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天津市南开中学高二数学必修5导学案:3.4.2基本不等式

◆ 典型例题 例1 (1) 已知 x、y 都是正数,求证: y x ? ≥2; x y (3)已知 a、b、c 都是正数,求证: (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd 1 例 2(1) 若 x>0,求 f ( x) ? 4 x ? 9 的最小值; x (2)若 x<0,求 f ( x) ? 4 x ? 9 的最大值. x 2 1 例 3 已知 0 ? x ? ,求函数 y ? x(1 ? 3x) 的最大值。 3 变式 1 已知 x ? 5 1 ,求函数 y ? 4 x ? 的最大值。 4 4x ? 5 2 求函数 y ? x2 ? 8 ( x ? 1 )的最小值。 x ?1 3 1 4 例 4 设 x ? 0 , y ? 0 ,且 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y 1 1 变式 :已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 1 ,求 ? 的最小值。 x y 例 5 求函数 y ? x2 ? 3 x2 ? 2 的最小值。 4 ◆ 动手试试 1 已知 t ? 0 ,则函数 y ? t 2 ? 4t ? 1 的最小值为____________ . t y2 2 若 x, y ? R? 且 x ? ? 1 ,则 x 1 ? y 2 的最大值。 2 2 3 已知 a ? 0, b ? 0 ,则 A.2 B. 2 2 1 1 ? ? 2 ab 的最小值是( a b ) w.w.w..c. ) C.4 D.5 4 已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8, 则 x+2y 的最小值( A. 4 B. 3 C. 9 2 D. 11 2 x y 5 已知 x, y ? R? ,且满足 ? ? 1 ,则 xy 的最大值________。 3 4 5 三、学习小结 规律技巧总结:利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负 号变正. ◆ 知识拓展 1. 基本不等式的变形: ( a ? b) 2 a?b 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a?b 2 ) ____ ;( ; ab ___ ; ab ___( ) ; 2 2 2 2 2 (a ? b) 2 ____ 4ab a ? a ? an n 2. 一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 , , an (n ? 2) ,都有, 1 2 ? a1 a2 an (当 n 且仅当 a1 ? a2 ? ? an 时取等号) a 2 ? b 2 _____ 3. a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc(a, b, c ? R) 当且仅当 a ? b ? c 时取等号) 6


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