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高中数学选修1-1知识点总结及考试题(含答案)


高中数学选修 1-1 知识点总结
第一章:逻辑语 1.四种命题的形式 原命题:若 p 则 q 逆命题:若 q 则 p 否命题:若 ?p 则 ?q 逆否命题:若?q 则?p 结论:互为逆否的两个命题是等价的 (1)原命题与逆否命题同真假(2)原命题的逆命题与否命题同真假 2.充分条件与必要条件:若 p ? q,则称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件 3. 充要条件: (1)若 p (2)若 (3)若 (4)若

?q 且 q ? p ,则称p是q的充分必要条件,简称充要条件。 p ? q且 q ? p ,则称p是q的充分不必要条件。
,则称 p 是 q 的必要不充分条件。 ,则称p是q的既不充分也不必要条件。

p ? q且 q ? p

p ? q且 q ? p

判别步骤:①找出 p 和 q② 考察 p 能否推出 q 和 q 能否推出 p 判别技巧:推不出的一定能举反例 4.含逻辑联结词“且” “或”的命题真假的判断:确定形式→判断真假 ①判断 p 且 q 的真假:一假必假 ②判断 p 或 q 的真假:一真必真 ③p 与﹁q 的真假相反 5.全称命题 ?x ? A, 使p ? x ?成立, 的否定是 ?x ? A, 使p ? x ?不成立。 特称命题 ?x ? A, 使p ? x ?成立 的否定是 ?x ? A, 使p ? x ?不成立。 第二章:圆锥曲线方程

(一) 、椭圆
(1)定义:平面内一个动点到两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|),这个动 点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点). (2) 焦点的位置的判定依据是 x , y 项中哪个分母大,焦点就在哪一条轴上。
2 2

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2
?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ? ?1 ? ?b, 0 ? 、 ? 2 ? b, 0 ?
短轴的长=2b

?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
顶点 轴长 焦点

?1 ? 0, ?b ? 、 ? 2 ? 0, b ?
长轴的长=2a

F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

1

焦距 对称性 离心率
a2 c

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴、原点对称
e? c b2 ? 1 ? 2 ? 0 ? e ? 1? a a

准线方程 (二)双曲线

x??

y??

a2 c

(1)定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹 叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点). (2) 焦点的位置的判定依据是 看 x , y 前的系数,哪一个为正,焦点就在哪一条轴上
2 2

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y ? ?a 或 y ? a , x ? R
?1 ? 0, ?a ? 、 ? 2 ? 0, a ?
虚轴的长=2b
F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

?1 ? ?a, 0 ? 、 ? 2 ? a, 0 ?
实轴的长=2a
F1 ? ?c, 0 ? 、 F2 ? c, 0 ?

F1 F2 ? 2c ? c 2 ? a 2 ? b 2 ?

关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称
e? c b2 ? 1 ? 2 ? e ? 1? a a

准线方程 渐近线方程 (三) 、抛物线

x??
y??

a2 c

y??
y??

a2 c
a x b

b x a

(1)定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线.
2

(2)四种方程的形式 :一次项为对称轴,系数正负决定开口方向

y 2 ? 2 px

y 2 ? ?2 px

x 2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

标准方程

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0 ?
x轴
? p ? F ? ,0? ?2 ?

对称轴

y轴
p? ? F ? 0, ? 2? ? p? ? F ? 0, ? ? 2? ?

焦点

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?

准线方程

x??

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

(四)直线与圆锥曲线的位置关系 1 .直线与圆锥曲线联立后,ax 2 ? bx ? c ? ( 0 a ? 0)
? ? 0 ? 有两解 ? 相交 ? ? 0 ? 有一解 ? 相切 ? ? 0 ? 无解 ? 相离
2. 弦长公式:若 直 线 y ? kx ? b 与 锥 曲 线 交 于 两 点 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 弦 长 为 综上:有两解 ? 相交,有一解 ?圆 相切
2 2 (x1 ? x2) ? 4 x1 x2 ?相切| AB | ? 1 ? k · 有一解 ? ?相交 第三章 导数 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?f 1.式子 称为函数 f ? x ? 从 x1 到 x2 的平均变化率 ? x2 ? x1 ?x

2 函数 f ? x ? 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1
0

?x ? 0

? lim

?x ? 0

?f ,则称它为函数 ?x

?x 3.函数 y ? f ? x ? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ? x ? 在点 ? ? x0 , f ? x0 ? ? 处的切线的
?x ?0

y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的导数, 记作 f ? ? x0 ? 或 y ? x ? x , 即 f ? ? x0 ? ? lim

f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ?

