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四川省绵阳市高中2016届高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题


绵阳市高中 2013 级第二次诊断性考试



学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共4页. 满分150分.考试时间120分钟.考生作答时,必将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.考试结 束后,将答题卡交回.

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
注意事项:必须使用2B铅笔在答题卡上将对应题目的答案标号涂黑.
第Ⅰ卷共10小题.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 A ? { y | y ? 2 } ,集合 B ? { y | y ?
x

x} ,则 A ? B ?
(B) (1,??) (D) (??,??)

(A) [0,??) (C) (0,??) 2.为了得到函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
5

) 的图象,只需把函数 y ? 3 sin( x ?

?
5

) 图象上的所有点

(A)横坐标缩短到原来的

1 倍,纵坐标不变 2 1 倍,横坐标不变 2

(B) 横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 (C) 纵坐标缩短到原来的

(D) 纵坐标缩短到原来的 2 倍,横坐标不变 3.双曲线

4 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率是 2 3 a b
(B)

(A)

5 4

5 3

(C)

7 3

(D)

21 3

4.在复平面内,复数 z ? ( a ?1) ? (a ?1)i(a ? R, i 为虚数单位),对应的的点在第四象限的 充要条件是 (A) a ? ?1 (B) a ? ?1 (C)

a ? ?1

(D) a ? ?1

数学(理工类)试卷 第 1 页(共 4 页)

? ? cos? 5.直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 ? ,则 sin 的值是 sin ? ?cos?

(A) -3 (C) ?

(B) -2

1 3

(D) 3

6. 在闭区间 [?4,6] 上随机取出一个数 x , 执行右图程序框图, 则输出 x 不小于 39 的概率为

1 5 3 (C) 5
(A)

2 5 4 (D) 5
(B)

7.已知点 M 是边长为 2 的形 ABCD 的内切圆内(含边界)的一动点,则 MA ? MB 的取 值范围是 (A) ?? 1,0? (C) ??1,3? (B) ?? 1,2? (D) ?? 1,4?

8.已知正项等比数列 {a n } 满足 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? 8 ,则 a6 ? a7 的最小值为 (A) 4 (C) 24 9.已知函数 f ( x) ? (B) 16 (D) 32

1 1 1 2 b x ? ? c(b, c是常数 ) 和 g ( x) ? x ? 定义在 M= {x | 1 ? x ? 4} 4 x 2 x

上的函数,对任意的 x ? M ,存在 x0 ? M 使得 f ( x) ? f ( x0 ) , g ( x) ? g ( x0 ) ,且

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则 f ( x) 在集合 M 上的最大值为
(A) (C) 4

7 2

(B)

9 2

(D) 5

2 10.已知抛物线 x ? 4 py( p ? 0) 的焦点为 F, 直线 y ? x ? 2 与该抛物线交于 A、 B 两点,

M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,若

AF ? BF ? ( AF ? BF) ? FN ? ?1 ? 5 p 2 ,则 p 的值为
(A)

1 4

(B)

1 2

(C) 1

(D) 2

数学(理工类)试卷 第 2 页(共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项:
必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答.作图时可先用铅 笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷、草稿纸上无效. 第Ⅱ卷共 11 小题

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某小组 4 个同学的数学成绩的茎叶图如右图,则该同学成绩的中位 数是_______. 12.在 x( x ? 1)5 展开式中含 x 项的系数是_______.(用数字作答)
3

13.从数字 0、1、2、3、4、5 这 6 个数字中任选三全不同的数字组成 的三位偶数有_______个.(用数字作答)

14.已知点 P 在单位圆 x ? y ? 1 上运动,点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 10 ? 0 与 x ? 3 的距离分
2 2

别记为 d1 、 d 2 ,则 d1 ? d 2 最小值为_________.

