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数学理卷·2017届湖北省黄冈市高三3月质量检测(2017.03)

黄冈市 2017 年三月高三年级调研考试(理科数学)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的。)

1、已知集合 A ? {x | log2 x ? 4},集合 B ? {x || x |? 2} ,则 A B ? ( )

A. (0, 2]

B.[0, 2]

C.[?2, 2]

D. (?2, 2)

2、设复数

z1,

z2

在复平面内的对应点关于虚轴对称,若

z1

?

1?

2i

,i

是虚数单位,则

z2 z1

的虚部为( )

A. ? 4 5
3、下列四个结论:

B. 4 5

C. ? 3 5

D. 3 5

①若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立;

②命题“若 x ? sin x ? 0,则 x ? 0 ”的逆否命题为“若 x ? 0 ,则 x ? sin x ? 0”; ③“命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件;

④命题“ ?x ? R , x ? ln x ? 0”的否定是“ ?x0 ? R , x0 ? ln x0 ? 0 ”.
其中正确结论的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、?孙子算经?中有道算术题: “今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽, 问城中家几何?”意思是有 100 头鹿,每户分 1 头还有剩余;每 3 户再分 1 头,正好分 完,问共有多少户人家?设计框图如下,则输出的值是( )

5、已知双曲线

x2

?

y2 3

? 1 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,双曲

线的离心率为 e ,若双曲线上一点 P 使 sin ?PF2F1 ? e ,则 sin ?PF1F2

F2P ? F2F1 的值为( )

A. 3

B. 2

C. ?3

D. ? 2

6.已知 2sin? ? 1? cos? ,则 tan? ? ( )

A. ? 4 或 0

B. 4 或 0

C. ? 4

D. 4

3

3

3

3

第 1 页 共 11 页

7、某一简单几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是( ).

A. 13π

B. 16π

C. 25π

D. 27π

8、函数 y ? x 2 ln x 2 的图象大致是( ) |x|

9、已知事件“在矩形 ABCD的边 CD 上随机取一点 P ,使 ?APB 的最大边是 AB ”发

生的概率为 3 ,则 AD ? ( ) 5 AB

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5

5

5

5

10.





(1 ? 2x)2

?

a0

?

a1 (x

? 1)

?

a2 (x

? 1)2

???

a

0 2

(x ?1)2

? a2

(x ?1)2

(

x

?

R)



1 0

则 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 4a4 ? ? ? 2016 a2016 ? 2017 a2017 ? ( )

A.2017

B.4034

C.-4034

D.0

10.已知平面向量 , , c 满足| |=| |=1, ⊥( ﹣2 ), (c ? 2a) ? (c ? b) ? 0 ,则| c |
所有最值的和为( )

A.0 B. 3 C.

D. 7

11 .如图,矩形 ABCD 中, AB ? 2AD ? 4 , E 为边 AB 的中点,将 ?ADE 沿直线 DE 翻

转成 ?A1DE ,构成四棱锥 A1-BCDE,若 M 为线段 A1C 的中点,在翻转过程中有如下 4 个命

题:① MB ∥平面 A1DE ;②存在某个位置,使 DE ? A1C ;③存在某个位置,使 A1D ? CE ;

④点 A1 在半径为 2 的圆面上运动,其中正确的命题个数是( )

A.1 个

B.2 个

C. 3 个

D.4 个

0 0

第 2 页 共 11 页

A1

M

D

C

A

E

B

12.

已知函数

f (x)

? 1? | x ?1| (x ? 2) ? ??ex?2 (?x2 ? 8x ?12)(x

,如在区间(1,+∞)上存在 n(n≥2)
? 2)

个不同的数 x1,x2,x3,…,xn,使得比值

=

=…=

成立,则 n 的取值

集合是( ) A.{2,3,4,5} B.{2,3} C.{2,3,5} D.{2,3,4}
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题—21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,
第 22 题—23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上)

? x?0

14.当实数

x

,

y

满足不等式组:

? ?

y?0

时,恒有 ax ? y ? 3 成立,则实数 a 的取值

??2x ? y ? 2

范围是________.

