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2017学年高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课件新人教A版选修23_图文

1.3.2

“杨辉三角”与二项式系数的性质

考 纲 定 位 1.借助“杨辉三角”掌握二项式系 数的对称性,增减性与最大值. 2.会用赋值法求展开式系数的和.

重 难 突 破 重点:二项式系数的对称性、 增减性与最大值. 难点:二项式系数的最值及项 的系数的最值.

01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

[自主梳理] 1.杨辉三角的特点 (1)在同一行中,每行两端都是 1 ,与这两个 1 等距离的项的系数 相等 . (2)在相邻的两行中,除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 和 ,即
r- 1 r Cr = C n+1 n +Cn .

2.二项式系数的性质 (1)对称性:在(a+b)n 的展开式中,与 首末两端“等距离” 的两个二项式系数
n 1 n- 1 r n- r 相等,即 C0 = C , C = C ,…, C = C n n n n n n .

n+1 (2)增减性与最大值:当 k< 时,二项式系数是逐渐 增大 的.由对称性知它的后半 2 部分是逐渐 减小 的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数
π C n 2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数

n-1 n+1 C ,C 2 n 2 n



等,且同时取得最大值. 3.二项式系数的和
1 2 n n (1)C0 + C + C +…+ C n n n n= 2 . 2 4 1 3 5 n- 1 2 (2)C0 + C + C +…= C + C + C +…= . n n n n n n

[双基自测] 1.(3x- A.4 C.6
解析:令 x=1,则 2n=128, ∴n=7.

1 3

)n 的展开式中各项系数之和为 128,则 n 等于( B.5 D.7

)

x2

答案:D

1 2 2 n n 1 3 5 2.已知 C0 n+2Cn+2 Cn+…+2 Cn=729,则 Cn+Cn+Cn的值等于(

)

A.64 C.63

B.32 D.31

1 n n n n 解析:C0 n+2Cn+…+2 Cn= (1+2) =3 =729, 3 5 ∴n=6,∴C1 + C + C 6 6 6=32.

答案:B

3.(1-x)13 的展开式中系数最小的项为( A.第六项 C.第八项

)

B.第七项 D.第九项

解析:展开式中共有 14 项,中间两项(第七、八项)的二项式系数最大. ∵二项展开式中二项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数. ∴系数最小的项为第八项,系数最大的项为第七项.

答案:C

4.(1-x)6 的展开式中 x 的奇数次项的二项式系数的和为________.
1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 1 解析:令 x=1,则 C0 - C + C - C + C - C + C = 0 ,且 (C + C + C + C ) + (C 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6+ 5 6 C3 + C ) = 2 , 6 6 3 5 5 ∴C1 6+C6+C6=2 =32.

答案:32

探究一

与“杨辉三角”有关的问题

[典例 1] 如图所示,在“杨辉三角”中,从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数 列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前 n 项和为 Sn,求 S16 的值.

[解析] 由题意及杨辉三角的特点可得: S16=(1+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)
1 2 1 2 1 2 1 =(C2 + C ) + (C + C ) + (C + C ) + … + (C + C 2 2 3 3 4 4 9 9) 2 2 2 =(C2 2+C3+C4+…+C9)+ (2+3+…+9)

8×?2+9? 3 =C10+ 2 =164.

解与“杨辉三角”有关的问题的一般思路: (1)观察:对题目要横看、竖看、隔行看、连续看,多角度观察. (2)找规律:通过观察,找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律.

1. 如图所示, 满足①第 n 行首尾两数均为 n; ②表中的递推关系类似杨辉三角, 则第 n 行(n≥2) 的第 2 个数是________. 1 2 3 4 5 6 16 11 25 7 14 4 7 25 2 3 4 11 5 16 6

n?n-1? 解析:由图中数字规律可知,第 n 行的第 2 个数是[1+2+3+…+(n-1)]+1= +1. 2 n2-n+2 答案: 2

探究二 二项展开式的系数和问题 [典例 2] 设(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 求:(1)a1+a2+a3+a4+a5 的值; (2)a1+a3+a5 的值; (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值.

[解析] 记 f(x)=(1-2x)5. (1)a1+a2+a3+a4+a5=f(1)-f(0)=-2. (2)f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5,f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5, 1 1 所以 a1+a3+a5= [f(1)-f(-1)]= (-1-35)=-122. 2 2 (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=f(-1)-f(0)=35-1=242.

求解二项展开式的系数和问题的方法: “赋值法”是解决二项展开式系数问题常用的方法,根据题目要求, 灵活赋给字母所 取的不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 可得常数项, 令 x=1 可得所有项系数之和, 令 x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.

2.若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10. (1)求 a1+a2+…+a10; (2)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.
解析:(1)令 f(x)=(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10, a0=f(0)=25=32,a0+a1+a2+…+a10=f(1)=0, 故 a1+a2+…+a10=-32. (2)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2 =(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-…+a10) =f(1)· f(-1)=0.

