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2013届高考文科数学第一轮复习测试题17


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命题要点:?1?函数的奇偶性?′11 年 4 考,′10 年 2 考?;?2?函数性质的综合应 用?′11 年 2 考,′10 年 2 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 广东六校联考)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 ( A.y=x3 1 C.y=x2 B.y=ln |x| D.y=cos x ). 满分:60 分)

1 解析 y=x3 不是偶函数;y=x2在(0,+∞)上单调递减;y=cos x 在(0,+∞)上 有增有减;只有 y=ln |x|同时满足条件. 答案 B 2.对于定义域为 R 的奇函数 f(x),下列各式中成立的是( A.f(x)-f(-x)≥0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)f(-x)≥0 D.f(x)f(-x)≤0 (x∈R) (x∈R) (x∈R) (x∈R) ).

解析 依题意,知 f(-x)=-f(x),∴f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0. 答案 D 3.(★)(2011· 湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex, 则 g(x)=( A.ex-e-x 1 C.2(e-x-ex) ). 1 B.2(ex+e-x) 1 D.2(ex-e-x)

解析 (直接法)由 f(x)+g(x)=ex, 可得 f(-x)+g(-x)=e-x, f(x)为偶函数, 又 g(x) ex-e-x 为奇函数,可得 f(x)-g(x)=e ,则两式相减可得 g(x)= 2 .
-x

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答案 D 【点评】 本题采用直接法,所谓直接法,就是直接从题设的条件出发,运用有 关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识,通过严密的推理与计算来得 出题目的结论,然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”.其基本策略是 由因导果,直接求解. 4.(★)(2011· 辽宁)若函数 f(x)= 则 a=( 1 A.2 ). 2 B.3 3 C.4 x 是奇函数, ?2x+1??x-a? D.1 x 为奇函数, ?2x+1??x-a?

解析 (特例法)∵f(x)= ∴f(-1)=-f(1),

-1 1 ∴ =- , ?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a? 1 ∴a+1=3(1-a),解得 a=2. 答案 A 【点评】 本题采用特例法,可简化运算,当然也可用奇函数的定义进行解题, 不过过程较为繁琐,若运算能力较弱容易出错. 5.(2012· 贵阳调研)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(9)的 值为( A.-1 ). B.0 C.1 D.2

解析 ∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的函数.∴f(9)=f(2×4+1)=f(1). ∵f(x+2)=-f(x),令 x=-1, 得 f(1)=-f(-1)=-f(1), ∴f(1)=0,∴f(9)=0. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)
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6.若 f(x)=

1 +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1
x

解析 f(-x)=

1 2x 2x ? 1 ? +a?? +a= +a,f(-x)=-f(x)? x x+a=-? x 2 -1 1-2 1-2 ?2 -1 ?
-x

1 2x 1 2a= - =1,故 a=2. 1-2x 1-2x 1 答案 2 7.(2011· 广东)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析 ∵f(a)=a3cos a+1=11,∴a3cos a=10, ∴f(-a)=(-a)3cos(-a)+1 =-a3cos a+1 =-10+1=-9. 答案 -9 8.(2011· 湖南)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=________. 解析 由 g(x)=f(x)+9,得 g(-2)=f(-2)+9, ∴f(-2)=-6,又 f(-2)=-f(2),∴f(2)=6. 答案 6 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x|x-2|,求 x<0 时,f(x)的表 达式. 解 设 x<0,则-x>0,所以满足表达式 f(x)=x|x-2|. ∴f(-x)=(-x)|(-x)-2|=-x|x+2|. 又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x)=x|x+2|, 故当 x<0 时,f(x)=x|x+2|. 10.(12 分)奇函数 f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1+a)+f(1-a2)<0,求 实数 a 的取值范围. 解 ∵f(x)为奇函数,∴f(1+a)<-f(1-a2)=f(a2-1), ∵f(x)的定义域为(-1,1),且是减函数,

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?-1<1+a<1, 2 ∴?-1<a -1<1, ?1+a>a2-1,

解得-1<a<0,

∴实数 a 的取值范围是(-1,0). B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2011· 银川四校联考)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减 函数,且 f(2)=0,则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( A.(-∞,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) ). B.(-2,2) D.(2,+∞) 满分:40 分)

解析 ∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,∴f(x)在(0,+∞) 上为增函数,由 f(x)<f(2),得 f(|x|)<f(2),∴|x|<2,∴-2<x<2. 答案 B 2.(2011· 皖南八校第二次联考)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时, f(x)=log2(x+1), f(-2 010)+f(2 011) 则 的值为( A.-2 ). B.-1 C.2 D.1

解析 f(-2 010)+f(2 011)=f(2 010)+f(2 011) =f(0)+f(1)=log21+log22=1. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________. 解析 因为 f(x)是偶函数,所以恒有 f(-x)=f(x), 即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得 x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数 x 都成立,所以 a=-1. 答案 -1 4.(2012· 宿迁模拟)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上 是增函数,给出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数;
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②f(x)关于直线 x=1 对称; ③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数; ⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是________. 解析 ∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x)=-f(x+1)=f(x+1+1)=f(x+2), ∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确. 又∵f(x+2)=f(x)=f(-x),∴f(x)=f(2-x), ∴y=f(x)的图象关于 x=1 对称,②正确. 又∵f(x)为偶函数且在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数.又∵对称轴为 x=1, ∴f(x)在[1,2]上为增函数,f(2)=f(0),故③④错误,⑤正确. 答案 ①②⑤ 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时, f?a?+f?b? 有 >0.判断函数 f(x)在[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论. a+b 解 f(x)在[-1,1]上是增函数,证明如下: 任取 x1,x2∈[-1,1],且 x1<x2, 则-x2∈[-1,1].又 f(x)是奇函数, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) f?x1?+f?-x2? = · 1-x2). (x x1+?-x2? f?x1?+f?-x2? 据已知 >0,x1-x2<0, x1+?-x2? ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[-1,1]上是增函数. 6.(12 分)已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(x)是奇函数;
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1 (2)如果 x>0,f(x)<0,并且 f(1)=-2,试求 f(x)在区间[-2,6]上的最值. (1)证明 函数定义域为 R,

∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. ∴f(x-x)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. (2)解 设 x1,x2∈R,且 x1<x2.

f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1), ∵x1<x2,∴x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)<f(x1),∴函数 f(x)为减函数, ∴f(x)在[-2,6]上的最大值为 f(-2),最小值为 f(6). 1 ∵f(-1)=-f(1)=2, ∴f(-2)=f((-1)+(-1))=f(-1)+f(-1)=1,f(6)=6f(1)=-3, ∴函数 f(x)在[-2,6]上的最大值为 1,最小值为-3.

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