15. 如 图 , 在 ?ABC 中 , cos 1 ?ABC ? 6 , AB ? 2 , 点 D 在 线 段 AC 上 , 且

2

3

AD ? 2DC, BD ? 4 3 ,则 cosC ?

.则三角形 ABC 的面积为



3

16. 已知{an}为等差数列,公差为 d,且 0<d<1,a5≠ (k∈Z),sin2a3+2sina5?cosa5=sin2a7,

函数 f (x) ? d sin(wx ? 4d)(w ? 0) 满足:在 x ? (0, 3? ) 上单调且存在 4

x0

? (0, 3? 4

),

f

(x) ?

f

(2x0

?

x)

?

0 ,则 w

范围是

16.设 a ? 0 , (x2 ? 2017 a)( x ? 2016 b) ? 0 在 ?a,b?上恒成立,则 b ? a 的最大值为

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)

第 3 页 共 11 页

17.

(本小题满分 12 分)数列{an}中, a1

?

2 , an?1

?

n ?1 2n

an



n

?

N

*

).

(1)证明数列

{

an n

}

是等比数列,并求数列{an

}

的通项公式;

(2)设 bn

?

an2 16n2 ? an2

,若数列{bn}的前 n 项和是Tn

,求证: Tn

?

1 2

.

18. (本小题满分 12 分)

在如图所示的几何体中,平面 ADNM ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是 矩形, ?DAB ? ? , AB ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点.
3
(1)求证:平面 DEM⊥平面 ABM;
(2)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 ? ?若存在,求出 AP 4
的长;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 12 分)已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染,需要通过对其化验病毒 DNA
来确定是否感染。下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定感染为止.方
案乙:将 6 只分为两组,每组三个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒 DNA ,则表 明感染在这三只当中,然后逐个化验,直到确定感染为止;若结果不含病毒 DNA ,则
在另外一组中逐个进行化验. (1)求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率.
(2)首次化验化验费为10 元,第二次化验化验费为 8 元,第三次及其以后每次化验费 都是 6 元,列出方案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要化验费多少
元?
20.如图,圆 C 与 x 轴相切于点T ?2,0? ,与 y 轴正半轴相交于两点 M ,N (点 M 在点 N
的下方),且 MN ? 3.
(1)求圆 C 的方程;
(2)过点 M 任作一条直线与椭圆 x2 ? y2 ? 1相交于两点 A 、 84
B ,连接 AN 、 BN ,求证: ?ANM ? ?BNM .
第 4 页 共 11 页

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 G :x 2 ? 2 py( p ? 0) ,直线 y=k(x-1)+2 与抛物线 G

相交 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,过 A,B 点分别作抛物线 G 的切线 L1,L2,两切线 L1,L2 相
交 H(x,y),
(Ⅰ)若 k=1,有 L1⊥L2 ,求抛物线 G 的方程; (Ⅱ)若 p=2,Δ ABH 的面积为 S1, 直线 AB 与抛物线 G 围成封闭图形的面积为 S2,证明:
S1 为定值; S2
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x? ? x ln x ? a x2 ?a ? R? .
2 (1)若 x>0,恒有 f (x) ? x 成立,求实数 a 的取值范围;
(2)若 a ? 0 ,求 f (x) 在区间 ?t, t ? 2(? t ? 0)上的最小值;

(3)若函数 g ? x? ?

f

?

x

?

?

x

有两个极值点

x1

,

x2

,求证:

1 ln x1

?

1 ln x2

?

2ae .

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐

标方程为 ? cos2 ?

? 4sin?

?

0,P

点的极坐标为

? ??

3,

? 2

? ??

,在平面直角坐标系中,直线 l



过点 P ,斜率为 3

(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 1 ? 1 的值.
PA PB 23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x? ? 2x ? a ? 2x ?1 ?a ?R? .

(1)当 a ? ?1时,求 f ? x? ? 2 的解集;

(2)若

f

?x?

?

2x ?1

的解集包含集合

?1 ?? 2

,1???

,求实数 a

的取值范围.

