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2017届高考数学一轮复习 必考部分 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数应用能力提升 文


第三篇 第1节

三角函数、解三角形(必修 4、必修 5) 任意角和弧度制及任意角的三角函数

【选题明细表】 知识点、方法 象限角、终边相同的角 弧度制、扇形弧长、面积公式 三角函数的定义 综合应用 1.下列说法中,正确的是( C (A)小于 的角是锐角 (B)第一象限的角不可能是负角 (C)终边相同的两个角的差是 360°的整数倍 (D)若α 是第一象限角,则 2α 是第二象限角 解析:锐角的范围是(0, ),小于 的角还有零角和负角, A 不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以 B 不正确; C 正确;若α 是第一象限的角, 则 k?360°<α <k?360°+90°, 所以 2k?360°<2α <2k?360°+180°(k∈Z), 所以 2α 是第一象限或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上的角,所以 D 不正确. 2.(2015 甘肃高台质检)已知α 为第三象限角,则 所在的象限是( D ) (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限 解析:因为α 为第三象限角, 即π +2kπ <α < +2kπ ,k∈Z, 基础对点练(时间:30 分钟) ) 题号 1,2,6 4,7,14,16 3,5,8,9,10,13 11,12,15

所以 +kπ < < +kπ ,k∈Z, 当 k 为奇数时,它是第四象限角, 当 k 为偶数时,它是第二象限角. 3.(2015 南阳质检)点 P(cos 2 015°,sin 2 015°)落在( C )

1

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解析:cos 2 015°=cos(-145°)<0, sin 2 015°=sin(-145°)<0, 所以 P 点在第三象限. 4.(2016 潍坊模拟)已知扇形的半径是 2,面积为 8,则此扇形的圆心角的弧度数是( (A)4 (B)2 (C)8 (D)1 解析:设扇形的弧长为 l,则 l?2=8, 即 l=8, 所以扇形的圆心角的弧度数为 =4.

A )

5.已知角α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α =- ,则 m 的值为( B

)

(A)-

(B) (C)-

(D)

解析:因为 r=

,

所以 cos α = 所以 m>0, 所以 = ,

=- ,

即 m= . 6.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则角α 的取值集合为( (A){α |α =k?360°-45°,k∈Z} (B){α |α =k?2π + π ,k∈Z} D )

(C){α |α =k?π + π ,k∈Z}

(D){α |α =k?π - ,k∈Z} 解析:

2

角α 的取值集合为 {α |α =2nπ + π ,n∈Z}∪{α |α =2nπ - ,n∈Z}

={α |α =(2n+1)π - ,n∈Z}∪{α |α =2nπ - ,n∈Z}

={α |α =kπ - ,k∈Z}. 7.-300°角的弧度数是 . =- π .

解析:-300°角的弧度数是-300?

答案:- π 8.已知点 P(sin θ cos θ ,2cos θ )位于第三象限,则角θ 是第 解析:因为点 P(sin θ cos θ ,2cos θ )位于第三象限, 所以 sin θ cos θ <0,2cos θ <0,即 所以θ 为第二象限角. 答案:二 9.(2015 大连模拟)点 P 是始边与 x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ 的终边上的一点,若 |OP|=2,θ =60°,则点 P 的坐标是 . 解析:设 P(x,y),由三角函数的定义, 得 sin 60°= , 象限角.

cos 60°= ,

所以 x=2cos 60°=1,y=2sin 60°= 故点 P 的坐标为(1, 答案:(1, ) ).

,

3

10.已知角θ 的终边经过点 P(θ 和 tan θ 的值. 解:由题意,得 r= ,

,m)(m≠0)且 sin θ = m,试判断角θ 所在的象限,并求 cos

所以 sin θ =

= m.

因为 m≠0,所以 m=±

,

故角θ 是第二或第三象限角. 当 m= 时,r=2 , , ),

点 P 的坐标为(-

所以角θ 是第二象限角, cos θ = = =- ,

tan θ = =

=-

;

当 m=-

时,r=2

, ,),

点 P 的坐标为(-

所以角θ 是第三象限角, cos θ = = =- ,

tan θ = =

=

.

