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2.3等差数列的前n项和


回顾旧知
等差数列{an}的通项公式:an=a1+(n-1)d 也可整理为an=dn+(a1-d)
n=1时必须 得成立,才能 这样写通项公 式。

新课导入
一个堆放铅笔的V形 架的最下面一层放一支铅 笔,往上每一层都比它下 面一层多放一支,最上面 一层放100支.这个V形架 上共放着多少支铅笔? 问题就是求 “1+2+3+4+…+100=?”

高斯算法的高明之处在于他发现这 100 个数可以分为 50组,第一个数与最后一个数 一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三 个数与倒数第三个数一组, …,每组数的和 均相等,都等于101,50个101就等于5050了. 高斯算法将加法问题转化为乘法运算,迅速 准确得到了结果.

2.3 等差数列的 前n项和

教学目标
知识与能力
(1)掌握等差数列前n项和公式.

(2)掌握等差数列前n项和公式的推导过程.
(3)会简单运用等差数列的前n项和公式.

过程与方法

(1)通过对等差数列前n项和公式的推导 过程,渗透倒序相加求和的数学方法. (2)通过公式的运用体会方程的思想.
(3)通过运用公式的过程,提高学生类 比化归、数形结合的能力.

情感态度与价值观
结合具体模型,将教材知识和实际 生活联系起来,使学生感受数学的实用 性,有效激发学习兴趣,并通过对等差数 列求和历史的了解,渗透数学史和数学 文化.

教学重难点
等差数列前n项和的公式, 重点: 有关等差数列问题求解的基本方 法. 难点: 获得递推公式的思路,等差 数列前n项和公式的其他形式.

思考:图案中,第1层到第21层一共有 多少颗宝石?用什么办法做呢?
这是求奇数 个项的和的问题, 能不能直接用高 斯的办法呢求和 呢?

问题:图案中,第1层到第21层 一共有多少颗宝石?

3

1 2

21 20 19

获得算法:
21 1

(1 ? 21) ? 21 s 21 ? 2

例 1: 设等差数列

{an} 的首项为a1,公差 为d,如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?

解: 设等差数列a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

(1)(2)两式左右分别相加,得

2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)

n(a1 ? a n ) Sn ? 2
这种方法叫倒序相加法.

能否用a1,n,d表示Sn呢?
将an=a1+(n-1)d代入

n(a 1 ? an ) 公式(1): S n ? 2
n(n ? 1) 得 : 公式(2): S n ? na1 ? d 2

等差数列前n项和公式
n( a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

【说明】
①推导等差数列的前n项和公式的方法 叫 倒序相加法 ;
2 ②{an}为等差数列? Sn=an +bn ,这是 一个关于 n 的,没有 常数项 的 “ 二次函数 ” . ( 注意 a 还可以是 0)

【公式记忆】 用梯形面积公式记忆等差数列前 n 项 和公式,这里对图形进行了割、补两种处 理,对应着等差数列前n项和的两个公式.
__ a1 an __ a1

n
__ an a1 n(a 1 ? a n )(补成平行四边形) Sn ? 2

n
__ a1

n(n ? 1) (分割成一个 S n ? na1 ? d 平行四边形及 2 一个三角形)

(n-1)d

等差数列的前n项和公式类同 于 梯形的面积公式 ;

1、若数列{an}为等差数列,则s3m=3 (s2m-sm)
2、若数列{an}为等差数列,且sp=q, sq=p,sp+q=-(p+q) 3、若数列项数为2n+1,则s奇+s偶 1 =s2n+1= ( 2 a1+a2n+1)×(2n+1),s奇-s偶 =an+1, s奇 n?1

? s偶

n

sn ?n a1 ? n 2
2

?n ?1?

2 d d? 2 n ?

d ?n ?a1 ? 2

sn ? an ? bn, (其中公差为2a)
将等差数列的前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和的极值:

a1<0,d>0 极大值 无

a1>0, d<0 有

极小值 sn


sn



n
n a1<0, d>0,极小值 a1>0,d<0,极大值

sn ?n a1 ? n 2

?n ?1?

