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上海市进才中学2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题沪教版


上海市进才中学 2013 学年第一学期期终考试高二数学试卷
一、填空题(每题 3 分,满分 36 分,请将正确答案直接填写在相应空格上)

n2 ? 2 )? 。 n?? n ? 1000 2 2. 已经抛物线方程 y ? 4 x ,则其准线方程为 ?2 3 ? ?1 ? 1 ? 3. 若 A ? ? ?,B ?? ? ,则 AB ? ? 3 ?1 ? ?0 4 ?
1.计算: lim ( n ?

。 。



准考证号

2) , 则 a 在 b 上的投影为 4.已知 a ? (?2 , 1) , b ? (?1 ,


?

?

?

?



a1 b1 c1
5.若 1

2 5

3 ? a1 A1 ? b1B1 ? c 1C1 ,则 B1 化简后的最后结果等于______________。 6
? ? ? ?

4


6 . 已 知 向 量 a ? (?2 , 2) , b ? (5 , k ) , 若 | a ? b | 不 超 过 5 , 则 k 的 取 值 范 围 是 。

姓名



x2 y 2 7 . 若 点 P( 2 , 平分椭圆 ? ?1 的 一条 弦 , 则 该弦 所 在的直 线 方 程 ? 1) 12 8
为 。 (结果写成一般式) 8 . 在 ?ABC 中 , AB ? 1 , AC ? 2 , ( AB ? AC ) ? AB ? 2 , 则 ?ABC 面 积 等 于 。 9.已知 ? ? R ,则直线 x sin ? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 10 . 直 线 y ? ? x ? m 与 曲 线 y ? ? 1 ? x 为 。
2

??? ? ???? ??? ?





有 两 个不 同 的 交点 , 则 m 的 取 值范 围 A2013 A2 O

班级

线

11.如图, O 为直线 A0 A2013 外一点,若 A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , ? , A2013

???? ? ? ??????? ? ? ? ? 中任意相邻两点的距离相等,设 OA0 ? a , OA2013 ? b ,用 a , b 表示 ???? ? ???? ???? ? ??????? ? OA0 ? OA1 ? OA2 ? ? ? OA2013 ,其结果为 。

A1 A0



12.在 xOy 平面上有一系列的点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , ? , P n ( xn , yn ) , ? ,对于 第三题 第一题 第二题 17 18 19 20 21 总分

学校

密 所有正整 数n, 点 Pn 位于函数 y ? x ( x ? 0) 的图像上, 以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴相切, 且圆 Pn
1
2

与圆 P n?1 又彼此外切,且 xn ?1 ? xn 。则 lim nxn 等于
n ??



二、选择题(每小题 3 分,满分 12 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的代号填 写在题后括号内) 13. 已知两条直线 l1 : y ? 3 ? k1 ( x ? 1) , l2 : y ? 3 ? k2 ( x ? 2) ,则下列说法正确的是 ( ) (A) l1 与 l2 一定相交 (C) l1 与 l2 一定相交或平行
2

(B) l1 与 l2 一定平行 (D)以上说法都不对

14.已知抛物线方程 y ? 4 x ,过点 P(1, 2) 的直线与抛物线只有一个交点,这样的直线有 ( ) (A)0 条 (B)1 条 (C)2 条 (D)3 条 15 . 已 知 方 程 m x ? n y ? m n ? 0(m ? ?n ? 0 ) ,则它所表示的曲线的焦点坐标为 ( ) (A)( ?
2 2

n ? m , 0 ) (B)( 0, ?

? n ? m ) (C)( 0, ?

n ? m ) (D)( ?

? n ? m ,0)

16.直线 x ? 2 与双曲线 C :

x2 B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任意 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 A 、 4

一点,若 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? aOA ? bOB ( a , b ? R , O 为 坐 标 原 点 ) , 则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 是 ( ) 1 1 (A) a2 ? b2 ? 2 (B) a 2 ? b 2 ? (C) a2 ? b2 ? 2 (D) a 2 ? b 2 ? 2 2 三、解答题(共 5 小题,满分 52 分,解答要有详细的论证过程与运算步骤) 17. (满分 8 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? ? 2,3 ? , AC ? ?1, k ? ,且 ?ABC 中有一个内角为直角,求实数 k 的值。

??? ?

