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福建师大附中2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版).doc


2016-2017 学年福建师大附中高二(上)期末数学试卷(文 科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.抛物线 y= x2 的焦点到准线距离为( A.1 B.2 ) C. D.

2. 已知 的( )

, 则双曲线 C1:

与 C2:

A.实轴长相等

B.虚轴长相等

C.离心率相等 =( )

D.焦距相等

3.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

A.2

B.4

C.

D.

4.在平面内,已知双曲线 曲线 C 上的( A.充要条件 C.必要不充分条件 )

的焦点为 F1,F2,则|PF1|﹣|PF2|=6 是点 P 在双

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

5.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,﹣1)的距离与点 P 到抛物线焦点距 离之和的最小值是( A. 6.下列命题:
2 2 (1)“若 am ≥bm ,则 a≥b”的否命题;

) B. C .3 D.4

(2)“全等三角形面积相等”的逆命题;
2 (3)“若 a>1,则关于 x 的不等式 ax ≥0 的解集为 R”的逆否命题;

其中正确命题的个数是( A.1

) B.2 C .3 D.4

7.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度

不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是 ( )

A.

B



C



D.

8.设 F1、F2 是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x= ) D.

上一点,△

F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C.

9.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 3.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)

的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 ,则抛物线 C2 的方程为( A.x2=33y B.x2=33y C.x2=8y

) D.x2=16y

10.已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过 P 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(﹣12,﹣15) ,则 E 的方程式为( )

A.

B.

C.

D.

11.已知 F 为双曲线

的左焦点,P,Q 为 C 右支上的点,若 PQ 的长等于虚 ) D.48

轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PFQ 的周长为( A.28 B.36 C.44

12.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在第 )

二、四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 13.命题“? x0∈R,使得 x02+2x0+5>0”的否定是 . .

14.某质点的位移函数是 s(t)=2t3﹣ gt2(g=10m/s2) ,则当 t=3s 时,它的速度是

15.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽为 米.

16.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点,若 =4 ,则 QF 等于 .

17.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60° 的直线 A1B1 和A B2,使|A1B1|=|A B2|,其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点, .

则该双曲线的离心率的取值范围是

18.△ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 .

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分) 19.已知曲线 .

(1)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (2)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程. 20.已知命题 p:方程 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:双曲线 =1

的离心率 e∈(

) .若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

21.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 两个不同的交点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围;

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆



y 轴正半轴的交点分别为 A, B, (Ⅱ) 设椭圆与 x 轴正半轴、 是否存在常数 k, 使得向量 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. =1(a>b>0)的顶点 B 到左焦点 F1 的距离为 2,离心率 e= .

23.已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

(2)若点 A 为椭圆 C 的右頂点,过点 A 作互相垂直的两条射线,与椭圆 C 分別交于不同

的两点 M,N(M,N 不与左、右顶点重合) ,试判断直线 MN 是否过定点,若过定点,求 出该定点的坐标; 若不过定点,请说明理由.

2016-2017 学年福建师大附中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.抛物线 y= x2 的焦点到准线距离为( A.1 B.2 ) C. D.

【考点】抛物线的简单性质.
2 【分析】由抛物线的标准方程:x =2y,2p=2,p=1,则焦点坐标(0, ) ,准线方程:y=

﹣ ,焦点到准线距离 d= ﹣(﹣ )=1.
2 【解答】解:由抛物线的标准方程:x =2y,可知焦点在 y 轴上,2p=2,p=1,

则焦点坐标(0, ) ,准线方程:y=﹣ , ∴焦点到准线距离 d= ﹣(﹣ )=1, 故选 A.

2. 已知 的( )

, 则双曲线 C1:

与 C2:

A.实轴长相等

B.虚轴长相等

C.离心率相等

D.焦距相等

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】通过双曲线的方程求出双曲线的实半轴的长,虚半轴的长,焦距即可得到结论. 【解答】解:双曲线 C1: =2; 双曲线 C2: 所以两条双曲线的焦距相等. 故选 D.
2 2 可知,a=cosθ,b=sinθ,2c=2(sin θ+cos θ)=2; 2 2 可知 a=sinθ,b=cosθ,2c=2(sin θ+cos θ)

3.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

=(



A.2

B.4

C.

