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(数学)实验中学2013届高一上学期期末考试


实验中学2013届高一上学期期末考试 数 学

本试卷共23小题,满分150分,考试用时120分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、考号填写在答题卷 上。 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题目指定区域内的相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷收回。

第一部分(基础检测 100 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. sin

7? 的值为( *** ) 6
1 2
B.

A.

3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.已知 tan ? ? ?

1 ? , ? ? ? ? , 则 sin ? 等于 ( *** ) 2 2

A.

2 5 5

B. ?

5 5

C. ?

2 5 5

D.

5 5
*** )

π? ? π 3.函数 y=cosx·|tanx| ?- <x< ? 的大致图象是( 2? ? 2

4.在锐角 ?ABC 中,若 sin A ?

5 1 , tan B ? ,则 A ? B ? ( *** ) 5 3
C. 3? 4

A.

?
4



3? 4

B.

?
4

D.

2 2

1

5.下列不等式中,正确的是( *** )

13? 13? ? tan 4 5 ? 13π ?<tan?-15π ? C.tan?- ? 7 ? 8 ? ? ? ? ?
A.tan 6.函数 f ( x) ? 2 sin( x ? A. [ ?? ,?

B.sin

?

? cos( ? ) 5 7 7? 2? ? cos( ? ) 5 5

?

D.cos

?
3

), x ? [?? ,0] 的单调递增区间是( *** )
B. [?

5? ] 6

5? ? ,? ] 6 6

C. [?

?
3

,0]

D. [?

?
6

,0]

7.已知函数 y ? sin ? x ?

? ?

? ? ? ? cos ? x ? ? ,则下列判断正确的是( ***) 12 ? ? 12 ?
?? ? ,0 ? ? 12 ?

? ?

A.此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ?

B.此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ?

?? ? ,0 ? ? 12 ? ?? ? ,0 ? ?6 ?

C.此函数的最小周期为 2? ,其图像的一个对称中心是 ?

D.此函数的最小周期为 ? ,其图像的一个对称中心是 ?

?? ? ,0 ? ?6 ?

π? π ? 8.已知 2tanα ·sinα =3,- <α <0,则 cos?α - ?的值是(*** ) 6? 2 ? A.0 B. 3 2 C.1 1 D. 2

9.若 cos? ? 3 sin ? ? 10 ,则 tan ? ? (*** ) A. 3 ; B. ?

3 ; 5

C. ? 3 ;

D.

3 8
,当 时, ,

10.定义在 R 上的函数 则(*** )

满足

A. C. f (tan

B.

?
6

) ? f (tan

5? ) 4

D.

2

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 11. 已知扇形的弧长和面积的数值都是 2,则其圆心角的正的弧度数为____***____. 12
? ? ?θ ? ? ? ? ?θ ? ?









M



?sinθ ≥1,0≤θ ≤π ? 2 ?

? ? ? ? ?



N
B


M C

?cosθ ≤1,0≤θ ≤π ? 2 ?

? ? ?,则 M∩N=___***___. ? ?

N

13.如图,在正方形 ABCD 中, M 是边 BC 的中点, N 是边 CD 的 中点,设 ?MAN ? ? ,那么 sin ? 的值等于_______***_____.
A D

14.给出下列四个结论: ①若角的集合 A ? {? | ? ? 则 A? B; ②函数 y ?| tan x | 的周期和对称轴方程分别为 ? , x ? ③ 已知 sin?
k? (k ? Z ) 2
k? ? ? ? , k ? Z}, B ? {? | ? ? k? ? , k ? Z} , 2 4 4

?π -α ?=1,则 sin?π +2α ?=7 ? 4 ?6 ? 8 ?6 ? ? ? x ? x ? ④要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需将 y ? sin 的图象向右平移 个单位; 2 4 2 2
其中正确结论的序号是 *** . (请写出所有正确结论的序号) 。 三、解答题: 15. (本题满分 10 分)已知角 ? 的终边经过点 P(?3, 4) , (1) 求

sin(? ? ? ) ? cos(?? ) 的值; tan(? ? ? )

(2)求

1 sin 2? ? cos 2? ?1 的值. 2 π π ? φ ? ) 一个周 2 2

16. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? A sin(ωx ? φ) ( A ? 0, ω ? 0,? 期的图象如图所示。 (1)求函数 f (x) 的表达式; ( 2 ) 若 f ( A) ? f ( A ?