探究三 二项展开式系数最值问题 [典例 3] (1+2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等, 求展开式中二项式系数最 大的项和系数最大的项.
5 6 6 5 5 6 6 [解析] T6=C5 (2 x ) , T = C (2 x ) ,依题意有 C 2 = C n 7 n n n2 ?n=8.

∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=C4 (2x)4=1 120x4. 8· 设第 r+1
r r r- 1 r-1 ? 2 ≥C8 · 2 , ?C8· 项系数最大,则有? r r r+ 1 r+1 ? C · 2 ≥ C 2 ? 8 8 ·

?5≤r≤6.

∵r∈{0,1,2,…,8},∴r=5 或 r=6. ∴系数最大的项为 T6=1 792x5,T7=1 792x6.

求解二项展开式系数最值问题: (1)求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质,n 为奇数时,中间两项的二项式 系数最大,n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大. (2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需根据各项系数的 正、负变化情况求解,一般采用解不等式组的方法求得.

3.已知(x +3x2)n 的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为 32. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
解析:令 x=1, 则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n. 又展开式中二项式系数和为 2n, 22n n ∴ n =2 =32,n=5. 2

2 3

(1)∵n=5,展开式共 6 项, ∴二项式系数最大的项为第三、四两项,
2 2 6 ∴T3=C2 ( x ) (3 x ) = 90 x , 5 2 3 T4=C3 5(x ) (3x ) =270x .
2 3 2
22 3

2 3 3

(2)设展开式中第 k+1 项的系数最大,则由 Tk+1=Ck 5(x )
k k k-1 k- 1 ? C5 , ?3 C5≥3 得? k k k+1 k+ 1 ? 3 C ≥ 3 C5 , ? 5

2 3 5- k

(3x2)k=3kC5x

10? 4 k k 3



2 26 7 9 2 4 3 ∴ ≤k≤ ,∴k=4,即展开式中系数最大的项为 T5= C4 ( x )(3 x ) =405x 3 . 5 2 2

二项式中关于系数的最值问题 [典例] (本小题满分 12 分)已知( x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展 开式的二项式系数和大
? 1? ? 2n 992,求?2x- ? ? 的展开式中: x ? ?

3

(1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

[解析] 由题意知,22n-2n=992 即(2n-32)(2n+31)=0. 所以 2n=32,解得 n=5.4 分



? ? 1? 1? ? ?10 ?5 5 5? - (1)?2x- ? 的展开式中第 6 项的二项式系数最大, 即 T6=C10· (2x) · ? x? =-8 x? ? ? ?

064



6分

(2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, 因为 1? r r 10-r ? r r 10-r 10-2r - Tr+1=C10· (2x) · = ( - 1) C · 2 · x , 10 ? ?
? ? ?

x?

r r- 1 11-r ? 210-r≥C10 · 2 , ?C10· 所以? r 10-r +1 ? 2 ≥Cr 210-r-1, ?C10· 10 · r r- 1 ? ?C10≥2C10 , 得? r r+ 1 ? ?2C10≥C10 ,

8分 8 11 解得 ≤r≤ . 3 3

? ?11-r≥2r, 即? ? ?2?r+1?≥10-r,

因为 r∈N,所以 r=3,10 分 故系数的绝对值最大的项是第 4 项, T4=-C3 27· x4=-15 360x4.12 分 10·

[规范与警示] (1)解答本题易失分的三个关键步骤.

(2)解答该问题 ①注重对性质的理解 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数, 它有三条性质, 要理解和掌握好, 如本例中利用性质可确定出展开式中第 6 项的二项式系数最大. ②注意对概念的区分 要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中 间项,而系数最大的不一定是中间项.如本例中求二项式系数的最大的项与系数的绝 对值最大的项的区别.

[随堂训练] 1.(1+x)2n+1 的展开式中,二项式系数最大的项所在项数是( A.n,n+1 C.n+1,n+2 B.n-1,n D.n+2,n+3 )

解析:该式展开共 2n+2 项,中间有两项;第 n+1 项与第 n+2 项.所以第 n+1 项 与第 n+2 项为二项式系数最大的项.

答案:C

2.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则 a8 等于( A.180 C.45 B.-180 D.-45

)

解析:a8=C8 22=180. 10· 答案:A

? 1? ? n 3.若?x+ ? 的展开式的各项系数之和为 ? x? ?

64,则展开式的常数项为(

)

A.10 C.30

B.20 D.120
n k 6-k?1?k 6-2k n=6,∴Tk+1=C6x ? ? =Ck x ,由 6

解析:由 2 =64,得 ∴T4=C3 6=20.

? ? ?x?

6-2k=0,得 k=3,

答案:B

4. 如图是一个类似“杨辉三角”的递推式, 则其第 n 行的首尾两个数均为________. 1 3 5 7 9 11 … 3 6 5 11 7 18 9

18 22

解析:由 1,3,5,7,9,…可知它们成等差数列,所以 an=2n-1.
答案:2n-1



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