?b, a ? b ? 1 .设 a ?b ? ? ?a, a ? b ? 1 f ( x) ? ( x 2 ? 2x) ? ( x ? 3) ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 的图象与 x 轴恰有三个公共点,则实 数 k 的取值范围是_________.
15.现定义一种运算“ ? ”: 对任意实数 a , b , 三、解答题:本大题共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了 “珍爱生命,远离毒品”的电视公益广告,期望让 更多的市民知道毒品的危害性.禁毒志愿者为了了 解这则广告的宣传效果,随机抽取了 100 名年龄阶 40) , [40 , 50) , 20) , [20,30) , [30 , 段在 [10, [50 , 60) 的市民进行问卷调查,由此得到样本占有 率分布直方图如图所示. 40) 的 (Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄在 [30 , 人数; (Ⅱ) 从不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样 60) 年龄段抽取样品的人数; 的方法随机抽取 5 人,求 [50 , (Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的 5 人中再抽取 2 人作为本次活动的获奖者,记 X 为年龄 60) 年龄段的人数,求 X 的分布列及数学期望. 在 [50 ,

数学(理工类)试卷 第 3 页(共 4 页)

17.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos4 x ? 2 sin x cos x ? sin 4 x . (Ⅰ) 若 x 是某三角形的一个内角,且的值,并 f ( x) ? ? (Ⅱ) 当 x ? [0,

?
2

2 ,求角 x 的大小; 2

] 时,求 f ( x) 的最小值及取得最小值时 x 的集合.

18.(本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? m(m为非零常数) 的图象与坐标轴有三个交点,记过 这三个交点的圆为圆 C. (Ⅰ) 求 m 的取值范围; (Ⅱ) 试证明圆 C 过定点 (与m取值无关) ,并求出定点的坐标. 19.已知等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足:S5=30,S10=110,数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 满足: b1 ? 1

bn?1 ? 2Tn ? 1 .

(Ⅰ) 求 Sn 与 bn; (Ⅱ) 比较 Snbn 与 2Tn an 的大小,并说明理由.

20.(本题满分 13 分) 在平面直角坐标系中,动点 M 到定点 F(-1,0)的距离与它到直线 x ? ?2 的距离之 比是常数

2 ,记 M 的轨迹为 T. 2

(Ⅰ) 求轨迹 T 的方程; (Ⅱ) 过 F 且不与 x 轴重合的直线 m ,与轨迹 T 交于 A, B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 P, 在轨迹 T 上是否存在点 Q, 使得四边形 APBQ 为菱形?若存在, 请求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx(m为常数) . (Ⅰ) 讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 当 m ?

3 2 2 时,设 g ( x) ? 2 f ( x) ? x 的两个极值点 x1,x2 , (x1 ? x2 ) 恰为 2
x1 ? x2 ) 的最小值. 2

h( x) ? ln x ? cx2 ? bx 的零点,求 y ? ( x1 ? x2 )h' (

数学(理工类)试卷 第 4 页(共 4 页)

绵阳市高 2013 级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BABDC ACDDB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.127 12.-10 13.52

4 5 - 7] ∪{1} 15.(-3,-2)∪ ( ?8, 5 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 40) 的频率为 16.解 :(I)由图知,随机抽取的市民中年龄段在 [30 , 1-10 ? (0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3, 40) 的人数为 100 ? 0.3=30 人. ???3 分 即随机抽取的市民中年龄段在 [30 , 50) ,[50 , 60) 的人数分别为 100 ? 0.15=15 人, (II) 由 (I) 知, 年龄段在[40 , 100 ? 0.1=10 人,即不小于 40 岁的人的频数是 25 人, 5 60) 年龄段抽取的人数为 10 ? ∴ 在 [50 , =2 人. ??????????6 分 25 (III)由已知 X=0,1,2, 1 1 2 C2 3 C2 C3 3 C2 1 P(X=0)= 3 , P ( X =1)= , P ( X =2)= ? ? ? , 2 2 2 5 C 5 10 C5 C 5 10
14. 5 ? ∴ X 的分布列为 X P 0 1 2

17.解:(I)f(x)=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x =- 2 sin(2x由- 2 sin(2x-

3 3 1 5 10 10 3 3 1 4 ∴ EX=0× +1× +2× = . ????????????????12 分 5 10 10 5

?
4

), ?????????????????3 分

2 ? 1 ,即 sin(2x- )= , 2 4 4 2 ? 5? ? ? ∴ 2x- =2k ? + ,k∈Z,或 2x- =2k ? + ,k∈Z, 4 4 6 6 5? 13? 解得 x=k ? + ,k∈Z,或 x=k ? + ,k∈Z,???????6 分 24 24 ∵ 0<x< ? ,

?