D.

【考点】等比数列的前 n 项和. 【分析】根据等比数列的性质,借助公比 q 表示出 S4 和 a1 之间的关系,易得 a2 与 a1 间的关 系,然后二者相除进而求得答案. 【解答】解:由于 q=2, ∴

∴ 故选:C.



4.在平面内,已知双曲线 曲线 C 上的( A.充要条件 C.必要不充分条件 )

的焦点为 F1,F2,则|PF1|﹣|PF2|=6 是点 P 在双

B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;双曲线的定义. 【分析】双曲线 的焦点为 F1,F2,由|PF1|﹣|PF2|=6,知点 P 在双曲线 C 上;

由点 P 在双曲线 C 上,知|PF1|﹣|PF2|=6,或|PF1|﹣|PF2|=﹣6. 【解答】解:∵双曲线 ∴|PF1|﹣|PF2|=6? 点 P 在双曲线 C 上, 点 P 在双曲线 C 上? |PF1|﹣|PF2|=6,或|PF1|﹣|PF2|=﹣6. 所以|PF1|﹣|PF2|=6 是点 P 在双曲线 C 上的充分不必要条件. 故选 B. 的焦点为 F1,F2,

5.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,﹣1)的距离与点 P 到抛物线焦点距 离之和的最小值是( A. ) B. C .3 D.4

【考点】抛物线的简单性质.
2 【分析】由抛物线 y =4x 可得焦点 F(1,0) ,准线 l 方程为:x=﹣1.过点 Q 作 QM⊥准线

l 交抛物线于点 P,则此时点 P 到点 Q(2,﹣1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得 最小值.
2 【解答】解:由抛物线 y =4x 可得焦点 F(1,0) ,准线 l 方程为:x=﹣1.

过点 Q 作 QM⊥准线 l 交抛物线于点 P, 则此时点 P 到点 Q(2,﹣1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值=2﹣(﹣1) =3. 故选:C.

6.下列命题:
2 2 (1)“若 am ≥bm ,则 a≥b”的否命题;

(2)“全等三角形面积相等”的逆命题;
2 (3)“若 a>1,则关于 x 的不等式 ax ≥0 的解集为 R”的逆否命题;

其中正确命题的个数是( A.1

) B.2 C .3 D.4

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据四种命题的定义,写出对应的命题,可判断(1) (2) ,根据互为逆否的两个命 题真假性相同,可判断(3) .
2 2 2 2 【解答】解: (1)“若 am ≥bm ,则 a≥b”的否命题为“若 am <bm ,则 a<b”为真命题,故

(1)正确; (2)“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”为假命题,故(2)错误;
2 (3)“若 a>1,则关于 x 的不等式 ax ≥0 的解集为 R”为真命题,其逆否命题也为真命题,

故(3)正确; 故选:B.

7.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度 不超过 90° )时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是 ( )

A.

B



C



D.

【考点】函数的图象. 【分析】由图象可以看出,阴影部分的面积一开始增加得较慢,面积变化情况是先慢后快然 后再变慢,由此规律找出正确选项 【解答】解:观察可知阴影部分的面积 S 变化情况为“一直增加,先慢后快,过圆心后又变 慢”, 对应的函数的图象是变化率先变大再变小,由此知选项 D 符合要求, 故选 D.

8.设 F1、F2 是椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线 x=

上一点,△

F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为( A. B. C.

) D.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】利用△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,根据 P 为直线 x= 一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵△F2PF1 是底角为 30° 的等腰三角形, ∴|PF2|=|F2F1| ∵P 为直线 x= ∴ ∴ 故选 C. 上一点 上

9.已知双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)的离心率为 3.若抛物线 C2:x2=2py(p>0)

的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 ,则抛物线 C2 的方程为( A.x2=33y B.x2=33y C.x2=8y

) D.x2=16y

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由题意可知:双曲线渐近线为 bx±ay=0,e= =3,则 c=3a,焦点(0, ) ,到 bx

±ay=0 的距离 d=

=

= ,求得 p,即可求得抛物线 C2 的方程.