π 24 )? , 且 A 为 △ ABC 的 一 个 内 角 , 求 : 3 25

sin A ? cos A 的值。
17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ( ? ? 0 ).

3

(1)当 ? ? 2 时,写出由 y ? f ( x) 的图象向右平移 函数解析式; (2)若 y ? f ( x) 图象过点 (

? 个单位长度得到的图象所对应的 6

2? ? , 0) ,且在区间 (0, ) 上是增函数,求 ? 的值. 3 3

第二部分(能力检测 50 分)
一、选择题(每题 5 分,共 10 分) 18.已知 0 ? b ? 1 ,0 ? α ? 则三数的大小关系是

π log sin α log cos α log cos α , x ? (sin α) b , y ? (cosα) b , z ? (sin α) b 4
( *** )

A. x ? y ? z

B. z ? x ? y

C. x ? z ? y
?

D. y ? z ? x

19.函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3 ,函数 g ( x) ? m cos(2 x ? ) ? 2m ? 3 (m ? 0) ,若对任意 6

x1 ? [0,
A. ?

?

4

], 总存在 x 2 ? [0,
2 B. [ , 2] 3

?

4

], 使得 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 则实数 m 的取值范围是( ***)
C. [1,

4 ] 3

2 4 D. [ , ] 3 3

二、填空题 (5 分) 20.已知函数 f ?x ? 是定义在 (??, 1] 上的减函数,且对一切实数 x ,不等式

f ?k ? sin x? ? f k 2 ? sin 2 x 恒成立,则实数 k ? _____***____。
π 2

?

?

三、解答题 21. (本题满分 10 分)已知 f ( x) ? sin x ? sin x cos x, x ? [0, ]
2

(1)求 f (x) 的值域; (2)若 f (α ) ?

5 ,求 sin 2α 的值。 6

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin x ? sin (
2

?

x ? ) ? 2 cos 2 x ? 1 ? a, x ? R 是一个奇函数. 4 2

(1)求 a 的值和使 f (2x) ? ? 3 成立的 x 的取值集合; (2)设 | ? |?

求 ? 的取值范围. 23. (本题满分 13 分) 设 函 数

? ,若对 x 取一切实数,不等式 4 ? f ( x ? ? ) f ( x ? ? ) ? 2 f ( x) 都成立, 2

f (x) 是 定 义 在 区 间 (??,??) 上 的 偶 函 数 , 且 满 足

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ( x ? R) 。 记 I k ? ?2k ? 1,2k ? 1? (k ? Z ) . 已 知 当 x ? I ? 时 ,

4

f ( x) ? x 2 .
(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)设 k ? N , M k 表示使方程 f ( x) ? ax 在 x ? I k 上有两个不相等实根的 a 的取值集
*

合. ①求 M 1 ; ②求 M k .

5

参考答案
一.选择题 1. C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D 7. B 8.A 9.C 10.D

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分)
? ? ?π 5π 11. 1 12.M∩N=?θ ? ≤θ ≤ 3 6 ? ? ? ? ? ?. ? ?

13.

3 5

14. 【①、②、③】

三、解答题: 15.解:由角 ? 的终边过点 P(?3, 4) 知: sin ? ?

4 (?3)2 ? 42

?

4 , 5

cos ? ?

4 4 3 ? ? ,………4 分 ? ? , tan ? ? ?3 3 5 (?3)2 ? 42
……………6 分

?3

(1)

sin(? ? ? ) ? cos(?? ) sin ? ? cos ? ? tan(? ? ? ) tan ?
= ( ? ) /( ? ) ? ?