????

18. (满分 8 分,每小题各 4 分) 已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切; (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)设过点 P 且斜率为 ? 3 的直线与曲线 M 相交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长。

2

19. (满分 10 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 4 分) 圆拱桥的一孔圆拱如图所示,该圆拱是一段圆弧,其跨度 AB = 20 米,拱高 OP = 4 米, 在建造时每隔 4 米需用一根支柱支撑。 B2 P B3 (1)建立适当的坐标系,写出圆弧的方程; B1 B4 (2)求支柱 A 2 B 2 的高度( 精确到 0.01 米 )。
A A1 A2 O A3 A4 B

20. (满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 已知椭圆 C 以双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点。 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于点 M , N 两点( M , N 不是左右顶点) ,且以线 段 MN 为直径的圆过椭圆 C 左顶点 A ,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

3

21. (满分 16 分,本题有 3 个小题.第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分)

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存 2 在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为“ C1 ? C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出
如图,已知双曲线 C1 : 一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点” . 2

4





线









准考证号







姓名

上海市进才中学 2013 学年第一学期期终考试 (时间 90 分钟,满分 100 分) 高二数学试卷 (2014 年 1 月)

班级 学校





线





5

第三题 第一题 第二题 17 18 19 20 21 总分

一、填空题(每题 3 分,满分 36 分,请将正确答案直接填写在相应空格上)

n2 ? 2 1000 , )? n ?? n ? 1000 2. 已经抛物线方程 y 2 ? 4 x ,则其准线方程为____________。 x ? ?1
1.计算: lim (n ?

?1 ? 1 ? ?2 3 ? ? 2 10 ? ? 3. 若 A ? ? ?0 4 ? ? ,则 AB ? ?3 ?1 ? ?,B ?? ?3 ? 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 5 2) , 则 a 在 b 上的投影为________。 4.已知 a ? (?2 , 1) , b ? (?1 ,
5

a1 b1
5.若 1

c1 3 ? a1 A1 ? b1 B1 ? c 1 C1 ,则 B1 化简后的最后结果等于_______6_______。

2 5

6 ? ? ? ? 6.已知向量 a ? (?2 , 2) , b ? (5 , k ) ,若 | a ? b | 不超过 5,则 k 的取值范围是 [?6 , 2] 。
7.若点 P ( 2 , ? 1) 平分椭圆 (结果写成一般式)

4

x2 y2 ? ? 1 的一条弦,则该弦所在直线的方程为 4x ? 3 y ? 11 ? 0 。 12 8

8.在 ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 2 , ( AB ? AC ) ? AB ? 2 ,则 ?ABC 面积等于 9.已知 ? ? R ,则直线 x sin ? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 [0 , ] ? [
6

??? ? ???? ??? ?

3 。 2

?

5? , ?) 。 6

10. 直 线 y ? ? x ? m 与 曲 线 y ? ? 1 ? x

2

有两个不同的交点,则 m 的取值范围为 A2013 (? 2 , ? 1] 。 A2 O

11.如图, O 为直线 A0 A2013 外一点,若 A0 , A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , ? , A2013 ???? ? ? ??????? ? ? ? ? 中任意相邻两点的距离相等,设 OA0 ? a , OA2013 ? b ,用 a , b 表示 ???? ? ???? ? ???? ? ??????? ? ? ? OA0 ? OA1 ? OA2 ? ? ? OA2013 ,其结果为 1007(a ? b) 。

A1 A0

12.在 xOy 平面上有一系列的点 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , ? , P n ( xn , yn ) , ? ,对于所有正整 数 n, 点 Pn 位于函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图像上,以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴相切,且圆 Pn 与圆

Pn?1
又彼此外切,且 xn?1 ? xn 。则 lim nxn 等于
n ??

