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高中数学必修五不等式测试题


必修五阶段测试三(第三章

不等式)

时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2017· 山西太原期末)不等式 x(x-2)>0 的解集是( A.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-∞,0)∪(2,+∞) )

B.(-2,0) D.(0,2) )

2.(2017· 江西金溪县一中月考)直线 a>b>0,那么下列不等式成立的是( A.-a>-b B.a+c<b+c 1 1 C. > a b )

D.(-a)2>(-b)2

1 2 ? 3.y=loga? x -4x+3· x2+x-2 的定义域是(

?

?

A.{x|x≤1 或 x≥3} C.{x|x<-2 或 x>3}

B.{x|x<-2 或 x>1} D.{x|x≤-2 或 x>3} )

4.若 x,y∈R, x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)有( 1 A.最小值 和最大值 1 2 1 3 C.最小值 和最大值 2 4

3 B.最小值 和最大值 1 4 D.最小值 1

x≥y, ? ? 5. (2017· 黑龙江鸡西期末)若 x, y 满足条件?x+y≤1 ? ?y≥-1, A.1 1 B.- 2 C.2 ) C.c<b<a

, 则 z=-2x+y 的最大值为(

)

D.-5

6.设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则( A.b<a<c B.c<a<b

D.a<c<b ) D.5

1 1 7.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是( a b A.2 B.2 2 C.4

3x2+2x+2 8. (2017· 山东德州武城二中期末)不等式 2 ≥m 对任意实数 x 都成立, 则实数 m x +x+1 的取值范围是( A.m≤2 ) B.m<2 C.m≤3 D.m<3

x+y-2≤0, ? ? 9.x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0, ? ?2x-y+2≥0, 数 a 的值为( )

若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实

1

1 A. 或-1 2

1 B.2 或 2

C.2 或 1

D.2 或-1

10.(2017· 贵州铜仁期中)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 b2+ c2=2a2,则 cosA 的最小值为( A. 3 2 B. 2 2 ) 1 C. 2 D.- 1 2

x+y-7≤0, ? ? 11.已知圆 C:(x-a) +(y-b) =1,平面区域 Ω:?x-y+3≥0, ? ?y≥0.
2 2

若圆心 C∈Ω,且

圆 C 与 x 轴相切,则 a2+b2 的最大值为( A.5 B.29

) C.37 D.49

12.若对满足条件 3x+3y+8=2xy(x>0,y>0)的任意 x、y,(x+y)2-a(x+y)+16≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,8] ) C.(-∞,10] D.[10,+∞)

B.[8,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) a2 13.设常数 a>0,若 9x+ ≥a+1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为________. x x+2y≤1, ? ? 14.(2017· 湖北黄冈期末)已知实数 x,y 满足?x≥0, ? ?y≥0, 围是________. x+4y≥4, ? ? 15.给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0, 4x+2y-16 则 w= 的取值范 x-3

令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y

在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 16.(2017· 山西忻州一中期末)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为 ________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 1 1 1 17.(10 分)已知 a,b,c 为不相等的正数,且 abc=1.求证: a+ b+ c< + + . a b c ?x-1?2 18.(12 分)(2017· 安徽蚌埠二中期中)解不等式 0< <1,并求适合此不等式的所有整 x+1 数解. 2 19.(12 分)(2017· 内蒙古阿盟一中期末)(1)已知 x>0,求 f(x)= +2x 的最小值和取到最 x 小值时对应 x 的值; 1 (2)已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值. 3
2

20.(12 分)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值. x>0, ? ? 21.(12 分)设不等式组?y>0, ? ?y≤-nx+3n an(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Tn= n-1,若对一切的正整数 n,总有 Tn≤m,求 3· 2 实数 m 的取值范围. 22.(12 分)某糖果厂生产 A、B 两种糖果,A 种糖果每箱可获利润 40 元,B 种糖果每箱 可获利润 50 元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所 需平均时间(单位:min). 混合 A B 1 2 烹调 5 4 包装 3 1

所表示的平面区域为 Dn,记 Dn 内的整点个数为

每种糖果的生产过程中,混合的设备至多用机器 12 h,烹调的设备最多只能用机器 30 h,包装的设备最多只能用机器 15 h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润?

