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高中数学选修2-2主要内容


第一章
1.1 变化率与导数

导数及其应用

问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, x2 ? x1

称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代 替 x2, 同 样

?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 )

)















f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x
在前面我们解决的问题: 1、求函数 f ( x) ? x 2 在点(2,4)处的切线斜率。

?y f (2 ? ?x) ? f ( x) ? ? 4 ? ?x ,故斜率为 4 ?x ?x
2、直线运动的汽车速度 V 与时间 t 的关系是 V ? t ? 1 ,求 t ? t o 时的瞬时速度。
2

?V v(t o ? ?t ) ? v(t o ) ? ? 2t o ? ?t ,故斜率为 4 ?t ?t
二、知识点讲解 上述两个函数 f ( x) 和 V (t ) 中,当 ?x ( ?t )无限趋近于 0 时, 一个常数。 归纳:一般的,定义在区间( a , b )上的函数 f ( x) , xo ? (a,b) ,当 ?x 无限趋近于 0 时,

?V ?V ( )都无限趋近于 ?t ?x

?y f ( xo ? ?x) ? f ( xo ) ? 无限趋近于一个固定的常数 A, 则称 f ( x) 在 x ? xo 处可导, ?x ?x

并称 A 为 f ( x) 在 x ? xo 处的导数,记作 f ' ( xo ) 或 f ' ( x) | x? xo , 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:
?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ?x ? 0 ?x ?x

' 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数,记作 f ' ( x0 ) 或 y |x? x0 ,即

f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

说明: (1)导数即为函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 (2) ?x ? x ? x0 ,当 ?x ? 0 时, x ? x0 ,所以 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x) ? f ( x0 ) x ? x0

当点 P 这个确定位置 n 沿着曲线无限接近点 P 即Δ x→0 时,割线 PP n 趋近于确定的位置, 的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线. 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

说明:求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ② 求出 函数 在点 x0 处 的 变化 率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k , 得到曲 线在 点 ?x

( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率;
③利用点斜式求切线方程. 由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ?( x0 ) 是一个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ?( x ) 或 y? , 即: f ?( x) ? y? ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) 。 ?x

函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数 之间的区别与联系。 1) 函数在一点处的导数 f ?( x0 ) , 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限, 它是一个常数,不是变数。 2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f(x)的导函数 3)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求函 数在点 x0 处的导数的方法之一。 1.函数 y ? f ( x) ? c 的导数 根据导数定义,因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) c ? c ? ? ?0 ?x ?x ?x ?y ? lim 0 ? 0 所以 y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y?c

y? ? 0

y? ? 0 表示函数 y ? c 图像(图 3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为 0.若 y ? c 表示路程
关于时间的函数,则 y? ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,即物体一直处于静止状 态. 2.函数 y ? f ( x) ? x 的导数 因为

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x ? x ? ? ?1 ?x ?x ?x ?y ? lim 1 ? 1 所以 y? ? lim ?x ? 0 ?x ?x ? 0
函数 导数

y?x

y? ? 1

y ? ? 1 表示函数 y ? x 图像(图 3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为 1.若 y ? x 表示路程
关于时间的函数,则 y ? ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.

3.函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? ? 因为 ?x ?x ?x ? x 2 ? 2 x?x ? (?x)2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ?x

所以 y? ? lim

?y ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x ?x ?0 ?x ?x ?0
函数 导数

y ? x2

y? ? 2 x

y? ? 2 x 表示函数 y ? x2 图像 (图 3.2-3) 上点 ( x , y) 处的切线的斜率都为 2 x , 说明随着 x 的
变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明: 当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函数 y ? x 减少得越来越慢;当 x ? 0 时,随着 x 的增加,函
2

数 y ? x 增加得越来越快.若 y ? x 表示路程关于时间的函数,则 y? ? 2 x 可以解释为某物
2 2

体做变速运动,它在时刻 x 的瞬时速度为 2 x .

4.函数 y ? f ( x) ?