【解答】解:由题意可得双曲线 C1:



=1(a>0,b>0)渐近线为 y=± x,

化为一般式可得 bx±ay=0,离心率 e= = 解得:b=2 a,c=3a,

=3,

2 又抛物线 C2:x =2py(p>0)的焦点为(0, ) ,

故焦点到 bx±ay=0 的距离 d=

=

= ,

∴p=

=

=4,

2 ∴抛物线 C2 的方程为:x =8y

故选 C.

10.已知双曲线 E 的中心为原点,P(3,0)是 E 的焦点,过 P 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(﹣12,﹣15) ,则 E 的方程式为( A. B. C. ) D.

【考点】双曲线的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】已知条件易得直线 l 的斜率为 1,设双曲线方程,及 A,B 点坐标代入方程联立相 减得 x1+x2=﹣24,根据 进而可得答案. 【解答】解:由已知条件易得直线 l 的斜率为 k=kPN=1, 设双曲线方程为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , , = ,可求得 a 和 b 的关系,再根据 c=3,求得 a 和 b,

则有



两式相减并结合 x1+x2=﹣24,y1+y2=﹣30 得 = ,

从而=

=1

2 2 即 4b =5a , 2 2 又 a +b =9, 2 2 解得 a =4,b =5,

故选 B.

11.已知 F 为双曲线

的左焦点,P,Q 为 C 右支上的点,若 PQ 的长等于虚 ) D.48

轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PFQ 的周长为( A.28 B.36 C.44

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据题意画出双曲线图象,然后根据双曲线的定义 “到两定点的距离之差为定值 2a“解决.求出周长即可. 【解答】解:∵双曲线 C: ∴点 A(5,0)是双曲线的右焦点, 则 b=4,即虚轴长为 2b=8; 双曲线图象如图: ∵|PF|﹣|AP|=2a=6 |QF|﹣|QA|=2a=6 ② 而|PQ|=16, ∴①+②得:|PF|+|QF|﹣|PQ|=12, ∴周长为 l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44, 故选:C. ① 的左焦点 F(﹣5,0) ,

12.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A、B 分别是 C1、C2 在第 )

二、四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是(

A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设|AF1|=x,|AF2|=y,利用椭圆的定义,四边形 AF1BF2 为矩形,可求出 x,y 的值, 进而可得双曲线的几何量,即可求出双曲线的离心率. 【解答】解:设|AF1|=x,|AF2|=y, ∵点 A 为椭圆 C1: ∴2a=4,b=1,c= ; +y2=1 上的点,

∴|AF1|+|AF2|=2a=4,即 x+y=4;① 又四边形 AF1BF2 为矩形, ∴
2 2 2 即 x +y =(2c) =12,②



由①②得 x=2﹣

,y=2+



设双曲线 C2 的实轴长为 2a′,焦距为 2c′,

则 2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2 ∴C2 的离心率是 e= 故选:D. =

,2c′=2 ,



二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 13.命题“? x0∈R,使得 x02+2x0+5>0”的否定是 ? x∈R,都有 x2+2x+5≤0 . 【考点】命题的否定. 【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.
2 【解答】解:命题是特此命题,则命题的否定是:? x∈R,都有 x +2x+5≤0, 2 故答案为:? x∈R,都有 x +2x+5≤0

2 14. =2t3﹣ gt2 某质点的位移函数是 s (t) (g=10m/s ) , 则当 t=3s 时, 它的速度是 24m/s .

【考点】导数的几何意义. 【分析】根据导数在物理学上的意义,位移的导数是速度,速度的导数是加速度,求导后求 出 t=3s 秒时的速度.
3 2 3 2 3 2 【解答】解:∵路程函数 s(t)=2t ﹣ gt =2t ﹣ ×10t =2t ﹣5t , 2 ∴速度函数为 v(t)=s′(t)=6t ﹣10t,

∴v(3)=s′(3)=54﹣30=24 故答案为:24m/s

15.如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.水位下降 1 米后, 水面宽为 2 米.

【考点】抛物线的应用. 【分析】先建立直角坐标系,将 A 点代入抛物线方程求得 m,得到抛物线方程,再把 y=﹣ 3 代入抛物线方程求得 x0 进而得到答案.
2 【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为 x =my, 2 将 A(2,﹣2)代入 x =my,

得 m=﹣2
2 ∴x =﹣2y,代入 B(x0,﹣3)得 x0=



故水面宽为 2 故答案为:2

m. .

