =C 10 x 3x

10 ? r 2

·(-

1 r -r r 1 r 5? r 3 * ) ·x =C 10 (- ) x 2 ,由 5- r∈N 3 3 2

知 r=0 或 2,∴展开式中第 1、3 项 x 的指数为正整数. 答案:B 3.若( 3 x ?

1 n ) 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为( x
C.162 D.540



A.-540 B.-162 n 解析:令 x=1 得 2 =64,则 n=6.
r Tr+1=C 6 (3

x )6-r(-

1 r r 6-r r 3-r ) =(-1) 3 C 6 x , x

令 3-r=0,得 r=3. 常数项为-27C 3 6 =-540. 答案:A 2 10 9 10 4.若多项式 x +x =a0+a1(x+1)+…+a9(x+1) +a10(x+1) ,则 a9 的值为( A.9 B.10 C.-9
0 解析:x 的系数为 a10=C 10 =1,
10

) D.-10

0 x 的系数为 a9· C9 +a10·C 1 10 =a9+10=0,
9

∴a9=-10. 答案:D 5.(2006 高考陕西卷,14)(3x-

1 12 -3 ) 展开式中 x 的系数为____________.(用数字作答) x
3

解析:Tr+1=C 12 (3x)

r

12-r

·(-

12 ? r 1 r r r 12-r ) =(-1) C 12 ·3 ·x 2 , x

1

令 12-3

3 r=-3,得 r=10. 2
10 2

∴x 的系数为(-1) ·C 10 12 ·3 =594. 答案:594 6.(2006 高考全国卷Ⅱ,13.在(x +
r 解析:Tr+1=C 10 (x )
4 10-r 4

1 10 ) 的展开式中常数项是____________.(用数字作答) x

·(

1 r r 40-5r ) =C 10 ·x , x

令 40-5r=0,得 r=8.
8 ∴常数项为 C 10 =45.

答案:45 我综合,我发展 5 3 7.(2006 高 考 湖 南 卷 , 11) 若 (ax-1) 的 展 开 式中 x 的 系 数 是 -80 , 则实 数 a 的 值 是 ____________.
r 解析:设(ax-1) 的展开式的通项公式为 Tr+1=C 5 ·(ax) ·(-1) .
5 5-r r

由 x 的系数为-80,可得

3

?5 ? r ? 3 ? r 5? r ?C5 ? a ? (?1)r ? ?80.
解得 ?

?r ? 2, ?a ? ?2.

答案:-2 8.在(x- 2 )
2 008

的二项展开式中, 含 x 的奇次幂的项之和为 S, 当 x= 2 时, S 的值为多少? (- 2 ) ,
r

解:Tr+1=C r 2008 x

2 008-r

显然当 2 008-r 为奇数时,r 为奇数. ∴当 x= 2 时,Tr+1=-C r 2008 ( 2 ) ∴S=-2
1 004 2 008

=-C r 2008 ·2
1 004

1 004

.

3 2007 (C 1 2008 +C 2008 +…+C 2008 )=-2

×

1 2 008 3 011 ×2 =-2 . 2

9.已知(x -

2

3 i n 2 ) 的展开式中第三项与第五项的系数之比为,其中 i =-1,则展开式中 14 x

常数项的值是多少? 解:设(x 2

i n ) 的展开式的第 r+1 项为 Tr+1, x
2 n-r

则 Tr+1=C r n ·(x ) ·(-

2 n? i r r r 2 ) =C n ·(-i) ·x . x

5r

2

由已知第三项与第五项的系数比为解得 n=10. 由 2n-

C 2 ? (?i) 2 C n2 3 3 3 ,得 n , 即 ? ? ?= , 4 4 4 14 14 14 Cn ? (?i) Cn

5r 8 8 8 2 =0 得 r=8,则展开式中的常数项为 C 10 ·(-i) =C 10 =C 10 =45. 2
我创新,我超越

m 1 10.设数列{an}是等比数列,a1=C 3 2 m?3 ·A m? 2 ,公比 q 是(x+

1 4 ) 的展开式中的第二项(按 4x2

x 的降幂排列). (1)用 n,x 表示通项 an 与前 n 项和 Sn;
2 n (2)若 An=C 1 n S1+ C n S2+…+C n Sn,用 n,x 表示 An. m 1 解: (1)∵a1=C 3 2 m?3 ·A m? 2 ,

∴?

?2m ? 3 ? 3m, ?m ? 3, 即? ?m ? 2 ? 1, ?m ? 3.
1 4 1 4-1 1 ) 知 T2=C 4 ·x ·( 2 )=x. 2 4x 4x

∴m=3. 由(x+

?n( x ? 1) ? ∴an=x ,Sn= ?1 ? x n . ( x ? 1) ? ? 1? x
n-1

(2)当 x=1 时,Sn=n,
2 3 n An=C 1 n +2C n +3C n +…+nC n . n?1 ?2 1 0 又∵An=nC n +(n-2)C n n +(n-1)C n n +…+C n +0·C n , 1 2 n ∴2An=n(C 0 n +C n +C n +…+C n ).

∴An=n·2 . 当 x≠1 时,Sn=

n-1

1? xn , 1? x

An=

1 ? x 1 1 ? x2 2 1 ? x3 3 1? xn n Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn 1? x 1? x 1? x 1? x

1 2 2 3 3 n n 2 3 n 1 [ (C 1 n +C n +C n +…+C n )-(xC n +x C n +x C n +…+x C n )] 1? x 1 n 2 2 n n = [2 -1-(1+xC 1 n +x C n +…+x C n -1)] 1? x
=

3

=

1 n n [2 -(1+x) ]. 1? x

?n ? 2n ? 1( x ? 1), ? ∴An= ? 2 n ? (1 ? x) n ( x ?). ? 1? x ?
11. 已 知 数 列 {an} 满 足 an=n·2 (n∈N ), 是 否 存 在 等 差 数 列 {bn} , 使
n-1 *

2 3 n an=b1C 1 n +b2C n +b3C n +…+bnC n 对一切整数 n 成立?并证明你的结论. 2 3 n 解:假设等差数列{bn}使等式 n·2 =b1C 1 n +b2C n +b3C n +…+bnC n 对一切正整数 n 成立.
n-1

当 n=1 时,得 1=b1C 1,∴b1=1;
2 当 n=2 时,得 4=b1C 1 2 +b2C 2 ,∴b2=2;

1

2 3 当 n=3 时,得 12=b1C 1 3 +b2C 3 +b3C 3 ,∴b3=3;

可猜想 bn=n 时,
2 3 n n·2 =C 1 n +2C n +3C n +…+nC n .
n-1

∵kC k n =k·

n! k!(n ? k )!

=n·

(n ? 1)! n ?k ? nCn ?1 . (k ? 1)!(n ? k )!

2 3 n ∴C 1 n +2C n +3C n +nC n 1 n?1 =n(C 0 n?1 ?Cn?1 ? ? ? ? ? Cn?1 )=n·2 .
n-1

故存在等差数列{bn},{bn}满足 bn=n,使已知等式对一切 n∈N 成立.

*

4


赞助商链接

更多相关文章:
2011届高二数学_期末备考专题排列组合、二项式定理_新...
二项式定理_新人教A版选修2-3_数学_高中教育_教育...(5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空...2.分步计数原理(乘法原理) :完成一件事,需要分成 ...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图