1 2



二、选择题(每小题 3 分,满分 12 分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的代号填 写在题后括号内) 13. 已知两条直线 l1 : y ? 3 ? k1 ( x ? 1) , l2 : y ? 3 ? k2 ( x ? 2) ,则下列说法正确的是 ( D )

6

(A) l1 与 l2 一定相交 (C) l1 与 l2 一定相交或平行

(B) l1 与 l2 一定平行 (D)以上说法都不对

14.已知抛物线方程 y 2 ? 4 x ,过点 P(1, 2) 的直线与抛物线只有一个交点,这样的直线有 ( C ) (A)0 条 (B)1 条 (C)2 条 (D)3 条 15 . 已 知 方 程 m x 2 ? n y 2 ? m n ? 0(m ? ?n ? 0 ) ,则它所表示的曲线的焦点坐标为 ( C ) (A) ( ?

n ? m , 0 ) (B) ( 0 , ?
2

? n ? m ) (C) ( 0 , ?

n?m)

(D) ( ?

? n ? m ,0)

16.直线 x ? 2 与双曲线 C :

x B 两点,设 P 为双曲线 C 上的任意 ? y 2 ? 1 的渐近线交于 A 、 4

一点,若 ??? ? ??? ? ??? ? OP ? aOA ? bOB ( a , b ? R , O 为 坐 标 原 点 ) , 则 下 列 不 等 式 恒 成 立 的 是 ( B ) 1 1 (A) a2 ? b2 ? 2 (B) a 2 ? b 2 ? (C) a2 ? b2 ? 2 (D) a 2 ? b 2 ? 2 2

三、解答题(共 5 小题,满分 52 分,解答要有详细的论证过程与运算步骤) 17. (8 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? ? 2,3 ? , AC ? ?1, k ? ,且 ?ABC 中有一个内角为直角, 求实数 k 的值。 解:(1)若 ?BAC ? 90?, 即 AB ? AC, 故 AB ? AC ? 0 ,从而 2 ? 3k ? 0, 解得 k ? ? ;
? | AF2 |?| BF2 | ,

??? ?

????

2 3 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? (2) 若 ?BCA ? 90?, 即 BC ? AC , 也 就 是 BC ? AC ? 0 , 而 BC ? AC ? AB ? ? ?1, k ? 3? , 故
3 ? 13 ; 2

??? ?

???? ?

??? ? ????

解得 k ?

(3)若 ?ABC ? 90?, 即 BC ? AB ,也就是 BC ? AB ? 0, 而 BC ? ? ?1, k ? 3? ,故 ?2 ? 3? k ? 3? ? 0 ,解 得k ?
11 . 3 2 3
3 ? 13 11 或k ? 。 2 3

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

综合上面讨论可知, k ? ? 或 k ?

18. (满分 8 分,每小题各 4 分) 已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切; (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)设过点 P 且斜率为 ? 3 的直线与曲线 M 相交于 A 、 B 两点,求线段 AB 的长; 解: (1)因为动圆 M 过定点 P(1,0) ,且与定直线 l : x ? ?1 相切,所以由抛物线定义知:圆心 M 的轨迹是以定点 P(1,0) 为 焦 点 , 定 直 线 l : x ? ?1 为 准 线 的 抛 物 线 , 所 以 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 为 y 2 ? 4 x ------4 分 y ? ? 3( x ? 1) ( 2 ) 由 题 知 , 直 线 的 方 程 为 AB ------5 分 所以 ? ?
? y ? ? 3( x ? 1)
2 ? ? y ? 4x

解得: A( ,

1 2 3 ), B(3, ?2 3) 3 3

------6 分(或用弦长公式或用定义

7

均可) , | AB |?