16.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点,若 =4 ,则 QF 等于 3 .

【考点】抛物线的简单性质.
2 【分析】求得直线 PF 的方程,与 y =8x 联立可得 x=1,利用|QF|=d 可求.

【解答】解:设 Q 到 l 的距离为 d,则|QF|=d, ∵ =4 ,

∴|PQ|=3d, ∴不妨设直线 PF 的斜率为﹣ ∵F(2,0) , ∴直线 PF 的方程为 y=﹣2
2 与 y =8x 联立可得 x=1,

=2



(x﹣2) ,

∴|QF|=d=1+2=3, 故答案为:3.

17.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O、所成的角为 60° 的直线 A1B1 和A B2,使|A1B1|=|A B2|,其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点, .

则该双曲线的离心率的取值范围是 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】先设出双曲线的方程,并根据题意画出图象,根据对称性和条件判断出双曲线的渐 近线斜率的范围,列出不等式并转化为关于离心率的不等式,再求解即可. 【解答】解:不妨设双曲线的方程是 =1(a>0,b>0) ,

由|A1B1|=|A2B2|及双曲线的对称性知 A1,A2,B1,B2 关于 x 轴对称,如图, 又∵满足条件的直线只有一对, 当直线与 x 轴夹角为 30° 时,双曲线的渐近线与 x 轴夹角大于 30° , 双曲线与直线才能有交点 A1,A2,B1,B2, 若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 30° ,则无交点, 且不可能存在|A1B1|=|A2B2|, 当直线与 x 轴夹角为 60° 时,双曲线渐近线与 x 轴夹角小于 60° , 双曲线与直线有一对交点 A1,A2,B1,B2, 若双曲线的渐近线与 x 轴夹角等于 60° ,也满足题中有一对直线, 但是如果大于 60° ,则有两对直线.不符合题意, ∴tan30° < ≤tan60° ,则 ,

2 2 2 ∵b =c ﹣a ,∴



解得 e∈ 故答案为

. .

18.△ABC 的顶点 A(﹣5,0) ,B(5,0) ,△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是 ﹣ =1(x>3) .

【考点】轨迹方程. 【分析】根据图可得:|CA|﹣|CB|为定值,利用根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦 点,实轴长为 6 的双曲线的右支,从而写出其方程即得. 【解答】解:如图,△ABC 与圆的切点分别为 E、F、G, 则有|AE|=|AG|=8,|BF|=|BG|=2,|CE|=|CF|, 所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6. B 为焦点, 根据双曲线定义, 所求轨迹是以 A、 实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 =1(x>3) . 故答案为: ﹣ =1(x>3) . ﹣

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 60 分) 19.已知曲线 .

(1)求曲线过点 P(2,4)的切线方程; (2)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)设切点为(m,n) ,求出导数,求得切线的斜率,切线的方程,代入点 P 坐标, 解方程可得切点的横坐标,进而得到切线的方程; (2)设出切点,可得切线的斜率,求得切点的横坐标,由点斜式方程即可得到所求切线的 方程. 【解答】解: (1)设切点为(m,n) , 函数 的导数为 y′=x ,
2 2

可得切线的斜率为 k=m , 切线的方程为 y﹣n=m (x﹣m) ,
3 2 即为 y﹣ m ﹣ =m (x﹣m) , 2

3 2 代入点 P,可得 4﹣ m ﹣ =m (2﹣m) , 3 2 化简为 m ﹣3m +4=0,解得 m=﹣1 或 2,

即有切线的斜率为 1 或 4, 可得切线的方程为 y=4x﹣4 或 y=x+2: (2)设切点为(x0,y0) ,
2 可得切线的斜率为 k=x0 =1,

解得 x0=±1,切点为(1, ) , (﹣1,1) ,

所求切线的方程为 y﹣ =x﹣1 或 y﹣1=x+1, 即有 3x﹣3y+2=0 或 x﹣y+2=0.

20.已知命题 p:方程

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:双曲线

=1

的离心率 e∈(

) .若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,求实数 m 的取值范围.

