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立体几何考查特点及其新动向


立体几何考查特点及其新动向 立体几何是高考的重要内容, 从近几年高考试题可知立体几何高考命题形式比较稳定、 难易 适中,一般保持着两小一大,重点考查以下四个方面。其一是空间中直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系,这部分内容是立体几何的理论基础,尤其是平行、垂直关系的判定和论 证是历年高考的重点和热点。 高考试题中考查直线与平面的位置关系, 多数是选择题或多项填空 题的形式出现。在解答题中一般以多面体为载体,重点考查直线、平面平行或垂直的位置关系; 其次是空间的角和距离,空间图形中各元素间的位置关系都可以用这两个几何量来定量的描述, 所以角度和距离是立体几何的基础和核心。 在高考试卷中, 每年都至少有一个以角度和距离为内 容的选择题或填空题, 还有一个是以多面体或球为载体, 重点考查如何计算空间中角的大小和距 离的解答题; 其三是多面体和球的面积和体积问题是每年都要考查的一类问题。 这类问题多在高 考的选择题、填空题、解答题中某一小题出现;其四是在立体几何与排列组合、解析几何、函数 等知识的交汇处设计综合试题,以体现在知识的交汇处设计试题的命题原则。 在解答立体几何的过程中要注意立体问题平面化,面面问题线面化,线面问题线线化,几何 问题代数化;注意掌握立体几何与排列组合、概率、函数、方程、不等式、解析几何等知识的交 叉与渗透,不断提高综合运用数学知识和数学思想方法解决数学中的综合问题的能力。 【例 1】平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B ,过定点 A 的动直线 L 与 AB 垂直,且交 α 于点 C , 】 则动点 C 的集合是 。 【解析】设 L ' 与 L 是其中的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线垂直于这个 平面,故过定点 A 与 L 垂直所有直线都在这个平面内,故动点 C 都在这个平面与平面 α 的交线 上。 【答案】一条直线 北京高考) 【例 2】 2011·北京高考)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( 】 ( 北京高考 A.8 B. 6 )

2

C.10

D. 8

2
P

4

4 正(主)视图

3 侧(左)视图

C A B

俯视图

解析】 【解析】选 C.该四面体的直观图,如图所示, ∠B

= 900 , PA ⊥ 面ABC ,PA=4,AB=4,BC=3.

该四面体的四个面都是直角三角形.四个面的面积分别为

S ?ABC = 6, S ?PAB = 8, S ?PBC = 6 2, S ?PAC = 10. 故最大面积为 10.
【例 3】如下的三个图中,左侧的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和 侧视图如右图(单位:cm)(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; 。 (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; 3)在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 (

EFG。
D' G F B'
4 2

C'
2

6

2

E D A B C
4

1

正侧 侧

侧侧侧

【解析】(1)俯视图如图

(2)所求多面体的体积 V = V长方体 ? V正三棱锥

1 ?1 284 ? = 4× 4×6 ? ×? × 2× 2?× 2 = cm 3 3 ?2 3 ?

(

)

(3)证明:如图,在长方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,连接 AD ' ,则 AD ' ∥ BC ' 因为E,G分别为 AA ', A ' D ' 中点,所以 AD ' ∥ EG ,从而 EG ∥ BC ' , 又 BC ' ? 平面EFG , 所以 BC ' ∥平面EFG;

点评:本题主要考查空间几何体的三视图的概念与画法以及学生的空间想象能力与运算能力.解 决这类问题只要抓住了三视图的基本特征“正侧等高、正俯正长、侧俯等宽” ,将三视图还原成 几何体的直观图就不难解决,但要注意由于三视图是新增内容,是高考命题的新亮点,这类题往 往将三视图与求多面体的面积、 体积以及多面体的线线、 线面、 面面关系的论证有机的结合起来, 这将是新课程改革后高考命题的一个热点内容. 【例 4】如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是 圆的直径, ∠ABD

= 60o , ∠BDC = 45o , PD 垂直底面 ABCD , PD = 2 2 R , E,F 分

别是 PB,CD 上的点,且

PE DF = ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC (Ⅰ)求 BD 与平面 ABP 所成角 θ 的正弦值; (Ⅱ)证明: △ EFG 是直角三角形; E PE 1 (Ⅲ)当 = 时,求 △EFG 的面积. EB 2
【解析】 (Ⅰ)在 Rt ?BAD 中,可求得 AB 在 Rt ?PAD 中,易知 PA = 在 Rt ?PBD 中,易知 PB

P G D F C

= R, AD = 3R ;

A B

11R ;

= 2 3R ,利用勾股定理的逆定理知: ?PAB 是以 ∠PAB 为直
2

角的直角三角形. 利用 VP ? ABD

= VD ? PAB 可得点 D 到面 PAB 的距离为 h =

2 66 R. 11

因此, sin θ =

h 66 ; = BD 11 DF PE PG (Ⅱ)∵ EG // BC ,∴ = = ? GF // PD , FC EB GC

又 PD

⊥ 平面ABCD ,∴ PD ⊥ BC ? EG ⊥ GF .

∴?EFG 是直角三角形;
(Ⅲ)在 Rt ?BCD 中,易知 BC 于是 ?EFG 的面积 S ?EFG

3 1 1 2 4 2 4 = EG GF = × R× R = R2 . 2 2 3 3 9

= 2 R ,则 EG = 1 BC = 2 R, GF = 2 PD = 4 2 R
3 3 3

点评: 本题主要是通过线面角与三角形面积的求解来考查学生的空间想象能力、 逻辑推理能 力和运算能力,是一道难度较大的立体几何综合试题.由于高中数学新课程标准中增加了《几何 证明选讲》 这一专题, 此专题中主要是在原初中平面几何知识的基础上进一步深化了相似三角形 的知识,增加了《平行线分线段成比例定理》和《圆内接四边形的性质与判定定理》等知识,这 样又将增加了高考中命制立体几何试题的又一新亮点, 同时还可以将立体几何试题的难度上一个 档次.这就要求我们在新课程标准下进行立体几何教学和复习中的教师们要注意立体几何知识与 《几何证明选讲》中的知识进行有机的整合.为此本人自编了一道立体几何试题如下,供同仁们 参考. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是圆的内接四边形, AB

= 2, BC = 2 3, CD = 7 ,

AD = 3 , PA 垂直底面 ABCD, PA = 2 3 ,又 AH ⊥ PB 于点 H .
(Ⅰ)求证:AH⊥平面 PBC; (Ⅱ)求二面角 A-PB-C 的大小. 思路提示:连结 AC,利用余弦定理可知 AC 为四边形 ABCD 的外接圆的直径.这样本题就可以用类似例 3 的方法解答. 总之,不管是准备参加大纲教材的考生,还是课标教材的考 生, 对立体几何的复习, 除了高度重视对立体几何的基本知识 (基 本概念、定理、公式等)的归纳总结、构建完整的知识网络体系、 强化对图形语言与文字语言及符号语言相互转化的训练以及重视 向量知识的运用外, 还要特别关注由大纲教材到课标教材的过渡以及课标教材中各立体几何与平 面几何知识的整合,这样才能提高解决立体几何综合试题的能力.

3


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