第 5 页 共 11 页

黄冈市 2017 年三月高三年级调研考试
数学(理科)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A C B C A B D C C C B

13、 2 14、 ?? ?,3? 15. 2 2 16. 2017.

17.【解析】(Ⅰ)由题设 an?1 ? 1 ? an ,数列 {an } 是首项为 2 ,公比 q ? 1 的等比数

n?1 2 n

n

2

列 ………………4 分

所以 an n

? 2? (1)n?1 2

? 22?n , an

? n ? 22?n

?

4n 2n

……………6 分

4n

(Ⅱ)

bn

?

an 4n ?

an

? 2n

4n

?

4n 2n

?

1 2n ?1

,注意对任意

n

?

N*



2n

?1?

2n?1

所以 bn

?

1 2n?1

……………………………8 分

所以 Tn

?1?

1 2

?

1 22

?

1 23

?

?

1 2n?1

?

2(1 ?

1 2n

)

?

2

…………12 分

18.【解析】(Ⅰ)连结 BD,由四边形 ABCD 是菱形, ?DAB ? ? , E 是 AB 的中点. 所以 3
DE⊥AB, …………………………2 分
因为四边形 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD 且交线为 AD
所以 MA ? 平面 ABCD ,又 DE ? 平面 ABCD ,所以 DE⊥AM………………………4 分

又 AM∩AB=A,所以 DE⊥平面 ABM;又 DE ? 平面 DEM,所以平面 DEM⊥平面

ABM;……………………6 分

(Ⅱ)方法 1:由 DE⊥AB,AB//CD,故 DE⊥CD,因为四边形 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥ 平面 ABCD 且交线为 AD,ND⊥AD,所以 ND⊥平面 ABCD ;以 D 为原点,DE 为 X 轴建立 如图所示的坐标系,则 D(0,0,0),E( 3 ,0,0),C(0,2,0),N(0,0,1),设 P
( 3 ,-1,m)( 0 ? m ? 1)

EC ? (? 3,2,0) , EP ? (0,?1,m) ,ND⊥平面 ABCD ,平面 ECD 的法向量为

DN ? (0,0,1) ,。。。。8 分

设平面

PEC

的法向量为,n

?

(x,

y,

z)

,n

?

EC

?

n

?

EP

?

0 ,即

?? ?

3x ? 2 y ? 0 ,取 z=1,

? ? y ? mz ? 0

n ? ( 2m , m,1) ,。。。。。。10 分 3

第 6 页 共 11 页

假设在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 ? .则 4

cos? ?| n ? DN |? 4 | n | ? | DN |

1

?m?

4m2 ? m2 ?1

3

21 所以点 P 在线段 AM 上,符合题意 7

的点 P 存在,此时 AP ? 21 . 7

…………………………12 分

Z

N

M

D

P

C Y

A

B

E

X

(Ⅱ) 方法 2:如图所示,假设在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 ? . 4
延长 DA,CE 交于点 Q, 则 AQ ? 2 ,过 A 作 AH ? EQ 于 H ,连结 PH .

因为四边形 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD ,

所以 MA ? 平面 ABCD ,又 EQ 在平面 ABCD 内,所以 MA ? EQ .又 MA AH ? A ,

所以 PH ? EQ , ?PHA 是二面角 P ? EC ? D 的平面

角, ……………………………………8 分

由题意 ?PHA ? ? ,在 QAE 中, AE ? 1, AQ ? 2 , 4

?QAE ? 2? ? QE2 ? 12 ? 22 ? 2?1? 2 cos 2? ? 7 ? QE ? 7 .

3

3

由面积公式可得 S

QAE

?

1 QE ? 2

AH

?

1 ?1? 2sin 2

2? 3

,所以

AH

?

3? 7

21 .。。。。。。10 7



在 Rt PAH 中, ?PHA ? ? , PA ? AH ? 21 ? 1 ? AM ,

4

7

所以点 P 在线段 AM 上,符合题意的点 P 存在,此时

AP ? 21 . 7

…………………………12 分

第 7 页 共 11 页

19、【答案】(1) 1 ;(2)分布列见解析, 77 ;试题解析:(1)方案乙所需化验恰好为

3

3

2 次的事件有两种情况:第一种,先化验一组,结果不含病毒 DNA ,再从另一组中任取

一个样品进行化验,则恰含有病毒的概率为 C53 C63

?