)=-

∴ x=

(II)由(I)知 f(x)=- 2 sin(2x∵ x ?[0 , ] ,

5? 13? ,或 x= . ????????????????????8 分 24 24 ?

?

4

),

2

∴ 2x-

?
4

∈ [?

?

3? , ], 4 4

数学(理工类)试卷 第 5 页(共 4 页)

∴ - 2 ≤f(x)≤1,

3? 时,f(x)取得最小值- 2 , 8 4 2 3? 即 f(x)的最小值为- 2 ,此时 x 的取值集合为{ }.????????12 分 8
∴ 当且仅当 2x= ,即 x= 18.解:(I)令 x=0,得函数与 y 轴的交点是(0,m). 令 f ( x) ? x2 ? 4 x ? m ? 0 , 由题意 m ? 0 且 ? ? 0 ,解的 m ? 4 且 m ? 0 .?????????????4 分(II) 设所求的圆的一般方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 令 y ? 0 得 x 2 ? Dx ? F ? 0 ,这与 x 2 ? 4 x ? m ? 0 是同一个方程, 故 D=4,F=m,?????????????????????????6 分 令 x=0 得 y 2 ? Ey ? F ? 0 方程有一个根为 m , 代入得 E ? ? m ? 1 . ∴ 圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? (m ? 1) y ? m ? 0 . ???????????9 分 将圆 C 的方程整理变形为 x2 ? y 2 ? 4x ? y ? m(1 ? y) ? 0 , 此方程对所有满足 m ? 4 且 m ? 0 都成立,

?

?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? y ? 0, ? x ? 0, ? x ? ?4, 须有 ? 解的 ? 或? 1 ? y ? 0, ? y ? 1, ? y ? 1, ? 经检验知,(-4,1)和(0,1)均在圆 C 上, 因此圆 C 过定点(-4,1)和(0,1).????????12 分 19.解: (I)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由已知可得: 5? 4 ? 5a1 ? d ? 30, ? ?a1 ? 2, ? 2 解得 ? ? ?d ? 2, ?10a ? 10 ? 9 d ? 110, 1 ? 2 ? n( 2 ? 2n) 2 ∴ an=2+(n-1)× 2=2n,Sn= =n +n.????????????3 分 2 对数列{bn},由已知有 b2-2T1=1,即 b2=2b1+1=3, ∴ b2=3b1,(*) 又由已知 bn ?1 ? 2Tn ? 1 ,可得 bn-2 Tn ?1 =1(n≥2,n∈N*), 两式相减得 bn+1-bn-2(Tn- Tn ?1 )=0,即 bn+1-bn-2bn =0(n≥2,n∈N*), 整理得 bn+1=3bn (n≥2,n∈N*), b 结合(*)得 n ?1 ? 3 (常数),n∈N*, bn
∴ 数列{bn}是以 b1=1 为首项 1,3 为公比的等比数列, ∴ bn= 3n ?1 .??????????????????????????7 分 (II)2Tn= bn+1-1= 3n -1,

3n ?1 ,2 Tn an =2n· ∴ S n bn =(n2+n)· ( 3n -1), 3n ?1 - 2n· 于是 S n bn -2 Tn an =(n2+n)· ( 3n -1)= n[3n ?1 (n ? 5) ? 2] ,??????9 分
数学(理工类)试卷 第 6 页(共 4 页)

显然当 n≤4(n∈N*)时, S n bn -2 Tn an <0,即 S n bn <2 Tn an ; 当 n≥5(n∈N*)时, S n bn -2 Tn an >0,即 S n bn >2 Tn an , ∴ 当 n≤4(n∈N*)时, S n bn <2 Tn an ;当 n≥5(n∈N*)时, S n bn >2 Tn an . ??????????????????12 分 20.解:(I)设动点 M(x,y),则由题意可得

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 , 化简整理得 C 的方程为 ? ? y 2 ? 1 .?????3 分 x?2 2 2
(II)假设存在 Q(x0,y0)满足条件.设依题意可设直线 m 为 x=ky-1, ? x ? ky ? 1, ? 于是 ? x 2 消去 x,可得(k2+2) y2-2ky-1=0, 2 ? ? y ? 1, ?2 令 M(x1,y1),N(x2,y2), 于是 y1+y2=
2