2 d d? 2 n ?

d ?n ?a1 ? 2

观察上面的式子,我们可以看出它是关于n 的二次函数,从而等差数列的前n项和可以写成形 如:
(其中公差为2a) S n sn ? an ? bn ? an ? b n
2

y = Ax2+ Bx

y = Ax+ B

通过上面的例题,对于等差数 列的相关量a1、d、n、an、sn,一 般确定几个量就可以确定其他量?

a1、d、n a1、d、an a 1、 a n 、 n a1、an、sn an、d、n a n、 s n、 n

a n、 s n n、sn d、sn d、n a1、sn a1、d

例 2:已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?
分析:可以由等差数列性质,直接代入 前n项和公式. 由等差数列的性质可得: 解: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(16/2 )×18=144 答:前16项的和为144.
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的 和时,当知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均 可以得出.

例3:

等差数列 -10,-6,-2,2,…前 多少项的和是54?

解: 设题中的等差数列为{an},前n项和是 Sn, 则a1= -10,d= -6-(-10) = 4,设 Sn=54, 根据等差数列前 n项和公式,得
n(n ? 1) ? 10n ? ? 4 ? 54 2

?

n2 ? 6n ? 27 ? 0

n1?9,n2??3 (舍去)

n要为正整数

等差数列-10,-6,-2,2,…前9项的和是54.

例 4: 已知一个等差数列的前10项的和是310,
前20项的和是1220,求Sn. 解: S10=310,S20=1 220

?10a1 ? 245d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1 220

?a1 ? 4, d?6
n(n ? 1) ? Sn ? 4n ? ? 6 ? 3n 2 ? n 2

例 5:一个等差数列,共有

10 项,其中奇 数项的和为 125,偶数项的和为 15,求 a 1、d. ?a1 ? a 3 ? a 5 ? a 7 ? a 9 ? 125 解: 由题? ? a 2 ? a 4 ? a 6 ? a 8 ? a10 ? 15

? 5a1 ? (2 ? 4 ? 6 ? 8)d ? 125 法一 : ? ?5a1 ? (1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9)d ? 15

?a1 ? 4d ? 25 ?a1 ? 113 ?? ?? ? a1 ? 5d ? 3 ? d ? ?22

法二:相减得5d=-110

即 d=-22

归纳:
等差数列中,

? S奇 ? S偶 ? a n ?1 ? 2 n 为奇数,必有 ?S ? S ? na n ?1 偶 ? 奇 2 ?
nd ? n 为偶数,必有 ?S 偶 ? S 奇 ? ? 2 ? ? S偶 ? S奇 ? Sn

例6: 等差数列中,a5=14,a2+
解:

a9=31,求S12

a1 ? 4d ? 14 ? a1 ? 2 ? 法 一: ? ? ? ?(a1 ? d) ? (a1 ? 8d) ? 31 d?3

?

法二: ∵ a 5 + a 6 = a 2 + a 9 ∴ a 6 = 17

公差 d = a 6 -a 5 = 3 ∴ a 7 = 20
S12 a1 ? a12 a6 ? a7 ? ? 12 ? ? 12 = ( a 6 + a 7 )×6 2 2

= 222

例7:等差数列 { a n } 中,S 15 = 90,求 a 8
解:
S15 a1 ? a15 ? ? 15 ? 90 即 a 1 + a 15 = 12 2

法一:a 1 + a 1 + 14d = 12 即 a 1 + 7d = 6
∴ a 8 = a 1 + 7d = 6

a 8 ? a 8 a1 ? a15 ? 法二 : a 8 ? =6 2 2

归纳:
选用中项求等差数列的前 n 项之和 S n
当 n 为奇数时,S n = ____________ ; 2
n an ? 1

n (an ? a n ) ?1 2 当 n 为偶数时, S n = _______________________. 2 2

思考与余味:
南北朝时,张丘建始创等差数列求和 解法。他在《张丘建算经》里给出了几个 等差数列问题. 例如:“今有女子不善织布,逐日所 织之布以同数递减,初日织五尺,末一日 织一尺,计织三十日,问共织几何?”
原书的解法是:“并初、末日织布数, 半之,余以乘织讫日数,即得.”