16 3

---------8 分

19. (满分 10 分) 圆拱桥的一孔圆拱如图所示,该圆拱是一段圆弧,其跨度 AB = 20 米,拱高 OP = 4 米, 在建造时每隔 4 米需用一根支柱支撑。 B2 P B3 B1 B4 (1)建立适当的坐标系,写出圆弧的方程; (2)求支柱 A 2 B 2 的高度( 精确到 0.01 米 )。 解: (1)以 O 为原点,AB 方 向 为 x 轴 方 向 建 立 坐 标 系 。 A A1 A2 O A3 A4 则圆心在 y 轴,设圆心坐标 (0, a) 。 有 (a ? 4)2 ? a2 ? 100 , 得 a ?5 , 所以, 圆方程为 x2 ? ( y ? 10.5)2 ? 14.52 (?10 ? x ? 10 , y ? 0) ; 1 0 . (2)将 x ? ?2 代入圆方程,得: y = A 2 B 2 ? 3.86 米 。

B

20. 已知椭圆 C 以双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点。 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于点 M , N 两点( M , N 不是左右顶点) ,且以线 段 MN 为直径的圆过椭圆 C 左顶点 A ,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。 解: (1)
x2 ? y2 ? 1 ; 4
? y ? k x? m ? (1? 4 k2 ) x2 ? 8 k m? x 2 ? ? y ?1 ?4
2 4m ? ?4 , 0 得

? ( 2 ) 设 M( x ) 联 立 方 程 组 ? x2 1, y 1 ) , N (x 2 ,y 2 ,
?8km ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 。 ? 2 ? x x ? 4m ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

又因为以 MN 为直径的圆过点 A(?2,0) , 所以 AM ? AN ? 0 ,即 x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 0 , 整 理得
6 5m2 ? 16km ? 12k 2 ? 0 ,所以 m ? k 或 m ? 2k 且满足 ? ? 0 ,若 m ? 2k ,则直线 l 恒过定点 5 6 6 A(?2,0) ,不合题意;若 m ? k ,则直线 l 恒过定点 (? ,0) 。 5 5

???? ? ????

8

21. (本题满分 16 分)本题有 3 个小题.第 1 小题 4 分,第 2 小题 5 分,第 3 小题 7 分.

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存 2 在过点 P 的直线与 C1 、 C2 都有公共点,则称 P 为“ C1 ? C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要使用一条过该
如图,已知双曲线 C1 : 焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是 “ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点” . 2
2 ), 2

解: (1) C1 的左焦点为 F (? 3,0) , 过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ?

与 C2 交于 (? 3, ?( 3 ? 1)) ,故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点” ,且直线可以为 x ? ? 3 ; (2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则 ? 直线 y ? kx 与 C2 有交点, 则?
1 2
? ? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ?| y |?| x | ?1 y ? kx

2 2 ?x ? 2 y ? 2

若方程组有解, 则必须 k 2 ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,

1 2

故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点” 。 (3)显然过圆 x2 ? y 2 ? 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t, t ? 1)(t ? 0) ,则
l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0 , 直 线 l 与 圆 x2 ? y 2 ?
|1 ? t ? kt | k ?1
2

1 内部有交点,故 2

?

2 2

化简得, (1 ? t ? tk )2 ? (k 2 ? 1) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。① 若 直 线 与 曲 线 C1 有 交 点 , 则
? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 ? ? (k 2 ? ) x 2 ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt )2 ? 1 ? 0 ? x2 2 ? y2 ? 1 ? ? 2 1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt )2 ? 4(k 2 ? )[(1 ? t ? kt )2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt )2 ? 2k 2 ? 1 , 化 简 得 , 2 。 。② (1 ? t ? kt )2 ? 2k 2 ? 1 。 1 由①②得, 2k 2 ? 1 ? (1 ? t ? tk )2 ? (k 2 ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 1 2 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )] ? 1, (k 2 ? 1) ? 1 ,即①式不成立;当 k 2 ? 时,①式也不 2 2

1 2 l

成立 综上, 直线 l 若与圆 x2 ? y 2 ? 内有交点, 则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 即圆 x2 ? y 2 ? 内的点都不是“C1-C2 型点” .
1 2 1 2

9


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