9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高二数学竞赛综合练习(5)


高二数学竞赛综合练习题(5)
姓名 1.已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | x ? b}, a, b ? N, 且 A ? B ? N ? {1} ,则 a ? b ? 2. 已知正项等比数列 {a n } 的公比 q ? 1 , a 2 , a 4 , a 5 成等差数列, 且 则
a1 ? a 4 ? a 7 ? a3 ? a6 ? a9

班级

学号

. .

BC 3. 在 ?ABC 中, 若 9 cos 2 A ? 4 cos 2 B ? 5 , 则 AC 的值为



??? 1 ??? ? ? ??? ???? ? 1 AE ? EB BD ? AC ? ? 2 2, 则 4. 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC ? 2 , AD ? DC , , 若

CE ? AB =



x2 y2 ? ?1 4 5. 已知 F1 、 F2 分别 是椭圆 8 的左、 右焦点 , 点 P 是椭圆上的 任意一点 , 则
| PF1 ? PF2 | PF1 的取值范围是
2



1 y e2 log 2 [4 cos (xy ) ? ] ? ln y ? ? ln 4 cos2 ( xy ) 2 2 , 则 y cos 4 x 的 值 6. 若 x , y 满 足
为 .

? 1 ? ( x ? 1) 2 , 0 ? x ? 2, ? f ( x) ? ? x ? 2 , 若关于 x 的方程 f ( x) ? kx (k ? 0) 有且仅 ? f ( x ? 2), ? 7.已知函数
g (t ) ?
有四个根, 其最大根为, 则函数

25 2 t ? 6t ? 7 24 的值域为
?a



? n , 8.已知数列 {a n } 满足: a 1 为正整数, a n ?1 ? ? 2

a n 为偶数,

?3a n ? 1, a n 为奇数, ?

如果 a1 ? a 2 ? a 3 ? 29 ,

则 a1 ?



9. ?ABC 中, 在 已知内角 A ?

?
3

, BC ? 2 3 , ?ABC 的面积 S 的最大值为 边 则

.

? x x x g x 10. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 和 g ( x) 满 足 g ( x)? 0 ,?f ( ) g ?( ) ?f ?( ) , ( ) f (1) f ( ?1) 5 f (n) 15 ? ? .令 an ? f ( x) ? a x ? g ( x) , ,则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 超过 g (1) g ( ?1) 2 g (n) 16 的最小自然数 n 的值为 .

11 . 已 知 正 项 数 列 {a n } 满 足

2 an an ?1 ? an an ? 2 ? 4 an an ? 1? an ? 1? 3 an an ? 1且 a1 ? 1 ,

a2 ? 8 ,求 {a n } 的通项公式.

12.已知多项式 f (n) ? n5 ? n4 ? n3 ? 数?并证明你的结论.

1 5

1 2

1 3

1 n . 试探求对一切整数 n, f (n) 是否一定是整 30

13. 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 经过点

M (3 2, 2) ,椭圆的离心率
(1)求椭圆 C 的方程;

e?

2 2 3 , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点.

(2)过点 M 作两直线与椭圆 C 分别交于相异两点 A 、 B . ①若直线 MA 过坐标原点 O , 试求

?MAF2 外接圆的方程;

②若 ?AMB 的平分线与 y 轴平行, 试探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是, 请给予 证明;若不是, 请说明理由.

x ? D , 均有 f ( x0 ) ? D , 则称函数 f ( x) 14. 对于定义在区间 D 上的函数 f ( x) , 若任给 0
在区间 D 上封闭. 试判断 f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上是否封闭, 并说明理由;

g ( x) ?
若函数

3x ? a x ? 1 在区间 [3,10] 上封闭, 求实数 a 的取值范围;
3

若函数 h( x) ? x ? 3 x 在区间 [a, b](a, b ? Z ) 上封闭, 求 a, b 的值.

练习 5 参考答案
1. 1

3? 5 2. 2
[? 41 , ?1) 25

2 3. 3

4. 0

5. [0, 2 2 ? 2]

6.-1

7.

8. 5

9. 3 3 ; 10. 5 .
a n?2 a ? 4 1 ? n ?1 ? 3 , a n ?1 an

11.解 在已知等式两边同时除以 a n a n ?1 ,得 1 ?

所以

1?

an ? 2 a ? 1 ? 4( 1 ? n ?1 ? 1) . an ?1 an
a n ?1 ? 1 ,则 b1 ? 4, bn ?1 ? 4bn ,即数列 {b n } 是以 b1 =4 为首项,4 为公比的等比 an

令 bn ? 1 ?

数列,所以 bn ? b1 ? 4 n?1 ? 4 n . 所以 1 ?
a n ?1 ? 1 ? 4 n ,即 a n ?1 ? [(4 n ? 1) 2 ? 1]a n . an

于是,当 n ? 1 时,
a n ? [(4 n?1 ?1) 2 ? 1]a n?1 ? [(4 n?1 ?1) 2 ?1] ? [(4 n?2 ? 1) 2 ?1]a n?2
? ? ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1]a1 ? ? [(4 k ?1 ? 1) 2 ? 1] ,
k ?1 k ?1 n ?1 n ?1

因此, a n ? ? n ?1

?1, ?

n ? 1,
k ?1

? k ?1 ?