答案与解析 1.C 不等式 x(x-2)>0, ∴x<0 或 x>2,故选 C. 2.D ∵a>b>0,∴a2>b2,(-a)2=a2,(-b)2=b2,∴D 成立. 3.C 由题意得 x -4x+3>0, ? ? ? 1 >0, 2 ? ?x +x-2
?x2-4x+3>0, ? 即? 2 ?x +x-2>0, ? ?x>3或x<1, ? 解得? ?x>1或x<-2, ?
2

∴x>3 或 x<-2,故选 C. 4.B 由 x2+y2=1, 0≤y2=1-x2≤1, ∴(1+xy)(1-xy)=1-x2y2=1-x2(1-x2)= 3 2 1?2 x4-x2+1=? ?x -2? +4. 1 3 ∵0≤x2≤1, ∴当 x2= 时有最小值 . 2 4
3

当 x2=0 或 1 时有最大值 1,故选 B. 5.A 不等式组所表示的平面区域如图示.

? ?y=x, 直线 z=-2x+y 过 B 点时 z 有最大值,由? 得 B(-1,-1),∴zmax=1. ?y=-1, ?

6.B ∵a=log37,∴1<a<2.∵b=21.1,∴b>2.∵c=0.83.1,∴0<c<1.故 b>a>c. 7.C 1 1 + +2 ab≥2 a b 1 +2 ab≥2 2×2=4, ab

1 1 当且仅当 = 且 2 a b

1 =2 ab,即 a=b=1 时,“=”号成立,故选 C. ab

8.A ∵x2+x+1>0 恒成立, ∴不等式可化为 3x2+2x+2≥m(x2+x+1), 即(3-m)x2+(2-m)x+2-m≥0 对任意实数 x 都成立, 当 m=3 时,不等式化为-x-1≥0 不恒成立.
?3-m>0, ? 当 m≠3 时,有? 即 m≤2. 2 ? ??2-m? -4×?3-m?×?2-m?≤0,

综上,实数 m 的取值范围是 m≤2,故选 A. 9.D 作出可行域如图中阴影部分所示.

由 z=y-ax 得 y=ax+z,知 z 的几何意义是直线在 y 轴上的截距. 故当 a>0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=2; 当 a<0 时,要使 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则 a=-1. b2+c2 b2+c2- 2 b +c -a b2+c2 2bc 1 cosA= = = ≥ = ,当且仅当 b=c 时等号成 2bc 2bc 4bc 4bc 2
2 2 2

10.C 立,故选 C.

11.C 作出可行域如图(阴影部分).

4

由题意知,圆心 C(a,b),半径 r=1,且圆 C 与 x 轴相切,所以 b=1.
? ? ?x+y-7=0, ?x-y+3=0, 由? 得 A(6,1),由? 得 ?y=1, ?y=1, ? ?

B(-2,1),而目标函数 z=a2+b2 表示点 C 到原点距离的平方,所以当点 C 与 A(6,1) 重合时,a2+b2 取到最大值 37. 12.C ∵xy≤? x+y?2 ? 2 ?,

?x+y?2 ∴3x+3y+8=2xy≤ , 2 ∴ ?x+y?2 -3(x+y)-8≥0,解得 x+y≥8, 2

∵(x+y)2-a(x+y)+16≥0 恒成立, 16 即 a≤x+y+ , x+y 16 又 x+y+ ≥10.∴只需 a≤10,故选 C. x+y 1 ? 13.? ?5,+∞? a2 解析:∵a>0,x>0,∴9x+ ≥2 x a2 a2 9x· =6a.当且仅当 9x= ,即 3x=a 时取等号,要 x x

1 a2 1 ? 使 9x+ ≥a+1 成立,只要 6a≥a+1,即 a≥ .∴a 的取值范围是? ?5,+∞?. x 5

14.[5,6] 4x+2y-16 4?x-3?+2y-4 y-2 y-2 解析:w= = =4+2× ,设 k= . x-3 x-3 x-3 x-3 则 k 的几何意义是区域内的点到定点 D(3,2)的斜率, 作出不等式组对应的平面区域如图:

