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宁夏高中数学人教a版必修一课件:1.3.1(2)函数的最大(小)值


画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题: 2 f ( x ) ? ? x ? 2x ? 1 (1) f ( x) ? ?2 x ? 3 (2) 1 说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的 单调性; 2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现 函数的什么特征? y y 2 -1 o o x x 1.最大值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最大值 2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果 存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最小值 注意: 1、函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f(x0) = M; 2、函数最大(小)值应该是所有函数值中最大 (小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M (f(x)≥M). 例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确 到1m) 解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然, 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 h? ? 29 4 ? (?4.9) 于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m. 2 例3.求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和 x ?1 最小值. 解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 2( x2 ? x1 ) ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是 2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 点上分别取得最大值和最小值,即在点x=2时取 最大值,最大值是2,在x=6时取最小值,最小值 为0.4 . 2 y? 因此,函数 x ? 1 在区间[2,6]上的两个端 2 y? x ?1 (二)利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法 1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区 间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b); 课堂


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