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华师大二附中2013届高三数学周练13


华师大二附中 2013 届高三数学周练(13)
(试卷满分 150 分
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、已知集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则 A ? B ? 2、已知向量 a ? (1,

考试时间 120 分钟)

?

?

?

?



? 2) , b ? (1, 1) , m ? a ? b , n ? a ? ? b ,如果 m ? n ,则实数

??

. .

3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,则甲被选中的概率是 4、双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两条渐近线的夹角大小等于 3

. .

5、已知 sin? ? 3cos? ,则

cos 2? ? 1 ? sin 2?

6、 在下面的程序框图中, 输出的 y 是 x 的函数, 记为 y ? f (x) , f ?1 ( ) ? 则
否 是

1 2



开始

输入实数

输出

结束

1? i
7、关于 z 的方程 ? i

1? i

0 1 2 0

z
,则方程的解 z ? i ? 2 ? i 2013(其中 i 是虚数单位) .

z
x 则实数 a 的取值范围是 ? a 恒成立, x ? 3x ? 1
2
n??

8、 若对于任意 x ? 0 , 不等式

. .

i 9、在等比数列 ?an ? 中,已知 a1a2 ? 32 ,a3a4 ? 2 ,则 lm ( a1 ? a2 ? ? ? an ) ?

10 、 在 ?ABC 中 , AB ? 2 3 , AC ? 2 且 ?B ? 30? , 则 ?ABC 的 面 积 等 于 . . .

11、已知正实数 x 、 y 满足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值等于
2 12、 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , am ?1 ? am ?1 ? am ? 0 ,S2 m ?1 ? 38 , m ? 若 则

13 、 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 是 最 小 正 周 期 为 2? 的 偶 函 数 , 当 x ? [0, ? ] 时 ,
且在 [0, 0 ? f ( x) ? 1 ,

?

在 则函数 y ? f ( x) ? sin x ] 上单调递减, [ , ? ] 上单调递增, 2 2

?

在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为



14、 设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 2 上, Q 在曲线 y ? 点
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

x ? 2 上, PQ 的最小值等于 则



15、 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 的一根, 若 则该方程两根的模的和为 (
2



A. 5

B. 2 5

C. 5

D. 10


16、已知 l1 、 l 2 、 l3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是(

A. 如果 l1 ? l2 , l2 //l3 .则 l1 ? l3 .

B. 如果 l1 //l2 , l2 //l3 .则 l1 、 l 2 、l3 共面.

C. 如果 l1 ? l2 , l2 ? l3 .则 l1 ? l3 .
面.

D. 如果 l1 、 l 2 、 l3 共点.则 l1 、 l 2 、 l3 共

17、定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ax 2 ? b x ? c (a ? 0) 有四个单调区间,则实数 a, b, c 满足
( )

A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0
18 、 数 列

B. b2 ? 4ac ? 0
?n, 当n ? 2k ? 1 an ? ? ?ak , 当n ? 2k

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

{a n } 满 足

, 其 中

k ?N?





f (n) ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n ,则 f (2013) ? f (2012 ) 等于(

).

A. 22012

B. 22013

C. 4 2012

D. 42013

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分)如 图,△ ABC 中, ?ACB ? 90 , ?ABC ? 30
0 0

, BC ?

3,

在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M , 与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 A (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. M

C

O 第 20 题

N

B

20、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? sin(

?
3

? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos2 x .

(1)求函数 f (x) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值; (2)如果 0 ? x ?

?
2

,求 f (x) 的取值范围.

21、 (本题满分 14 分)已知圆 O : x ? y ? 4 .
2 2

(1)直线 l1 : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1 ,

y1 ) 、 P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个动点,点

y

M 关于原点的对称点为 M 1 ,点 M 关于 x 轴的对称点为 M 2 ,如果
直线 PM 1 、 PM 2 与 y 轴分别交于 (0,

M P

m) 和 (0, n ) ,问 m? n 是
O

x

否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.

