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2014年普通高等学校统一考试文科数学(新课标2卷)

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 (1)设集合 A ? {?2,0, 2}, B ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0},则 A A. ? B.

?2?

B ?(



C. {0}

D. {?2}

1 ? 3i ) ?( 1? i A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 1 ? 2i D. ?1 ? 2i (3)函数 f ( x) 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f ( x0 ) ? 0 ; q : x ? x0 是 f ( x) 的极值点,则
(2) A. p 是 q 的充分必要条件 B. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D. p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 (4)设向量 a , b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

? ?

?

?

?

?

? ? 6 ,则 a ? b ? (

) )

(5)等差数列 {an } 的公差是 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 S n ? ( A. n(n ? 1) B. n(n ? 1) C.

n(n ? 1) 2

D.

n(n ? 1) 2

(6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零 件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到, 则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为( A. )

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3
开始

(7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2 ,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中 点,则三棱锥 A ? B1 DC1 的体积为 (A) 3 (C) 1

输入x, t
M ? 1, S ? 3

3 2 3 (D) 2
(B) (B) 5 (D) 7
M ?

k ?1

k ? t?


输出S
结束

(8)执行右面的程序框图,如果输入的 x , t 均为 2 ,则输出的 S ? (A) 4 (C) 6

M x k

S ? M ?S
k ? k ?1

? x ? y ? 1 ? 0, ? (9)设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?
(A) 8 (B) 7
2

(C) 2

(D)1

(10)设 F 为抛物线 C : y +3 x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A , B 两点,则

AB ?

(A)

(11)若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是 (A) ? ??, ?2? 值范围是 (A)? ?1, ?1? (B)? ? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ? (12)设点 M ? x0 ,1? ,若在圆 O : x 2 +y 2 ? 1 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 x0 的取

30 3

(B) 6

(C) 12

(D) 7 3

? 1 1? , ? 2 2? ?

(C)? ? 2, 2 ?

?

?

(D)? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)甲,乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们 选择相同颜色运动服的概率为_______. (14) 函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为________. (15) 偶函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则 f (?1) =________. (16) 数列 {an } 满足 an ?1 ? 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 . (1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积.

1 , a8 ? 2 ,则 a1 ? ________. 1 ? an

(18) (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ?

ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的重点. (1)证明: PB //平面 AEC ;
(2)设

P E A

AP ? 1, AD ? 3 , 三 棱 锥 P ? ABD 的 体 积
D

V?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4
B

C

(19)(本小题满分 12 分) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对这两部 门的评分(评分越高表明市民的评价越高) ,绘制茎叶图如下:

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评优. (20)(本小题满分 12 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点, M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂 a 2 b2 直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N . 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 MN ? 5 F1 N ,求 a, b .
设 F1 , F2 分别是椭圆 (21)(本小题满分 12 分) 已知函数 标为 ?2 . (1)求 a ; (2)证明:当 k

f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, 2 ? 处的切线与 x 轴交点的横坐

? 1 时,曲线 y ? f ? x ? 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如多做,则按所做的第一题记分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相交于 B, C , PC ? 2PA,D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 (1) BE ? EC ; (2) AD ? DE ? 2 PB 2

O 于点 E .证明:

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点为极点, 学科网 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , ? ? [0, (1)求 C 得参数方程; (2)设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标.

?
2

].

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

1 | ? | x ? a | (a ? 0) a (1)证明: f ( x) ? 2 ;
设函数 f ( x) ?| x ? (2)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围.

绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 II) 文科数学参考答案 一、选择题 (1)B (7)C 二、填空题 (13) 三、解答题 (17)解: (I)由题意及余弦定理,
BD 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2 BC ? CD cos C ? 13 ? 12 cos C BD ? AB ? DA ? 2 AB ? DA cos A ? 5 ? 4 cos C
2 2 2

(2)B (8)D

(3)C (9)B

(4)A (10)C

(5)A (11)D

(6)C (12)A

1 3

(14)1

(15)3

(16)

1 2

① ②

由①,②得 cos C ?

1 0 ,故 C ? 60 , BD ? 7 2
1 1 AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2

(II)四边形 ABCD 的面积 S ?

1 1 ? ( ? 1 ? 2 ? ? 3 ? 2 ) sin 60 0 ? 2 3 2 2
(18) 解: (I)设 BD 交 AC 于点 O,连结 EO。 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB P E D A B O C

又 EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC
所以 PB∥平面 AEC。 (II) V ? PA ? AB ? AD ? 由V ?
1 6 3 AB 6

H

3 3 ,可得 AB ? . 4 2 作 AH ? PB 交 PB 于 H 。
PA ? AB 3 13 ? PB 13

由题设知 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? AH 。故 AH ? 平面 PBC ,又
AH ?