斜率.

曲 线 y ? f ? x ? 在 点 ? x0 , f ? x0 ?

?

?

处 的 切 线 的 斜 率 是 f ? ? x0 ? , 切 线 的 方 程 为
3

y ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? .
4.基本初等函数的导数公式:

?1? 若 f ? x ? ? c ,则 f ? ? x ? ? 0 ; ? 2 ? 若 f ? x ? ? x n ? x ? Q* ? ,则 f ? ? x ? ? nxn?1 ; ? 3? 若 f ? x ? ? sin x ,则 f ? ? x ? ? cos x ; ? 4 ? 若 f ? x ? ? cos x ,则 f ? ? x ? ? ? sin x ; ? 5 ? 若 f ? x ? ? a x ,则 f ? ? x ? ? a x ln a ; ? 6 ? 若 f ? x ? ? e x ,则 f ? ? x ? ? e x ;
1 1 ; ? 8 ? 若 f ? x ? ? ln x ,则 f ? ? x ? ? . x ln a x

? 7 ? 若 f ? x ? ? log a x ,则 f ? ? x ? ?
5.导数运算法则:

? ?1? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x ? ? g? ? x ? ; ? ? 2? ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ? f ? ? x? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ;
? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? 3? ? ? g ? x ? ? 0? ? ? 2 g x ? ? ? ? ? g ? x? ? ? ?
6.根据导数确定函数的单调区间步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域 (2)求出函数的导数 (3)解不等式 f ′(x)>0,得函数单增区间;解不等式 f′(x)<0,得函数单减区间. 7.点 a 称为函数 y ? f ? x ? 的极小值点, f ? a ? 称为函数 y ? f ? x ? 的极小值; 点 b 称为函数 y ? f ? x ? 的极大值点, f ? b ? 称为函数 y ? f ? x ? 的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 结论:函数 f(x)可导,若 x0 为极值点,则

f ? ? x0 ? ? 0

8.求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是:解方程 f ? ? x ? ? 0 .当 f ? ? x0 ? ? 0 时:

?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ? 2 ? 如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
总结:求可导函数 f (x) 极值的步骤 0 (1) 求出导数 f ?( x ) (2) 令 f ?( x ) ? ,解方程; (3) 列表(4)下结论,写出极值 9、求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; ? 2 ? 将函数 y ? f ? x ? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最
大值,最小的一个是最小值.

高中数学选修 1-1 考试题
一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 3 分,共 36 分,请从 A,B,C,D 四个选项中,选 出一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分。 ) 1.抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是
2

A. (0,1)

B. (1, 0)

C. (0,

1 ) 16

D. (

1 , 0) 16

2.设 a ? R, 则 a ? 1 是

1 ?1的 a
4

A.充分但不必要条件 C.充要条件

B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.命题“若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a, b 都为零”的逆否命题是 A.若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a, b 都不为零 C.若 a, b 都不为零,则 a 2 ? b2 ? 0 4.曲线 y ? A. B.若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a, b 不都为零 D.若 a, b 不都为零,则 a 2 ? b2 ? 0

3? 4

1 3 x ? x 2 ? 5 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为 3 ? ? ? B. C. D. 3 4 6
2 2 2 2

5.一动圆 P 与圆 A : ( x ? 1) ? y ? 1 外切,而与圆 B : ( x ? 1) ? y ? 64 内切,那么动圆的 圆心 P 的轨迹是 A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.双曲线的一支

6.函数 f ( x) ? ln x ? x 的单调递增区间是 A. (??,1) B. (0,1) C. (0, ??) D. (1, ??)

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7.已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,点 M 在椭圆上且 MF2 ? x 轴,则 4 3

| MF1 | 等于
A.

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1 2
2 ?x

B.

3 2

C.