1 的导数 x

1 1 ? ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x
? x ? ( x ? ?x) 1 ?? 2 x( x ? ?x)?x x ? x ? ?x
?y 1 1 ? lim (? 2 )?? 2 ? x ? 0 ?x x ? x ? ?x x

所以 y? ? lim

?x ? 0

(2)推广:若 y ? f ( x) ? xn (n ? Q* ) ,则 f ?( x) ? nxn?1

1.2 导数的计算
函数 导数

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x
f ( x) ? ln x
导数的运算法则

y' ? ex

f ' ( x) ?

1 x

导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?

'

复合函数的概念

一般地,对于两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,如果通过变量 u , y 可

以 表 示 成 x 的 函 数, 那么称 这 个 函数 为 函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的复 合 函 数, 记 作

y ? f ? g ( x) ? 。
复合函数的导数 复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的

关系为 y x? ? yu? ? u x? ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

? 若 y ? f ? g ( x) ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x)
1.3 导数在研究函数中的应用
在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如 果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减. 特别的,如果 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数. 求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
'

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

一般的, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化的 快,这时,函数的图像就比较“陡峭” ;反之,函数的图像就“平缓”一些.

一般地,在闭区间 ?a, b? 上函数 y ? f ( x) 的图像是一条连续不断的曲线,那么函数

y ? f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值.

“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念,是比较整个定义域内的函数值得出的,具有绝对性;而“极值”是个 局部概念,是比较极值点附近函数值得出的,具有相对性. ⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的;而极值不唯一; ⑶ 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也 可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得,而最值可以在区间的端点处取得,有极值的未必有最值,有 最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点必定是极值.
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利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值 进行比较,就可以得出函数的最值了. 一般地,求函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f ( x) 在 ( a, b) 内的极值; ⑵将 f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f (b) 比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值,得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值

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1.4 生活中的优化问题举例
解决优化问题的方法: 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系, 建立适当的函数关 系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当 的函数关系。 再通过研究相应函数的性质, 提出优化方案, 使问题得以解决, 在这个过程中, 导数是一个有力的工具.

1.5 定积分的概念
回忆前面曲边梯形的面积,汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤: 分割→近似代替(以直代曲) →求和→取极限(逼近) 定积分的概念

a, b ]上连续,用分点 一般地,设函数 f ( x ) 在区间 [

a = x 0 < x1 < x 2 < L < x i- 1 < x i < L < x n = b
将区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,每个小区间长度为 D x ( D x =

b- a ) ,在每个小区间 n

L ,n) ,作和式: [x i- 1 ,x i ]上任取一点 xi (i = 1,2,

Sn =

邋f (xi )D x =
i= 1

n

b- a f (xi ) n i= 1
)时,上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ,那么称该常

n

如果 D x 无限接近于 0 (亦即 n ?

数 S 为函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的定积分。记为: S = 其中

òa

b

f (x ) dx ,

ò-

积分号,b -积分上限,a -积分下限, f ( x ) -被积函数, x -积分变量,[ a, b]

x) dx -被积式。 -积分区间, f (
说明: (1)定积分

dx 是一个常数,即 S òa f (x )

b

n

无限趋近的常数 S ( n ?

时)记为

òa

b

f (x ) dx

,而不是 Sn .

(2)用定义求定积分的一般方法是:①分割: n 等分区间 [a , b ];②近似代替:取点

xi ? [xi- 1 ,xi ];③求和: ?

b b- a f (xi ) ;④取极限: ò f (x ) dx = l i m n a n i= 1

n

b- a f (xi ) ? n i
=1

n

(3)曲边图形面积: S =

òa f (x )dx ;变速运动路程 S = ò

b

t2

t1

v( t) dt ;变力做功

W =

òa

b

F (r) dr

定积分的几何意义 从几何上看,如果在区间 [a, b ]上函数 f (x )连续且恒有

f (x )? 0 , 那 么 定 积 分

òa f (x )dx

b

表 示 由 直 线

x = a,x = b ( a ? b ),y

0 和曲线 y = f (x ) 所围成的曲边

梯形(如图中的阴影部分)的面积,这就是定积分 说明:一般情况下,定积分
b

òa f (x )dx 的几何意义。

b

dx 的几何意义是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 òa f (x )

x = a ,x = b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上方的面积取正号,在 x 轴下方的面积去
负号。 分析:一般的,设被积函数 y = f (x ),若 y = f (x )在 [ a, b] 上可取负值。 考察和式 f (x1 )D x +

f (x 2 )Dx + L + f (xi ) D x + L + f (x n )D x

不妨设 f (x i ) ,f (x i+ 1 ) , L ,f (x n )< 0

于是和式即为

f (x1)D x + f (x 2 )Dx + L + f (x i- 1 ) D x - {[ - f (x i ) D x ]+ L + [ - f (x n )D x ] }
\

