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2.3等差数列的前n项和第一课时教案


高中数学必修 5 教案

第二章

§2.3

等差数列的前 n 项和
授课类型:新授课 (第 1 课时)

一、教学目标 知识与技能:掌握等差数列前 n 项和公式;会用等差数列的前 n 项和公式解决问题。 过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律; 通过公式推导的过程教学,扩展学生思维。 情感态度与价值观:通过公式的推导过程,使学生体会数学中的对称美,促进学生的逻辑思维。 二、教学重点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 1、课题导入 “小故事”:高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+?100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10?算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5050。 ” 教师问: “你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101; 2+99=101;?50+51=101,所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。 (2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相 加”法。 2、讲授新课 (1)等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n?1 ? a n

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a 2 ? a n ?1 ) ? (a3 ? a n ?2 ) ? ? ? (a n ? a n ) ∵ a1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? a n ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2

1

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第二章

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 (2)等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

王新敞
奎屯

新疆

n(n ? 1)d 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , a n 但 a n ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d 3、例题讲解: 课本 P43 的例 1 例 2:已知一个等差数列 ? an ? 的前 10 项和是 310,前 20 项和是 1220,由这些条件能确定这个数列的前 n 项和公式吗? 解:由题意知: S10 ? 310, S20 ? 1220 将它们代入公式 Sn ? na1 ? 得到方程组,

n(n ? 1) d 2

? 10a1 ? 45d ? 310 ? ? 20a1 ? 190d ? 1220

解这个方程组得到: a1 ? 4, d ? 6 所以

Sn ? 3n 2 ? n
2

例 3: 已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ? n ? 写出它的首项和公差

1 求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是, n, 2

解:根据 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 与 Sn ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 可知,当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ?
2

1 1 1 n ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 2n ? 2 2 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ?

3 , 2 1 3 ,首项为 ,公差为 2 2 2

所以 ? an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 由例 3 得与 a n 之间的关系:

由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S 1 = a1 ;当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 , 即 an = ?

?S1 (n ? 1) . ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)

2

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第二章

4、课堂练习 课本 P45 练习 1、2、3 练习①:根据题中条件,求相应的等差数列的前 n 项和表达式

a1 ? ?4, a8 ? ?18, n ? 8
解:由于 a1 ? ?4, a8 ? ?18 , 所以 d ?

a8 ? a1 ? ?2 7

代入前 n 项和表达式中:

S8 ? 8 ? (?4) ?

8(8 ? 1) ? (?2) ? ?88 2 1 2 2 n ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

练习②:已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ?

解:根据 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an 与 Sn ?1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 可知,当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 当 n ? 1 时, a1 ?

1 2 2 1 2 1 5 n ? n ? 3 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 3 ? n ? 4 3 4 3 2 12

11 ? S1 ,所以 12

? 47 ? 12 ,?????????????????n ? 1 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ? 5 ? 1 n,?????????n ? 1 ?12 2 ?
练习③:求集合 M ? m m ? 2n ? 1, n ? ? , 且m ? 60 的元素个数,并求这些元素的和. 解:由题意知

?

?

?

m ? 2n ? 1 ? 60 n ? 30.5
所以,元素个数为 30 个

S30 ? 30 ?1 ?
5、课时小结 本节课学习了以下内容:

30(30 ? 1) ? 2 ? 900 2

1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? Ⅴ.课后作业 课本 P46 习题[A 组]2、3 题

n(n ? 1)d 2

3



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