4 5

3 5

4 3

3 ,…………………7 分 20

(2)

1 sin 2? ? cos 2? ? 1 ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 。。。。。 分 。。。。。9 2 4 3 3 2 6 = ? (? ) ? 2 ? (? ) ? 。……………10 分 5 5 5 25

16. 解: (1)从图知,函数的最大值为 1, 则A ?1 又x ?? 函数 f (x) 的周期为 T ? 4 ? (

π π 2π ? ) ? π ,而 T ? ,则 ω ? 2 , 12 6 ω

π π π π π 时, y ? 0,? sin( 2 ? (? ) ? φ) ? 0 ,而 ? ? φ ? ,则 φ ? , 6 6 2 2 3

∴函数 f (x) 的表达式为 f ( x ) ? sin( 2 x ? (2)由 f ( A) ? f ( A ? 化简得: sin 2 A ?
2

?
3

) 。 ……….+4 分( A.,?, ? 各 1 分)

π 24 π π 24 )? 得: sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 3 25 3 3 25

24 ,……………………………………6 分 25 49 25
……………………7 分

∴ (sin A ? cos A) ? 1 ? sin 2 A ?

6

由于 0 ? A ? π ,则 0 ? 2 A ? 2π ,但 sin 2 A ? 分 从而 sin A ? cos A ? 0 因此 sin A ? cos A ?

24 ? 0 ,则 0 ? 2 A ? π ,即 A 为锐角,…8 25

7 。 5

………….10 分

17.解: (1)由已知,所求函数解析式为 g ( x) ? sin( 2 x ? (2)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( 即? ?

?
3

) 。 ……………………3 分

2? 2? 2? , 0) ,得 sin ? ? 0 ,所以 ? ? k ? , k ? Z . 3 3 3
…………………4 分

3 k ,k ?Z . 2

* 又 ? ? 0 ,所以 k ? N .

当 k ? 1 时, ? ?

3 3 4? , f ( x ) ? sin x ,其周期为 , 2 3 2

此时 f ( x ) 在 ? 0,

? ?

?? ? 上是增函数; ……………………….6 分 3?
2 ? 2? 4? ? ≤ , ? 3 3
…………8 分

当 k ≥ 2 时, ? ≥ 3 , f ( x) ? sin ? x 的周期为 此时 f ( x ) 在 ? 0, 分 所以, ? ?

? ?

?? ? 上不是增函数. 3?

…………………….9

3 . 2

…………10 分

第二部分
一.选择题(每题 5 分,共 10 分) 18. C 19. C 二.填空题(5 分) 20. -1 三.解答题

π 2 sin(2 x ? ) ? 1 1 ? cos2 x sin 2 x 4 21. 解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? ? ? 2 2 2
……………………2 分 ∵ x ? [0, ]

π 2

∴ 2x ?

π π 3π ? [? , ] 4 4 4

…………………3 分

7

当 2x ?

π π π π ? ? ,即 x ? 0 时, f (x) 有最小值 0。当 2 x ? ? 时 f (x) 有最大值 4 4 4 2

2 ?1 2 ?1 。 f (x) 值域: [0, ] 2 2

…………………5 分

π 2 sin(2α ? ) ? 1 π 2 5 4 (2) f (a) ? ? ,得 sin(2α ? ) ? 4 3 2 6
∵ α ? [0, ], 2α ?

…………6 分 ……………7 分

π 2

π π 3π ? [? , ] 4 4 4

又 0 ? sin(2α ? ∴ 2α ?

π 2 2 )? ? 4 3 2
……………8 分

π π ? (0, ) , 4 4

得 cos(2α ?

π 2 7 ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 3

……………9 分

sin 2α ? sin(2α ?

π π 2 π π 2 ? 14 . ? )? [sin(2α ? ) ? cos(2α ? )] ? 4 4 2 4 4 6
1 ? cos 2(

………10 分

?