òa

b

f (x ) dx = 阴影 A 的面积—阴影 B 的面积(即 x 轴上方面积减 x 轴下方的面积)

思考:根据定积分的几何意义,你能用定积分表示图中阴影部分的面积 S 吗?

3.定积分的性质 根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质: 性质 1 性质 2

òa
a

b

kdx = k ( b - a);
b a

蝌kf (x )dx = k
b a

b

; f (x ) dx (k 为常数)(定积分的线性性质)
b a

性质 3 性质 4

dx 蝌[f1 (x )? f2 (x )]
f (x ) dx = 蝌 a
a b

f1 (x ) dx
b c

b a

; f2 (x ) dx (定积分的线性性质)

b

c a

f (x ) dx +

f (x ) dx (其中a < c < b )(定积分对积分区间

的可加性) (1)

蝌f (x )dx = a

b

f (x ) dx ; (2)

òa f (x )dx = 0 ;
b a

a

说明:①推广:

蝌[f1 (x )北f2 (x ) L ? fm (x )]dx
a

b

f1 (x ) dx 北蝌 f2 (x ) dx
a

b

L

b a

fm (x )

②推广:

f (x )dx = 蝌 a

b

c1 a

f (x )dx +

f (x )dx + L + 蝌 c
1

c2

b ck

f (x )dx

③性质解释:
y

性质 4 性质 1
y=1 M O a P y A C

B

O

a

b

x

N b x

S曲边梯形A M N B = S曲边梯形A M PC + S曲边梯形C PN B

第二章
2.1 合情推理与演绎推理

推理与证明

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一 般的推理。 归纳推理的一般步骤: (部分—整体,个别—一般) 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中 推出一个明确表述的一般命题(猜想)

类比推理的一般步骤: (特殊—特殊) ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。即 观察、比较 联想、类推 猜想新结论

归纳推理和类比推理是常用的合情推理。 演绎推理的定义(一般—特殊) :从一般性的原理出发,推出某个特殊情 况下的结论,这种推理称为演绎推理. 1.演绎推理是由一般到特殊的推理; 2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包括

⑴大前提---已知的一般原理; ⑵小前提---所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断.

2.2 直接证明与间接证明
分析法和综合法(直接证明) :是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析 法是从数学题的待证结论或需求问题出发, 一步一步地探索下去, 最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发, 经过逐步的逻辑推理, 最后达到待证结论或需求问题。 对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路 的两种基本思考方法,应用十分广泛。

反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假 设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方 法。 反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。 用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础, 为了正确地作出反设, 掌握一些常用的互为否定的表述形式是有 必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于; 大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有 n 个/至多有(n 一 1)个; 至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成 为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与 已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

2.3 数学归纳法

第 3 章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念

因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解 决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾, 分数解决了在整数集中不能整除的矛 盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数 集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于- 1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i ,叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课: 1.虚数单位 i :
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(1)它的平方等于-1,即

i 2 ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的 另一个根是- i ! 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R ) 的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部 全
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体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示, 即 z ? a ? bi(a, b ? R) , 把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时, z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等 这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d
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几何意义:复平面、实轴、虚轴: 复数 z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应 y 关系 这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、b∈R),由复 b 数相等的定义可知,可以由一个有序实数对(a,b)惟一确 定, 如 z=3+2i 可以由有序实数对(3, 2)确定, 又如 z=-2+i 可以由有序实数对(-2,1)来确定;又因为有序实数对(a,
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Z(a,b)

o

a

x

b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,如有序实数对(3,2)它与平面直角坐标系中的点 A,横坐标为 3,纵坐标为 2,建立了一一对应的关系 由此可知,复数集与平面直角坐标 系中的点集之间可以建立一一对应的关系. 点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点 Z(a,b)表示,这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为 (0,0), 它所确定的复数 是 z=0+0i=0 表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 在复平面内的原点(0,0)表示实数 0,实轴上的点(2,0)表示实数 2,虚轴上的点(0,- 1)表示纯虚数-i,虚轴上的点(0,5)表示纯虚数 5i 非纯虚数对应的点在四个象限,例如点(-2,3)表示的复数是-2+3i,z=-5-3i 对应的 点(-5,-3)在第三象限等等. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
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复数 z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法. 复平面内的点 Z (a, b) ???? ? 平面向量 OZ
一一对应