1 C31

?

1 6

,第二种,先化验一组,结果含

病毒 DNA ,再从中逐个化验,恰第一个样品含有病毒的概率为 C52 ? 1 ? 1 . C63 C31 6
所以依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率为 1 ? 1 ? 1 ……………5 分 66 3
(2)设方案甲化验的次数为? ,则? 可能的取值为1, 2,3, 4,5 ,对应的化验费用为? 元,



P?? ? 1? ? P?? ? 10? ? 1 , P ?? ? 2? ? P ?? ? 18? ? 5 ? 1 ? 1 ,

6

65 6

P ?? ? 3? ? P ?? ? 24? ? 5 ? 4 ? 1 ? 1 , P ?? ? 4? ? P ?? ? 30? ? 5 ? 4 ? 3 ? 1 ? 1 ,

654 6

6543 6

P ?? ? 5? ? P ?? ? 36? ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ………………9 分
6543 3

则其化验费用? 的分布列为

?

10

18

24

30

36

1

1

1

1

1

P

6

6

6

6

3

所以 E ?? ? ? 10? 1 ?18? 1 ? 24? 1 ? 30? 1 ? 36? 1 ? 77 (元).

6

6

6

6

33

所以甲方案平均需要化验费 77 元………12 分 3

考点:1、离散型随机变量及其分布列;2、离散型随机变量的期望与方差.

20.(Ⅰ)设圆 C 的半径为 r ?r>0? , 依题意,圆心坐标为 ?2, r ? .

第 8 页 共 11 页

MN

? 3?r2

?

? ??

3 2

2
? ? ?

? 22 ,解得 r2

?

25 . 4

?圆C

的方程为 ? x

?

2?2

?

? ??

y

?

5 2

2
? ??

?

25 4

.(4

分)

(Ⅱ)把

x

?

0

代入方程 ? x

?

2?2

?

? ??

y

?

5 2

2
? ??

?

25 4

,解得

y

?1或

y

?

4



即点 M ?0,1?, N ?0,4? .

(1)当 AB ? x 轴时,可知 ?ANM ? ?BNM ? 0 .(5 分) (2)当 AB 与 x 轴不垂直时,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 .

? ? 联立方程

? ? ?

y ? kx ?1 x2 ? 2y2 ?

8

,消去

y

得,

1? 2k2

x2 ? 4kx ? 6 ? 0 .

? ? ? ? 设 直 线 AB 交 椭 圆 ? 于 A x1, y1

、 B x2, y2

两点,则

x1

?

x2

?

?4k 1? 2k 2



x1x2

?

?6 1? 2k 2

.(7

分)

? kAN

? kBN

?

y1 ? 4 x1

?

y2 ? 4 x2

?

kx1 ? 3 x1

?

kx2 ? 3 x2

?

2kx1x2

? 3? x1
x1x2

?

x2 ?

若 kAN ? kBN ? 0 ,即 ?ANM ? ?BNM (9 分)

2kx1x2

? 3? x1 ? x2 ?

?

?12k 1? 2k 2

?

?12k 1? 2k 2

?

0 ,??ANM

? ?BNM

.(12 分)

21. (1)由 x>0,恒有 f (x) ? x 成立,即 ln x ? a x ? 1, ln x ?1 ? a 对任意 x>0 成

2

x2

立,………1 分

记 H(x)= ln x ?1 , H/(x)= 2 ? ln x ,………………2 分

x

x2

当 x ? (0, e2 ), H / (x) ? 0, H(x)单增;当 x ? (e2 ,??), H / (x) ? 0, H(x)单减;H(x)最大

值为 H (e2 ) ? 1 , e2

所以 a ? 1 , a ? 2 ……………5 分

2 e2

e2

(2)函数 g ? x? ? f ? x? ? x 有两个相异的极值点 x1, x2 ,即 g?? x? ? ln x ? ax ? 0 有两个

不同的实数根.