5 2

D.3

8.函数 f ( x) ? x e 在 [1,3] 上的最大值为 A.1 B. e ?1 C. 4 e ? 2
2

D. 9e?3

9.

2 2 设双曲线 x ? y ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点, 则双曲线的离心 2 2

a

b

率为( A. 5 4

). B. 5 C.
5 2

D. 5

10.

设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△OAF(O 为 ). D. y 2 ? 8 x

坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y 2 ? ? 4 x B. y 2 ? ? 8 x

C. y 2 ? 4 x

11.

已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直

线 l2 的距离之和的最小值是 A. 2 12. 已知函数 B. 3
f ( x) 在

C. 4

D. 1
f ( ?1) 与 f (1) 的大小

R 上可导,且 f ( x) ? x 2 ? 2 xf ' (2) ,则
5

A

f (?1) ? f (1) B

f (?1) ? f (1) C

f (?1) ? f (1) .D 不确定

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,请将答案写在答题卷上) 13.已知命题 p : ?x ? R,sin x ? 1 ,则 ?p 为_____ ___。

14.双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点 F 到其渐近线的距离为__ 4 5
3 2 2

_________。

15.若函数 f ( x) ? ax ? 2 x ? a x 在 x ? 1 处有极小值,则实数 a 等于_________。 16.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 1 的点到顶点的距离与到准线的距离相等,则
2

该抛物线的方程为______________。 三、解答题(本大题有 4 小题,共 48 分,请叫解答过程写在答题卷上) 17. (本题 10 分) 已知 f ( x) ?

3x ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程。 x2 ? 1

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18. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? 3a x ? 1 ,
3 2

若 a ? 1, 求函数 f ( x) 的单调区间;

19.已知,椭圆 C 过点 A (1, 3 ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0),求椭圆 C 的方程.
2

6

20.

已知抛物线 C : y ? 2 px ,且点 P(1, 2) 在抛物线上。
2

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(1)求 p 的值 (2)直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 10 ,求直线 l 的方程。

高中数学选修 1-1 考试题答案
一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1.C 2.B 3.D 4.A 7.C 8. C 9. D 10. B 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.?x ? R,sin x ? 1 三、解答题(共 48 分) 17. (10 分)
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5.A 11. A

6.B 12. B 16. y ? 8 x
2

14. 5

15. 1 (答 1 或-4 扣 2 分)

?3x 2 ? 2 x ? 3 解: f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2
1 2

f '(1) ? ? f (1) ? 2

1 2

故切线方程为: y ? 2 ? ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 18. (14 分) 解: (1)当 a ? 1 时, f '( x) ? 3x ? 3
2

7

由 f '( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 ,由 f '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 1 故 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) (2)由题 ?x ?[1, 2] ,恒有 x3 ? 3a 2 x ? 1 ? 0

? ?x ?[1, 2], 恒有 3a 2 ?

x3 ? 1 x

x3 ? 1 1 1 令 h( x ) ? ? x 2 ? , h '( x) ? 2 x ? 2 ? x x x
当 x ? [1, 2] 时, h '( x) ? 0
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1 2( x3 ? ) 2 , x2

? h( x) 在 [1, 2] 上单调递增, h( x)min ? h(1) ? 2
故 3a 2 ? 2 又a ? 0

?0 ? a ?

6 3
2

19. (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
b2 ? ? 3 (舍去) 4
4 3

x2 y 2 ? 2 ? 1 , 1 2 ? 9 2 ? 1 ,解得 b 2 a b 1? b 4b

? 3,

2 2 所以椭圆方程为 x ? y ? 1 。

20. (12 分)解: (1)? 点 P(1, 2) 在抛物线 y ? 2 px 上
2

? 4 ? 2 p, 即 p ? 2
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
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若 l ? x 轴,则 | AB |? 4, 不适合 故设 l : y ? k ( x ?1) ,代入抛物线方程得 k x ? 2(k ? 2) x ? k ? 0
2 2 2 2

? ? 16k 2 ? 16 ? 0

2(k 2 ? 2) 2 ? 2 ? 10 ,得 k 2 ? 由 | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 2 k 3

?直线 l 的方程为 y ? ?

6 ( x ? 1) 3

8



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