3.2 复数代数形式的四则运算
复数代数形式的加减运算 1.复数 z1 与 z2 的和的定义:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1 与 z2 的差的定义:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R). ∵z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又∵a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1. ∴z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明:设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i) =[(a1+a2)+(b1+b2)i]+(a3+b3)i =[(a1+a2)+a3]+[(b1+b2)+b3]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+b1i)+[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1+(a2+a3)]+[b1+(b2+b3)]i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i ∵(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). ∴(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律
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复数加法的几何意义: 设复数 z1=a+bi,z2=c+di,在复平面上所对应的向量为 OZ 1 、OZ 2 ,即 OZ 1 、OZ 2 的 坐标形式为 OZ 1 =(a , b) , OZ 2 =(c, d) 以 OZ 1 、 OZ 2 为邻边作平行四边形
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OZ1ZZ2,则对角线 OZ 对应的向量是 OZ , ∴ OZ = OZ 1 + OZ 2 =(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i 复数减法的几何意义:复数减法是加法的逆运算,设 z=(a-c)+(b-d)i,所 以 z-z1=z2,z2+z1=z,由复数加法几何意义,以 OZ 为一条对角线,OZ 1 为一条边画平行四 边形,那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 OZ 2 就与复数 z-z1 的差(a-c)+(b -d)i 对应 由于 OZ2 ? Z1Z ,所以,两个复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减
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数的向量对应. 1.乘法运算规则: 规定复数的乘法按照以下的法则进行: 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac- bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把 i2 换成-1,并且 把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律: (1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i, z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又 a1a2-b1b2=a2a1-b2b1,b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵(z1z2)z3=[(a1+b1i)(a2+b2i)](a3+b3i)=[(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i](a3+b3i) =[(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3]+[(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3]i =(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i, 同理可证: z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i, ∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明:设 z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i(a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)[(a2+b2i)+(a3+b3i)]=(a1+b1i)[(a2+a3)+(b2+b3)i] =[a1(a2+a3)-b1(b2+b3)]+[b1(a2+a3)+a1(b2+b3)]i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.

z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i =(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i =(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i ∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例 1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例 2 计算: (1)(3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i)2. 解: (1)(3+4i) (3-4i) =32-(4i)2=9-(-16)=25; (2) (1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复 数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数
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通常记复数 z 的共轭复数为 z 。 4. 复数除法定义: 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数 a+bi 除以复数 c+di 的商,记为:(a+bi) ? (c+di)或者

a ? bi c ? di

5.除法运算规则: ①设复数 a+bi(a,b∈R),除以 c+di(c,d∈R),其商为 x+yi(x,y∈R), 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i. ∴(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知 ?

?cx ? dy ? a, ?dx ? cy ? b.

ac ? bd ? x ? , 2 2 ? ? c ? d 解这个方程组,得 ? ? y ? bc ? ad . ? c2 ? d 2 ?
于是有:(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2 a ? bi 的分母有理化得: c ? di

②利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将

原式=

a ? bi (a ? bi)(c ? di) [ac ? bi ? (?di)] ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di)(c ? di) c2 ? d 2

?

(ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i. c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2

∴(a+bi)÷(c+di)=

ac ? bd bc ? ad ? i. c2 ? d 2 c2 ? d 2

点评:①是常规方法,②是利用初中我们学习的化简无理分式时,都是采用的分母有理 化思想方法,而复数 c+di 与复数 c - di ,相当于我们初中学习的

3 ? 2 的对偶式

3 ? 2 ,它们之积为 1 是有理数,而(c+di)·(c-di)=c2+d2 是正实数.所以可以分母实数化.
把这种方法叫做分母实数化法
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