【考点】椭圆的简单性质;复合命题的真假;双曲线的简单性质. 【分析】由 p 真与 q 真分别求得 m 的范围,利用复合命题的真假判断即可求得符合题意的 实数 m 的取值范围. 【解答】解:p 真,则有 9﹣m>2m>0,即 0<m<3…2 分 q 真,则有 m>0,且 e2=1+ =1+ ∈( ,2) ,

即 <m<5…4 分 若 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,则 p、q 一真一假. ①若 p 真、q 假,则 0<m<3,且 m≥5 或 m≤ ,即 0<m≤ ;…6 分 ②若 p 假、q 真,则 m≥3 或 m≤0,且 <m<5,即 3≤m<5…8 分 故实数 m 的取值范围为 0<m≤ 或 3≤m<5…10 分

21.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)解出方程的根,根据数列是递增的求出 a2,a4 的值,从而解出通项; (2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和.
2 【解答】解: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的根为 2,3.又{an}是递增的等差数列,

故 a2=2,a4=3,可得 2d=1,d= ,

故 an=2+(n﹣2)× = n+1,

(2)设数列{

}的前 n 项和为 Sn,

Sn=

,①

Sn=

,②









Sn=

=



解得 Sn=

=2﹣



22.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 两个不同的交点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围;

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆



y 轴正半轴的交点分别为 A, B, (Ⅱ) 设椭圆与 x 轴正半轴、 是否存在常数 k, 使得向量 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

【考点】向量的共线定理;平面的概念、画法及表示. 【分析】 (1)直线 l 与椭圆有两个不同的交点,即方程组有 2 个不同解,转化为判别式大于 0. (2)利用 2 个向量共线时,坐标之间的关系,由一元二次方程根与系数的关系求两根之和, 解方程求常数 k. 【解答】解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 代入椭圆方程得 整理得 . ① ,

直 线 l 与 椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点 P 和 Q , 等 价 于 ① 的 判 别 式 △

= 解得 或

, .即 k 的取值范围为 .

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则



由方程①,

. ②

又 而 所以 与 共线等价于

. ③ . , . ,

将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知 或

故没有符合题意的常数 k.

23.已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程;

=1(a>b>0)的顶点 B 到左焦点 F1 的距离为 2,离心率 e=



(2)若点 A 为椭圆 C 的右頂点,过点 A 作互相垂直的两条射线,与椭圆 C 分別交于不同 的两点 M,N(M,N 不与左、右顶点重合) ,试判断直线 MN 是否过定点,若过定点,求 出该定点的坐标; 若不过定点,请说明理由.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由已知列出关于 a,b,c 的方程组,求解方程组得到 a,b 的值,则椭圆方程 可求;

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,当直线 MN 的斜率不存在时,△MNA 为等腰直角三角 形,求出 M 的坐标,可得直线 MN 过点 ;
2

当直线的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y=kx+m,联立直线方程和椭圆方程,得(1+k ) x2+8kmx+4m2﹣4=0,由判别式大于 0 可得 4k2﹣m2+1>0,再由 AM⊥AN,且椭圆的右顶点 A 为(2,0) ,由向量数量积为 0 解得 m=﹣2k 或 得答案. ,然后分类求得直线 MN 的方程

【解答】解: (1)由题意可知:



解得: 故椭圆的标准方程为

, ;

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 当直线 MN 的斜率不存在时,MN⊥x 轴, △MNA 为等腰直角三角形, ∴|y1|=|2﹣x1|, 又 ,M,N 不与左、右顶点重合,解得 ,此时,直线 MN 过点 ;

当直线的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y=kx+m,

由方程组

2 2 2 ,得(1+k )x +8kmx+4m ﹣4=0,

2 2 2 2 2 △=(8km) ﹣4(1+k ) (4m ﹣4)>0,整理得 4k ﹣m +1>0,

. 由已知 AM⊥AN,且椭圆的右顶点 A 为(2,0) , ∴






2 2 整理得 5m +16km+12k =0,解得 m=﹣2k 或


2 2 ,均满足△=4k ﹣m +1>0 成立.

当 m=﹣2k 时,直线 l 的方程 y=kx﹣2k 过顶点(2,0) ,与题意矛盾舍去. 当 时,直线 l 的方程 . ,过定点 ,

故直线过定点,且定点是

2017 年 2 月 21 日



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