? [(4

? 1) ? 1], n ? 2.
2

12.(Ⅰ)先用数学归 纳法证明:对一切正整数 n, f ( n) 是整数. ①当 n=1 时, f (1) ? 1 ,结论成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即 f (k ) ? k 5 ? k 4 ? k 3 ? 当 n=k+1 时, f (k ? 1) ? (k ? 1) 5 ? ( k ?1) 4 ? ( k ?1) 3 ?

1 5

1 2

1 3

1 k 是整数,则 30

1 1 1 1 ( k ?1) 5 2 3 30 1 3 5 0 1 2 1 4 C 0 k 5 ? C5 k 4 ? C52 k 3 ? C5 k 2 ? C54 k ? C5 C4 k 4 ? C4 k 3 ? C4 k 2 ? C4 k ? C4 ? 5 ? 5 2 0 3 1 2 2 3 C k ? C3 k ? C3 k ? C3 1 ? 3 ? (k ? 1) = f (k ) ? k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1 3 30

根据假设 f ( k ) 是整数,而 k 4 ? 4k 3 ? 6k 2 ? 4k ? 1 显然是整数. ∴ f (k ? 1) 是整数,从而当当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对对一切正整数 n, f ( n) 是整数. (Ⅱ)当 n=0 时, f (0) ? 0 是整数. (Ⅲ)当 n 为负整数时,令 n= -m,则 m 是正整数,由(1) f ( m) 是整数,

所以 f (n) ? f (?m) ? (?m)5 ? (?m)4 ? (?m)3 ?

1 5

1 2

1 3

1 (?m) 30

1 1 1 1 ? ? m5 ? m4 ? m3 ? m = ? f (m) ? m4 是整数. 5 2 3 30 综上,对一切整数 n, f ( n) 一定是整数.

x2 y 2 2 2 c2 a 2 ? b2 8 ? ? ? ?1 e? a2 9 ,得 a 2 ? 9b 2 ,故椭圆方程为 9b 2 b 2 3 , a2 13.解: (1)由 x2 y 2 18 2 ? ?1 ? 2 ?1 2 2 b 又椭圆过点 M (3 2, 2) ,则 9b ,解得 b ? 4 ,所以椭圆的方程为 36 4
1 ?MF1 F2 的外接圆的圆心为 T .因为 kOM ? 3 ,所以 MA 的中垂线方程为 y ? ?3 x , (2)①记

?7 2 2? , ? ? ? 2 ? M (3 2, 2) , F2 4 2, 0 ,得 MF1 的中点为 ? 2 ? ,而 kMF2 ? ?1 , 又由

?

?

所以

MF2 的中垂线方程为 y ? x ? 3 2 ,由
2

? y ? ?3 x ? ? ?y ? x ?3 2 ?
2

?3 2 9 2 ? T? ? 4 ,? 4 ? ? ? ,得 ?

? 3 2? ? 9 2? 5 5 ?4 2 ? ? ??0? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ? 所以圆 T 的半径为 ? ,

? 3 2? ? 9 2 ? 125 ?x? ? ?? y? ? ? 4 ? ? 4 ? 4 ?MAF2 的外接圆的方程为 ? ? ? ? ? 故
x2 ?
(说明:该圆的一般式方程为 (3)设直线 MA 的斜率为 k , 数,

2

2

3 2 9 2 x ? y2 ? y ? 20 ? 0 2 2 )


A ? x1 , y1 ?

B ? x2 , y2 ?

,由题直线 MA 与 MB 的斜率互为相反

? y ? kx ? 2 ? 3 2k ? 2 ?x y2 ? ?1 ? MB 的斜率为 ?k .联立直线 MA 与椭圆方程: ? 36 4 直线 ,
整理得

? 9k

2

? 1? x 2 ? 18 2k ?1 ? 3k ? x ? 162k 2 ? 108k ? 18 ? 0





x1 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2


所以 又

x2 ?

18 2 ? 3k 2 ? k ? 9k 2 ? 1

?3 2

36 2k 108 2k 2 x2 ? x1 ? 2 x2 ? x1 ? ?6 2 9k ? 1 , 9k 2 ? 1 ,整理得

y2 ? y1 ? ?kx2 ? 2 ? 3 2k ? kx2 ? 2 ? 3 2k ? ? k ? x2 ? x1 ? ? 6 2k
12 2k y2 ? y1 9k 2 ? 1 1 ? ? ? x2 ? x1 36 2k 3 9k 2 ? 1 为定值。

?

?