11.(2015 南通期中)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,角α 的始边与 x 轴的非负半轴重合且与 单位圆相交于 A 点,它的终边与单位圆相交于 x 轴上方一点 B,始边不动,终边在运动.

(1)若点 B 的横坐标为- ,求 tan α 的值;

4

(2)若△AOB 为等边三角形,写出与角α 终边相同的角β 的集合; (3)若α ∈(0, π ],请写出弓形 AB 的面积 S 与α 的函数关系式.

解:(1)由题意可得 B(- , ),

根据三角函数的定义得 tan α = =- . (2)若△AOB 为等边三角形, 则 B( , ),可得 tan∠AOB= = ,

故∠AOB= , 故与角α 终边相同的角β 的集合为 {β |β = +2kπ ,k∈Z}.

(3)若α ∈(0, π ),

则 S 扇形= α r = α ,

2

而 S△AOB= ?1?1?sin α = sin α , 故弓形的面积 S=S 扇形-S△AOB= α - sin α ,α ∈(0, π ]. 能力提升练(时间:15 分钟) 12.(2015 广州四校联考)已知点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限,则在[0,2π ]内α 的 取值范围是( B ) (A)( , )∪(π , ) (B)( , )∪(π , )

(C)( , )∪( , )

(D)( , )∪( ,π )

解析:因为点 P(sin α -cos α ,tan α )在第一象限,

5

所以 sin α -cos α >0,tan α >0, 又因为α ∈[0,2π ], 所以( , )∪(π , ). 13.(2015 龙岩模拟)下列各选项中正确的是( D ) (A)sin 300°>0 (B)cos(-305°)<0 (C)tan(- π )>0 (D)sin 10<0 解析:300°是第四象限角,则 sin 300°<0; -305°是第一象限角,则 cos(-305°)>0; 因为- π =-8π + π ,

所以- π 是第二象限角,则 tan(- π )<0;

因为 3π <10< π , 所以 10 是第三象限角,sin 10<0. 14.一扇形的圆心角为 120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 解析:设扇形半径为 R,内切圆半径为 r. 则(R-r)sin 60°=r, 即 R=(1+ )r.

.

又 S 扇= |α |R = ? ?R = R =

2

2

2

πr,

2

所以

=

.

答案:(7+4

)∶9

15.角α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称(a≠0,b≠0),角β 的终边上的点 Q 与 A 关于 直线 y=x 对称,求 + + 的值.

解:由题意得 P(a,-b),Q(b,a), 所以 sin α = ,cos α = ,

6

tan α =- ,

sin β =

,

cos β =

,tan β = ,

所以

+

+

=-1- +

=0.

16.如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度,点 Q

按顺时针方向每秒钟转 弧度,求点 P,点 Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及 P,Q 点各自走过的弧长.

解:设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t, 则 t? +t?|- |=2π . 所以 t=4(秒),即第一次相遇所用的时间为 4 秒. 设第一次相遇点为 C, 第一次相遇时 P 点和 Q 点已运动到终边在 ?4= 的位置,

则 xC=4?cos =-2,

yC=4?sin =-2

.

所以 C 点的坐标为(-2,-2

).

P 点走过的弧长为 π ?4= π ,

7

Q 点走过的弧长为 π ?4= π . 精彩 5 分钟 1.若α 是第三象限角,则 y= (A)0 (C)-2 (B)2 (D)2 或-2 + 的值为( A )

解题关键:解答本题关键是对 所在象限分类讨论. 解析:因为α 是第三象限角, 所以 2kπ +π <α <2kπ + π (k∈Z),

所以 kπ + < <kπ + (k∈Z),

所以角 终边在第二象限或第四象限.

当 终边在第二象限时,

y=

-

=0,

当 终边在第四象限时,y=

+

=0,

综上,y=0. 2.已知角α 的终边经过点(1,-1),始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α 的取值 集合为 . 解题关键:先由角α 的终边经过点(1,-1)在[0,2π )或(-2π ,0]内确定一个角,再加上 2kπ (k∈Z). 解析:终边经过点(1,-1),在[-2π ,0)内,取β =- , 所以角α 的取值集合即与β 终边相同的角的集合, 可表示为{α |α =- +2kπ ,k∈Z}.

8

答案:{α |α =- +2kπ ,k∈Z}

9


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