由图象得 AD 的斜率最小,BD 的斜率最大, 1? 其中 A? ?0,2?,B(1,0),
5

1 -2 2 1 1 此时 kAD= = ,此时 w 最小为 w=4+2× =4+1=5, 2 2 0-3 kBD= 0-2 =1,此时 w 最大为 w=4+2×1=6, 1-3

故 5≤w≤6. 15.6 解析:画出可行域如图所示,其中 z=x+y 取得最小值时的整点为(0,1),取得最大值时 的整点为(0,4),(1,3)(2,2)(3,1)及(4,0)共 5 个整点.故可确定 5+1=6 条不同的直线.

16.18 2 8 解析:由 2x+8y-xy=0 得 + =1, y x 2 8? 2x 8y ∴x+y=(x+y)? ? y+x?=10+ y + x ≥18. 当且仅当 2x2=8y2,即 x=2y 时,等号成立. 17. 证明: 证法一: ∵a, b, c 为不等正数, 且 abc=1, ∴ a+ b+ c= 1 1 1 1 1 1 + + + 1 b c c a a b 1 1 1 < + + = + + .故原不等式成立. ab 2 2 2 a b c bc+ca ca+ab 1 1 1 证法二:∵a,b,c 为不等正数,且 abc=1,∴ + + =bc+ca+ab= + a b c 2 2 ab+bc + > abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b+ c.故原不等式成立. 2 ?x-1?2 18.解:∵0< <1, x+1 x+1>0, ? ? 2 ∴??x-1? <x+1, ? ?x-1≠0, ∴0<x<3,且 x≠1.
6

1 + bc

1 ca



故不等式的解集为{x|0<x<3,且 x≠1}, ∴适合此不等式的所有整数解为 x=2.

2 19.解:(1)f(x)= +2x≥2 x

2 · 2x=4, x

2 当且仅当 =2x,即 x=1 时,等号成立, x ∴f(x)的最小值为 4,此时对应的 x 的值为 1. 1 (2)∵0<x< , 3 ∴1-3x>0. 1 1 ?3x+1-3x?2 1 1 y=x(1-3x)= · 3x(1-3x)≤ · 3 3? 2 ? =12,当且仅当 3x=1-3x,∴x=6时,等号 成立, 1 ∴y=x(1-3x)的最大值为 . 12 20.解:(1)由已知得 f(1)=-a2+6a+3>0. 即 a2-6a-3<0.解得 3-2 3<a<3+2 3. ∴不等式 f(1)>0 的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)∵f(x)>b,∴3x2-a(6-a)x+b-6<0,由题意知,-1,3 是方程 3x2-a(6-a)x+b-6 =0 的两根, a? =2, ?a?6- 3 ∴? b-6 ? 3 =-3.

?a=3± 3, ∴? ?b=-3.

21.解:(1)由 x>0, y>0, y=3n-nx>0, 得 0<x<3. 所以 x=1 或 x=2,即 Dn 内的整点在直线 x=1 和 x=2 上. 记 y=-nx+3n 为 l, l 与 x=1, x=2 的交点的纵坐标分别为 y1, y2, 则 y1=2n, y2=n, ∴an=3n(n∈N+). 3n?n+1? (2)∵Sn=3(1+2+…+n)= , 2 n?n+1? Tn+1 n+2 ∴Tn= . 又 = >1?n<2, 2n Tn 2n 3 ∴当 n≥3 时, Tn>Tn+1,且 T1=1<T2=T3= . 2 3 ? 所以实数 m 的取值范围为? ?2, +∞?.
7

22.解:设生产 A x 箱,生产 B y 箱,可获利润 z 元,即求 z=40x+50y 在约束条件 x+2y≤720, ? ?5x+4y≤1 800, ?3x+y≤900, ? ?x≥0, y≥0

下的最大值.

解得 zmax=40×120+50×300=19 800. 所以生产 A 120 箱,生产 B 300 箱时,可以获得最大利润 19 800 元.

8



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