22、 (本题满分 16 分)如果函数 y ? f (x) 的定义域为 R ,对于定义域内的任意 x ,存在实 数 a 使得 f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P(a ) 性质” . (1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P(a ) 性质” ,若具有“ P(a ) 性质”求出所有 a 的值; 若不具有“ P(a ) 性质” ,请说明理由. (2)已知 y ? f (x) 具有“ P (0) 性质” ,且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m) ,求 y ? f (x) 在
2

[0, 1] 上的最大值.
(3)设函数 y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 与 y ? mx 交点个数为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g ( x) ? x .若 y ? g (x) 2 2

23、已知函数 f ( x) ? kx ? m,当x ? [a1 , b1 ] 时, f (x) 的值域为 [ a 2 , b2 ] ,当 x ? [a 2 , b2 ] 时,

f (x) 的值域为 [ a 3 , b3 ] ,依次类推,一般地,当 x ? [a n ?1 , bn ?1 ] 时, f (x) 的值域
为 [ a n , bn ] ,其中 k 、m 为常数,且 a1 ? 0, b1 ? 1. (1)若 k=1,求数列 {a n }, {bn } 的通项公式; (2)若 m=2,问是否存在常数 k ? 0 ,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4 ? 若存在,求 k 的值;
n??

若不存在,请说明理由; (3)若 k ? 0 ,设数列 {a n }, {bn } 的前 n 项和分别为 Sn,Tn, 求 (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S 2013 ).

参考答案 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (? 1, 1) ; 6、 ? 1; 2、2; 7、1? 2i ;

1 ; 2 1 8、 a ? ; 5
3、 13、20;

4、

? ; 3

5、 ?

1 ; 2

9、 ? 16 ;

10、 2 3 或 3 ;

11、9;

12、10;

14、

7 2 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、B; 16、A; 17、C; 18、C;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解(1)连接 OM ,则 OM ? AB

? BC ? 3, ?ABC ? 30 0 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
设 OM ? r ,则

????3 分

OB ? 2r ,又 OB ? 3 ? r ,所以 2r ? 3 ? r , r ?
所以,

3 ,????6 分 3

4 S 球表 ? 4?r 2 ? ? . 3

????8 分

(2) V ? V圆锥 ? V球 ? 20 、

1 4 5 3 ? ? AC2 ? BC ? ?r 3 ? ? . ????12 分 3 3 27
( 14 分 ) 解 :

f ( x) ? 2 s x(

3 1 2 c i x ? s on ) ? 3 i s x c x ? c 2ox ? 2n o s s x c x ? c 2ox ? sn o x s x s n i 3 si 2 2

i s

n

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
f (x) 的最小正周期等于 ? .
当 2x ?

?
6

) ????????6 分

?
6

? 2k? ?

?
2

, x ? k? ?

?

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

? 2x ?

?

6

(k ? z) 时, f (x) 取得最大值 2.??????10 分

6

?

7? 1 ? , ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

f (x) 的值域为 [? 1, 2] ??????14 分

21、 (14 分)解: (1)圆心 O(0,

0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .

2 2 圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d ? 2 .??????4 分

(2) M ( x1 ,

y1 ) , P( x2 ,

y 2 ) ,则 M1 (? x1, ? y1 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) , x12 ? y12 ? 4 ,

2 2 x2 ? y 2 ? 4 .??????8 分

PM 1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

PM 2 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

? x1 y2 ? x2 y1 .????12 分 x2 ? x1

2 2 2 2 x2 y12 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????14 分 ?m?n ? 2 2 x2 ? x12 x2 ? x12

22、 (16 分)解: (1)由 s in(x ? a) ? s in( x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ,根据诱导公式得 ? ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) . a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P(a) 性质” ??????4 分 (2)? y ? f (x) 具有“ P (0) 性质” ? f ( x) ? f (? x) . , 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m) ? ( x ? m)
2 2

?( x ? m) 2 ? ? f ( x) ? ? ?( x ? m) 2 ?

x?0 x?0

????????6 分

当 m ? 0 时,? y ? f (x) 在 [0, 1] 递增,? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m) 当 0?m?

2

1 时 , ? y ? f (x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 , ? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m) 2
当 m?