22.
.

f ( x) ? 4 sin x ?

2 ? 2 sin x ? (1 ? sin x) ? cos 2 x ? 2 ? a ? 2 sin x ? a ? 3

x ? ) 4 2 ? cos 2 x ? 2 ? a

......... 分 1

.......... ........ 分 2 .......... .......... ........ 分 3

(1) a ? ?3 .

………….4 分

x ? [k? ?

?
6

, k? ?

2? ]k ?Z 3

……5 分

8

(2) 不等式即: 4 ? 4 sin(x ? ? ) sin(x ? ? ) ? 4 sin x ? sin 2 x ? sin x ? 1 ? sin 2 ? 令t ? sin x ? x ? R ? t ? [?1,1] .......... 6分 ....... .......... .......... 8分 .... .......... ......... 分 9 1 ? [?1,1] . 2 ? 1 ? sin 2 x cos2 ? ? cos2 x sin 2 ? ? sin x ..........7分 .

令g (t ) ? t 2 ? t ? 1 其对称轴方程为 t ? ?

1 3 ? g (t ) min ? g ( ) ? .......... .......... .......... .......... 分 10 2 4 3 3 3 ? sin 2 ? ? ? ? ? sin ? ? .......... .......... 11分 ..... 4 2 2 ? ? ? (?

? ?

, ) ? ? ? (? , ) .......... .......... ........ 分 12 2 2 3 3

? ?

8

23.解: (1)因为 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ? f ( x ? 2) ? f (? x) ? f ( x) 所以

6

f (x) 是以 2 为周期的函数, ………………..2 分
……………..3 分 ………………4 分
-10 -5

4

? f ( x ? 2k ) ? f ( x)(k ? Z ) ,
当 x ? I k 时, ( x ? 2k ) ? I ? ,

y 2
2

-4

-2

O -2
-2

2

4

5

x

? f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? ( x ? 2k )

2

? f (x) 的解析式为:? f ( x) ? ( x ? 2k ) 2 , x ? I k .

………………5 分
-4

(2).①设 x ? I1 , 则 x ? 2 ? I 0 ,? f ( x) ? f ( x ? 2) ? ( x ? 2) 方程 f ( x) ? ax
2

2

………..6 分
-6

可化为:

x 2 ? (4 ? a) x ? 4 ? 0 x ? (1,3]

(*)
-8

令 g1 ( x) ? x ? (4 ? a) x ? 4

方程(*)在 x ? (1,3] 上有两相异实根,则:

?? ? a(a ? 8) ? 0 ? 4?a ?1 ? ?3 ? 2 ? ? g1 (1) ? 1 ? a ? 0 ? ? g1 (3) ? 1 ? 3a ? 0 ?
1 ? a ? (0, ] 3
*

………….8 分

y

?
O 2k-1 2k+1 x

1 ? M 1 ? (0, ] . 3

………9 分
2 2

②当 k ? N 且 x ? I k 时, 方程f ( x) ? ax 化为 x ? (4k ? a) x ? 4k ? 0 , 令 g ( x) ? x ? (4k ? a) x ? 4k
2 2

………………10 分
9

使方程f ( x) ? ax在I k 上有两个不相等的实数 , 根
?? ? a(a ? 8k ) ? 0 ? ?2k ? 1 ? 4k ? a ? 2k ? 1 ? 则? 2 ? g (2k ? 1) ? 1 ? 2ak ? a ? 0 ? ? g (2k ? 1) ? 1 ? 2ak ? a ? 0 ?
?a ? 0或a ? ?8k ?? 2 ? a ? 2 ? 1 ? ?0 ? a ? 即 ?a ? 1 2k ? 1 2k ? 1 ? ? 1 ?a ? 2k ? 1 ?

………………….11 分

? M k ? {a | 0 ? a ?

1 } ………13 分 2k ? 1

10



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