①当 a ? 0 时, g?? x? 单调递增, g?? x? ? 0 不可能有两个不同的实根;……………6 分

第 9 页 共 11 页

②当 a ? 0 时,设 h? x? ? ln x ? ax, h?? x? ? 1? ax ,
x
当 0 ? x ? 1 时, h?? x? ? 0 , h ? x? 单调递增;
a
当 x ? 1 时, h?? x? ? 0 , h? x? 单调递减;
a



h

? ??

1 a

? ??

?

?

ln

a

?

1

?

0

,∴

0

?

a

?

1 e

,……………8



不妨设 x2 ? x1 ? 0 ,∵ g?? x1? ? g?? x2 ? ? 0 ,

∴ ln x2 ? ax2 ? 0,ln x1 ? ax1 ? 0,ln x2 ? ln x1 ? a? x2 ? x1 ?

先证 1 ln x1

?

1 ln x2

? 2 ,即证 ln x2 x2

? ln x1 ? x1

?

x2 ? x1 2 x1 x2

,即证 ln

x2 x1

?

x22 ? x12 2x1x2

?

1?

2

? ?

x2 x1

?

x1 x2

? ?



?

令t

?

x2 x1

? 1 ,即证 ln t

?

1 2

? ??

t

?

1 t

? ??

,设

?

?t

?

?

ln

t

?

1 2

? ??

t

?

1 t

? ??

,…………9



则???t?

?

2t

?t2 2t 2

?1

?

??t ?1?2
2t 2

?

0

,函数? ?t? 在 ?1, ??? 单调递减,∴? ?t?

? ? ?1?

?

0,

∴ 1 ? 1 ? 2 ,又 0 ? a ? 1 ,∴ ae ?1,

ln x1 ln x2

e

∴ 1 ? 1 ? 2ae

ln x1 ln x2

……………12 分

考点:导数的几何意义,导数与函数的单调性、最值,导数的综合应用.

22. 解:(Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x2 ? 4 y ,…………2 分

P

点的极坐标为:

P

? ??

3,

? 2

? ??

,化为直角坐标为

P

?

0,

3?

……………3



直线

l

的参数方程为

?
?? ?
? ??

x y

? ?

t cos 3?t

?, 3 sin

? 3

,

,即

? ?? ? ? ??

x y

? ?

1 2
3

t, ?

3 t, 2

( t 为参数)……………5 分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 1 t2 ? 12 ? 2 3t , 4

整理得: t2 ? 8 3t ? 48 ? 0 ,

显然有 ? ? 0 ,则 t1 ? t2 ? ?48,t1 ? t2 ? 8 3 ,………………8 分
第 10 页 共 11 页

PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ?t2 ? 48, PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? ?t1 ? t2 ?2 ? 4t1t2 ? 8 6

,所以 1

?

1

PA ? PB

?

?

6 ………………10 分

PA PB PA ? PB 6

23.(1)当 a ? ?1时, f ? x? ? 2x ?1 ? 2x ?1 , f ? x? ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 1,上述不等

2

2

式化为数轴上点

x

到两点-21

,12

距离之和小于等于

1,

则?1 2

?

x

?

1 2



即原不等式的解集为

? ??

?

1 2

,

1 2

? ??

……………5 分

(2)

f

?x?

?

2x ?1

的解集包含

?1 ?? 2

,1??? ,?当

x

?

? ??

1 2

,1???

时,不等式

f

?x?

?

2x ?1

恒成立,

即在

x

?

?1 ?? 2

,1???

上恒成立,?

2x

?

a

?

2x

?1?

2x

?1,



2x ?a

?

2,?2x ? 2 ?

a

?

2x ? 2在

x?

?1 ?? 2

,1???

上恒成立,

??2x ? 2? ? a ? ?2x ? 2? ,?0 ? a ? 3……………10 分

max

min

命题人:黄梅一中 易华明 审题人:黄州区一中 张彦
黄冈中学 袁晓幼

聂勇

第 11 页 共 11 页



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