1 时 , ? y ? f (x) 在 [0, m] 上 递 减 , 在 [m, 1] 上 递 增 , 且 2

f (0) ? m2 ? f (1) ? (1 ? m)2 ,? x ? 0 时 ymax ? m2
综上所述:当 m ?

1 1 2 2 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m) ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m 2 2

????????????11 分

(3)? y ? g (x) 具有“ P(?1) 性质” ? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) , ,

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g (x) 是以 2 为周期的函数.
又设

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (?1 ? x ? 1) ? g (? x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .

1 1 , ? x ? n ? ( n? z ) 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k ( k ? z ) 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2k ? , , 2 2 2 2
再设 n ?

g ( x ) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;


n ? 2k ? 1 ( k ? z

),

2k ? 1 ?

1 1 ? x ? 2k ? 1 ? 2 2



1 3 ? x ? 2k ? 2 2



g ( x ) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? 1 ? x ? n ;

?对于,n ?

1 1 1 1 ,都有 g ( x) ? x ? n ,而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , ? x ? n ? ( n? z ) 2 2 2 2

? g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g ( x) ,? y ? g (x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g (x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g (x) 在

[0, 1006 ) 有 2012 个交点,而在 [1006 , 1007 ] 有一个交点.? y ? mx 过 (
从而得 m ?

2013 , 2

1 ), 2

1 2013 1 2013

②当 m ? 0 时,同理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

1 ??????????18 分 2013

23、 (18 分)解: (1)因为 f ( x) ? x ? m,当x ? [a n?1 , bn?1 ]时, f ( x)为单调增函数, 所以其值域为 [a n ?1 ? m, bn ?1 ? m] ????2 分 于是 a n ? a n ?1 ? m, bn ? bn ?1 ? m(n ? N , n ? 2) ????4 分
*

又 a1 ? 0, b1 ? 1, 所以a n ? (n ? 1)m, bn ? 1 ? (n ? 1)m.

????6 分

(2)因为 f ( x) ? x ? mf ( x) ? kx ? m(k ? 0), 当x ? [a n?1 , bn ?1 ]时, f ( x)为单调增函数

[ 所以 f ( x)的值域为 kan ?1 ? m, kbn ?1 ? m],因m ? 2, 则bn ? kbn?1 ? 2(n ? 2) ??8 分
法一:假设存在常数 k ? 0 , 使得数列 {bn }满足 lim bn ? 4, 则 lim bn ? k lim bn ?1 ? 2 ,????10 分
n ?? n ?? n ??

得 4 ? 4k ? 2, 则k ?

1 符合。????12 分 2
n??

法二:假设存在常数 k>0,使得数列 {bn } 满足 lim bn ? 4. 当 k=1 不符 合。??7 分

2 2 ? k (bn?1 ? )( n ? 2) ,????9 分 k ?1 k ?1 2 2 2 1 则 bn ? (1 ? )k n ?1 ? , 当 0 ? k ? 1时, lim bn ? ? 4, 得k ? 符合. n?? k ?1 k ?1 1? k 2
当 k ? 1时, bn ? kbn ?1 ? 2(n ? 2) ? bn ? ????12 分

, 数 ( 3 ) 因 为 k ? 0,当x ? [a n ?1 , bn ?1 ]时, f ( x)为 单 调 减 函 所 以 f (x) 的 值 域 为 [kbn?1 ? m, kan ?1 ? m]
????13 分
*

于是 a n ? kbn ?1 ? m, bn ? kan ?1 ? m(n ? N , n ? 2) 则 bn ? a n ? ?k (bn ?1 ? a n?1 ) ??? ?14 分 因此 ?bn ? a n ?是以 ? k 为公比的等比数列,

?i, (k ? ?1) ? 又 b1 ? a1 ? 1 则有 Ti ? S i ? ?1 ? (?k ) i ????16 分 , (k ? 0, k ? ?1) ? ? 1? k
进而有

2027091 , (k ? ?1) ? ? 2014 (T1 ? T2 ? ? ? T2013 ) ? ( S1 ? S 2 ? ? ? S 2013 ) ? ? 2013 ? 2014 k ? k , (k ? 0, k ? ?1) ? (1 ? k ) 2 ?
????18 分


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