2k ?4 ,x1+x2=k(y1+y2)-2= 2 ,???????????7 分 k ?2 k ?2 ?2 k ∴ AB 的中点 N 的坐标为( 2 , 2 ). k ?2 k ?2
∵ PQ⊥l,

k 2 =-k(x+ 2 ), k ?2 k ?2 1 1 令 y=0,解得 x= ? 2 ,即 P( ? 2 ,0).????????????9 分 k ?2 k ?2
∴ 直线 PQ 的方程为 y2

∵ P、Q 关于 N 点对称,

1 1 1 ?2 k = ( x0 ? 2 ), 2 = ( y0+0), k ?2 k ?2 2 k ?2 2 ?3 2k ?3 2k 解得 x0= 2 ,y0= 2 ,即 Q( 2 , 2 ). ????????11 分 k ?2 k ?2 k ?2 k ?2 ?3 2 2k 2 ∵ 点 Q 在椭圆上, ∴ ( 2 ) +2( 2 ) =2, k ?2 k ?2 1 1 1 解得 k2= ,于是 2 ? 2 ,即 ? ? 4 2 , 2 k k 4 4 ∴ m 的方程为 y= 2 x+ 2 或 y=- 4 2 x- 4 2 . ???????????13 分 1 1 ? mx 21.解:(I) f ?( x) ? ? m ? ,x>0. x x

2

当 m>0 时,

1 1 ,即当 0<x< 时, f ?( x) >0,f(x)单调递增; m m 1 1 由 1-mx<0 解得 x> ,即当 x> 时, f ?( x) <0,f(x)单调递减. m m 1 当 m=0 时, f ?( x) = >0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增; x 当 m<0 时,1-mx>0,故 f ?( x) >0,即 f(x)在(0,+∞)上单调递增.
由 1-mx>0 解得 x<
数学(理工类)试卷 第 7 页(共 4 页)

∴当 m>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,

1 1 ),单调递减区间为( ,+∞); m m
??????????5 分

当 m≤0 时,f(x) 的单调递增区间为(0,+∞). (II) g ( x) ? 2 f ( x) ? x 2 =2lnx-2mx+x2,则 g ?( x) ?

2( x 2 ? mx ? 1) , x ∴ g ?( x) 的两根 x1,x2 即为方程 x2-mx+1=0 的两根. 3 2 , 2 ∴ ? =m2-4>0,x1+x2=m,x1x2=1. ????????????????7 分 又∵ x1,x2 为 h( x) ? ln x ? cx2 ? bx 的零点, ∴ lnx1-cx12-bx1=0,lnx2-cx22-bx2=0, x ln 1 x2 x ? c ( x1 ? x2 ) , 两式相减得 ln 1 -c(x1-x2)(x1+x2)-b(x1-x2)=0,得 b= x1 ? x2 x2
∵ m≥

1 ? 2cx ? b , x 2 ? c( x1 ? x2 ) ? b] ∴ y= ( x1 ? x2 )[ x1 ? x2
而 h?( x) ?

x1 x2 2 ? c ( x1 ? x2 ) ] ? c( x1 ? x2 ) ? = ( x1 ? x2 )[ x1 ? x2 x1 ? x2 ln

x1 ?1 2( x1 ? x2 ) x x x ? ln 1 = 2 ? 2 = ? ln 1 ,????? x x1 ? x2 x2 x2 1 ?1 x2
x1 ? t (0<t<1), x2 由(x1+x2)2=m2 得 x12+x22+2x1x2=m2,
令 因为 x1x2=1,两边同时除以 x1x2,得 t+ +2=m2,

?????10 分

1 t

3 2 1 1 1 5 ,故 t+ ≥ ,解得 t≤ 或 t≥2,∴ 0<t≤ .?????12 分 2 2 2 2 t t ?1 设 G(t)= 2 ? ? ln t , t ?1 ? (t ? 1) 2 1 ? 0 ,则 y=G(t)在 (0 , ] 上是减函数, ∴ G?(t ) = t (t ? 1) 2 1 2 ∴ G(t)min= G( )=- +ln2, 2 3 x1 ? x2 2 即 y ? ( x1 ? x2 )h?( ) 的最小值为- +ln2. ???????????14 分 3 2
∵ m≥
数学(理工类)试卷 第 8 页(共 4 页)



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