?108k 3 12 2k ? 12 2k ? 2 2 9k ? 1 ,所以 = 9k ? 1

k AB

14.解: (1) f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,1] 上单调递增,所以 f ( x) 的值域为[-3,0] 而[-1,0] ? [?2,1] ,所以 f ( x) 在区间 [?2,1] 上不是封闭的

g ( x) ?
(2)因为

3x ? a a ?3 ? 3? x ?1 x ?1 ,

①当 a ? 3 时,函数 g ( x) 的值域为

?3? ? [3,10] ,适合题意
[ 30 ? a 9 ? a , ] 11 4 ,

②当 a ? 3 时,函数 g ( x) 在区间 [3,10] 上单调递减,故它的值域为

? 30 ? a ? 11 ? 3 ? ? 30 ? a 9 ? a ? 9 ? a ? 10 [ , ] ? [3,10] ,得 ? 4 ? 4 由 11 ,解得 3 ? a ? 31 ,故 3 ? a ? 31
③当 a ? 3 时,在区间 [3,10] 上有

g ( x) ?

3x ? a a ?3 ? 3? ?3 x ?1 x ?1 ,显然不合题意

综上所述, 实数 a 的取值范围是 3 ? a ? 31

? (3)因为 h( x) ? x ? 3 x ,所以 h ( x) ? 3 x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,
3 2

所以 h( x) 在 (??, ?1) 上单调递减,在 (?1,1) 上递增,在 (1, ??) 上递增.

? h( a ) ? a ? a ? b ? ?1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递增,所以 ? h(b) ? b ,此时无解 ①当
②当 a ? ?1且 ? 1 ? b ? 1 时,因

h( x) max ? h(?1) ? 2 ? b

,矛盾,不合题意

?a ? ?2 ? b?2 , ③当 a ? ?1且b ? 1 时,因为 h(?1) ? 2, h(1) ? ?2 都在函数的值域内,故 ?

?a ? h(a ) ? a 3 ? 3a ??2 ? a ? 0或a ? 2 ?a ? ?2 ? ? ? 3 b ? h(b) ? b ? 3b ,解得 ? b ? 2或0 ? b ? 2 ,从而 ? b ? 2 又?
?h(b) ? a ? h( a ) ? b ④当 ?1 ? a ? b ? 1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递减, ?
而 a, b ? Z ,经检验,均不合(*)式 ⑤当 ?1 ? a ? 1且b ? 1 时,因

(*),

h( x) min ? h(1) ? ?2 ? a ,矛盾,不合题意

? h( a ) ? a ? h(b) ? b ,此时无解 ⑥当 b ? a ? 1 时, h( x) 在区间 [a, b] 上递增,所以 ?
综上所述,所求整数 a, b 的值为 a ? ?2, b ? 2


赞助商链接

更多相关文章:
三年级数学竞赛练习5
三年级数学竞赛练习5 - 三年级数学竞赛练习 5 一、想想、算算、填填。 1、最大的两位数乘最小的两位数,积是( 2、5□×16≈1200,□里可以填( 3、在○...
年级竞赛练习题
年级竞赛练习题 - 五年数学竞赛综合练习 姓名 一、填空题。 1、A、B、C、D 四个数的平均数是 38,A、B 的平均数是 42,B、C、D 的平均数是 36, B ...
数学竞赛练习题
上一致连续, 分析:这是一个综合性的题目,首先要搞清楚一致连续的概念,可以构造...高中数学竞赛函数练习题 暂无评价 25页 ¥5.00 最新的高中数学竞赛函数... ...
2013高等数学竞赛习题123
2013高等数学竞赛习题123 - 习题(五) 练习 5-1 1、选择题 (1)设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,且 f (a) ? f (b) ,则...
数学竞赛专项练习001
数学竞赛专项练习001 - 数学竞赛专项练习 120823 一.2010 填空题:(每小题 6 分,共 60 分) 1.用区间表示函数 f ( x ) ? ln( 1? x x?3 满分 30...
高等数学竞赛练习题
高等数学竞赛练习题 - 高等数学竞赛练习题 1、设 a > 0 , {xn } 满足: x 0 > 0 , x n +1 = 1 a ( xn + ), 2 xn n→∞ n = 0 ,1, ...
高中数学竞赛讲义-二次函数练习题
高中数学竞赛讲义-二次函数练习题 - 课后练习 1.f(x)是定义在全体实数上的偶函数,它的图象关于 x=2 为轴对称,已知当 x∈(-2,2] 2 2 2 时 f(x)的...
高斯杯年级数学练习
高斯杯年级数学练习_学科竞赛_小学教育_教育专区。 高思杯五年级练习题答案 1.【答案】0.06 【模块】应用题 【解析】问题设数最为简便,假设出书具体销售量。...
MBA3数学综合练习
MBA3数学综合练习题 - MBA3 综合练习题 注释: (一)条件充分性判断题的求解过程即为以下三个命题中某几个命题真假的判定: ①条件(1)成立,则题干结论成立。 ...
初中数学竞赛教程及练习之递推公式附答案
初中数学竞赛教程及练习之递推公式附答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。初中数学...5 10 5 例 2. 为了计算的方便,通常把递推公式写成以a1和n表示an的形式,这...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图