再如:“今有女子善织布,逐日所织的布 以同数递增,初日织五尺,计织三十日,共织 九匹三丈,问日增几何?” 这是一道等差数列知道前30项和,a1的 值,求等差数列的公差.

课堂小结
本节课主要讲述了等差数列的前n项和公式: ① s n=n(a1+an)/2 ② s n=na1+n(n-1)d/2 ③ sn ? n(a1 ? a n ) ? n(a2 ? a n ?1 ) ? ...
2 2

以及他们的推导过程,在具体使用时,不 一定完全套用公式,要灵活变通.

1.推导等差数列前 n项和公式的方法. -------倒序相加法

2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个. -------知三求二

裂项求和 有些数列求和的问题,可以对相应的数列的通 项公式加以变形,将其写成两项的差,这样整个数 列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差,其 中每项的被减数一定是后面某项的减数,从而经过 逐项相消仅剩下有限项,可得出前n项和公式。
1 1 1 sn ? ? ? ......? 如求和: 1? 2 2 ? 3 n ? (n ? 1)
1 1 1 ? ? 提示: n ? (n ? 1) n n ? 1


1 1 1 1 1 1 sn ? 1 ? ? ? ? ......? ? ? 1? 则: 2 2 3 n n?1 n?1

高考链接
已知等差列?an? 中,a3a7= - 16,a4+ a6= 0. (2009 全国) 求 ?an? 的前n和.
解:设{an}的公差为,则 (a1+2d)(a1+6d)=-16,

a1+3d+a1+5d=0. 即:
a12+8da1+12d2=-16,

a1=-4d.

a1=-8,

解得:

d=2.
a1=8,

或:

d=-2.

因此 : Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9),
或 sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).

随堂练习
1、如图,一个堆放铅笔的 V形架的最下面 一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面 一层多一支,最上面一层放120支.这个V形 架上共放着多少支铅笔?

解:由题意可知,这个V形架上共放着120 层铅笔,且自下而上各层的铅笔数成等差 数列,记为{an},其中 a1=1 , a120=120.根据等 差数列前n项和的公式,得

120 ?(1? 120) S1 2 0 ? ? 7260 2
答:V形架上共放着 7260支铅笔.

2、在等差数列{an}中, (1)a3= -2,a8=12,求S10 (2)a1=14.5,d=0.7,an=32,求Sn

(1)?a1+a10 = a3+a8 = 10 解:
S1 0 ? (a1 ? a1 0 )? 10 10 ? 10 ? ? 50 2 2

(2)由等差数列的通项公式,得 14.5+(n?1)?0.7=32 ? n=26
( 1 4? . 35 2?) 26 S2 6 ? ?6 0 4 . 5 2

3、凸 n 边形各内角成等差数列,公差为 10? , 最小内角为 100? ,则n等于( B ) ( A) 7 ( B) 8 ( C) 9 ( D) 8或 9

解: 由题意,得 :
n(n ? 1) n ? 100 ? ? 10 ? ? (n ? 2) ? 180 ? 2
?

解得 n=8 或 n=9 (舍)

4、某长跑运动员7天里每天的训练量是: 7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米? (单位:m) 解: 这位长跑运动员每天的训练量成等差数 列,记为{an}, 其中 a1=7500,a7=10500. 根据等差数列前n项和公式,得 7 ? (7500 ? 10500 ) s7 ? ? 63000 2 答:这位长跑运动员7天共跑了63000m.

习题答案

1.(1)n( n ? 1); (2)n ; (3)180, 和 98550; () 4 900,和494550.
2



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