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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第四节参数方程 文

第四节 参数方程 知识梳理 一、参数方程的定义 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函 ?x=f?t?, ? 数? (*) ?y=g?t?, ? 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方 程(*)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数,简称参数. 相对于参数方程而言,直接给出点的横、纵坐标间关系的方程叫做普通方程. 二、圆的参数方程 ?x=x0+rcos θ, ? 圆(x-x0)2+(y-y0)2=r2 的参数方程为? (θ 为参数) ? ?y=y0+rsin θ. ?x=rcos θ, ? 特别地,圆心在原点,半径为 r 的圆 x2+y2=r2 的参数方程是? (θ 为参数) ?y=rsin θ. ? 其中参数 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度. 三、椭圆的参数方程 ? ?x=acos φ, x2 y2 中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程是? (φ a b ?y=bsin φ. ? 为参数) 其中参数 φ 的范围为 φ∈[0,2π). 四、双曲线的参数方程 ?x=asec φ, ? x2 y2 中心在原点 O,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是? a b ? ?y=btan φ. (φ 为参 数) π 3π 1 其中参数 φ 的范围为 φ∈[0,2π),且 φ≠ ,φ≠ 注意:sec φ= . 2 2 cos φ 基础自测 ?x=1-2t, ? 1.若直线? (t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常数 k=________. ? ?y=2+3t ? ?x=1-2t, 解析:参数方程? 所表示的直线方程为 3x+2y-7=0,由此直线与直线 4x ?y=2+3t ? 3 4 - ?×?- ?=-1,解得 k=-6. +ky=1 垂直可得? ? 2? ? k? 答案:-6 第 1 页 共 4 页 ? ?x=2cos α, 2.参数方程? ?y=2-cos 2α ? x2 答案:y=- +3(|x|≤2) 2 (α 是参数)表示的曲线的普通方程是________________. 3.(2013· 广东卷)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为 x 轴的 正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为____________________. 解析:本题考了备考弱点.讲参数方程的时候,参数的意义要理解清楚.先化成直角坐 ? ?x=1+cos θ, 标方程(x-1)2+y2=1,易得曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数) ?y=sin θ, ? ? ?x=1+cos θ, 答案:? ?y=sin θ ? (θ 为参数) 4. (2013· 陕西宝鸡三模)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=6sin θ,以极点为原点,极轴为 x 1 x= t, 2 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),则直线 3 y= t+1 2 ? ? ? l 被曲线 C 截得的线段长度为________. 解析:曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-6y=0,该曲线是圆,圆心为(0,3),半径为 3; |-3+1| 直线 l 的普通方程为 3x-y+1=0,圆心到直线的距离为 d= =1,所以,直线 l 被 2 曲线 C 截得的线段长度为 2 32-12=4 2. 答案:4 2 五、抛物线的参数方程 2 ? ?x=2pt , ? 开口向右,焦点在 x 轴上的抛物线 y =2px(p>0)的参数方程是 ?y=2pt. ? 2 (t 为参数) 其中参数 t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数,其范围为 t∈(-∞,+∞). 六、直线的参数方程 1.标准式. ? ?x=x0+tcos θ, 经过点 M0(x0,y0),倾斜角为 θ 的直线的参数方程为? (t 为参数) ?y=y0+tsin θ. ? → 其中, t 是直线上的定点 M0(x0, y0)到动点 M(x, y)的有向线段M0M的数量, 即|M0M|=|t|, 当点(x,y)在点(x0,y0)的上方时,t>0;当点(x,y)在点(x0,y0)的下方时,t<0,当点(x,y) 与点(x0,y0)重合时,t=0.以上反之亦然. 于是参数 t 的绝对值等于直线上的动点 M 到定点 M0 的距离. 由于直线的标准参数方程中 t 具有这样的几何意义,所以在解决直线与二次曲线相交 的弦长和弦的中点问题时,用参数方程来解决,方便了很多. 2.点斜式. ? ?x=x0+at, ? (t 为参数) ?y=y0+bt. ? b 其中,(x0,y0)表示该直线上的一点, 表示直线的斜率. a 当 a,b 分别表示点 M(x,y)在 x 方向与 y 方向的分速度时,t 就具有物理意义——时间, 相应的 at,bt 则表示点 M(x,y)在 x 方向,y 方向上相对(x0,y0)的位移. 第 2 页 共 4 页 七、渐开线与摆线的参数方程(了解) 1.渐开线的参数方程. ? ?x=r?cos φ+φsin φ?, ? (φ 为参数) ?y=r?sin φ-φcos φ?. ? 其中 r 为基圆的半径,φ 为过切点的半径与 x 轴正方向所成的角. 2.摆线的参数方程. ?x=r?φ-sin φ?, ? ? (φ 为参数) ? ?y=r?1-cos φ?. 其中 r 为圆的半径,φ 为定点作圆周运动时所转过的角. 八、参数方程和普通方程的互化 1. 由参数方程化为普通方程(重点)——消去参数. 消参数常用的方法有代入法、 加减(或 乘除)消元法、三角代换法等.消参时应特别注意参数的取值范围对 x,y 的限制. 由参数方程化为普通方程一般是唯一的. 2.由


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