所以 A 到平面 PBC 的距离为

3 13 13

(19) 解: (I)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在 25,26 位的是 75, 75,故样本中位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在 25 , 26 位的是 66 , 68 ,故样本中位数为

66 ? 68 ? 67 ,所以该市的市民对乙部门评分的中位数估计值是 67. 2
( II)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为

5 ? 0.1 , 50

8 ? 0.16 ,故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1 和 0.16。 50
(III)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且 由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差,说明该市 市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大。 考生利用其他统计量进行分析,结论合理的同样给分) (20) 解: (注:

b2 ),2b 2 ? 3ac a c 1 c 将 b 2 ? a 2 ? c 2 代入 2b 2 ? 3ac ,解得 ? , ? ?2 (舍去) a 2 a 1 故 C 的离心率为 。 2 (II)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点, MF2 ∥ y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是
(I)根据 c ?

a 2 ? b 2 及题设知 M (c,

b2 ? 4 即 b 2 ? 4a a 由 | MN |? 5 | F1 N | 得 | DF1 |? 2 | F1 N |
线段 MF1 的中点,故



3 ? ?2(?c ? x1 ) ? c ? x1 ? ? c 设 N ( x1 , y1 ) ,由题意 y1 ? 0 ,则 ? ,即 ? 2 ?? 2 y1 ? 2 ? y ? ? 1 ? 1 9 9c 1 ? 2 ?1 代入 C 的方程,得 ② 2 4a b 9( a 2 ? 4a ) 1 2 2 ? ?1 将①及 c ? a ? b 代入②得 4a 4a 2 2 解得 a ? 7, b ? 4a ? 28 故 a ? 7, b ? 2 7
(21) 解: (I) f ?( x ) ? 3 x ? 6 x ? a , f ?( 0 ) ? a
2

曲线方程 y ? f ( x ) 在点 ( 0 ,2 ) 处的切线方程为 y ? ax ? 2

2 ? ?2 ,所以 a ? 1 a 3 2 (II)由(I)知, f ( x ) ? x ? 3 x ? x ? 2 ,
由题设得

?

设 g ( x ) ? f ( x ) ? kx ? 2 ? x ? 3 x ? ( 1 ? k )x ? 4
3 2

由题设知 1 ? k ? 0 。 当 x ? 0 时, g ?( x ) ? 3 x ? 6 x ? 1 ? k ? 0 ,
2

g ( x ) 单调递增 g ( ?1 ) ? k ? 1 ? 0 , g ( 0 ) ? 4 ,所以 g ( x ) ? 0 在 ( ?? ,0 ] 有唯一实根。
3 2 当 x ? 0 时,令 h( x ) ? x ? 3 x ? 4 ,则 g ( x ) ? h( x ) ? ( 1 ? k )x ? h( x )

h ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3 x( x ? 2 ) ? 0 ,由于 x ? 0 ,所以 x ? 2

所以 h( x ) 在 ( 0 ,2 ) 单调递减, ( 2. ? ? ) 单调递增,所以 g ( x ) ? h( x ) ? h( 2 ) ? 0 , 所以 g ( x ) 在 ( 0. ? ? ) 没有实根。 综上, g ( x ) ? 0 在 R 上有唯一实根,即曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。 (22)解: (I)连结 AB,AC,由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA 因此 BE ? EC (II)由切割线定理得 PA2 ? PB ? PC , 因为 PA ? PD ? DC ,所以 DC ? 2 PB, BD ? PB 由相交弦定理得 AD ? DE ? BD ? DC 所以 AD ? DE ? 2 PB 2 (23)解: ∠PAD =∠BAD+∠PAB

A

∠DCA=∠PAB 所以∠DAC =∠BAD ,从而 BE ? EC

?O
P B

D

C
E

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) ? x ? 1 ? cos t 可得 C 的参数方程为 ? (t为参数, 0 ? t ? ?) ? y ? sin t
(I)C 的普通方程为 (II)设 D (1 ? cos t , sin t ) ,由(I)知 C 是以 G (1,0) 为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线方程与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同。

tant ? 3 , t ?
(24)解:

?
3

。故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

?

3 3 ? ) , sin ) ,即 ( , 2 2 3 3

(I)由 a ? 0 ,有 f ( x) ?| x ? 所以 f ( x) ? 2

1 1 1 | ? | x ? a |?| x ? ? ( x ? a ) |? a ? ? 2 a a a

1 | ? |3?a | a 5 ? 21 1 当 a ? 3 时, f (3) ? a ? ,由 f (3) ? 5 得 3 ? a ? 2 a 1? 5 1 当 0 ? a ? 3 时, f (3) ? 6 ? a ? ,由 f (3) ? 5 得 ?a?3 2 a 1 ? 5 5 ? 21 综上, a 的取值范围是 ( , )。 2 2
(II) f (3) ?| 3 ?



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