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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件 新人教A版选修22(1)













3.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学

阶 段 二

业 分 层 测



1.了解数系的完整体系.(重点) 2.理解复数的概念、表示法及相关概念.(重点) 3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件.(重点、易混点)

[基础·初探] 教材整理 1 复数的概念及代数表示 阅读教材 P102~P103“第 8 行”以上内容,完成下列问题. 1.复数的定义 把集合 C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如_a_+__b_i_(_a_,__b_∈__R_)___的数叫做复 数.其中 i 叫做虚数单位,满足 i2=__-__1__.

2.复数的代数形式 复数通常用字母 z 表示,即 z=__a_+__b_i_(_a_,__b_∈__R_)___,这一表示形式叫做复 数的___代__数__形__式___,a 与 b 分别叫做复数 z 的__实__部__与__虚__部__. 3.复数集 全体复数所构成的集合叫做复数集.记作 C=_{_a_+__b_i_|a_,__b_∈__R__}_.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若 a,b 为实数,则 z=a+bi 为虚数.( ) (2)若 a 为实数,则 z=a 一定不是虚数.( ) (3)bi 是纯虚数.( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数相 等.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

教材整理 2 两个复数相等的充要条件 阅读教材 P103“第 9 行”以下~P103“第 11 行”以上内容,完成下列问题. 在复数集 C={a+bi|a,b∈R}中,任取两个复数 a+bi,c+di(a,b,c,d ∈R),规定 a+bi 与 c+di 相等的充要条件是___a_=__c_且___b_=__d__.

如果(x+y)i=x-1,则实数 x,y 的值分别为( )

A.x=1,y=-1

B.x=0,y=-1

C.x=1,y=0 【解析】 ∵(x+y)i=x-1,

D.x=0,y=0

∴?????xx+ -y1==00,, ∴x=1,y=-1. 【答案】 A

教材整理 3 复数的分类 阅读教材 P103“思考”以下内容,完成下列问题. 1.复数 a+bi(a,b∈R) ?实数?????b?=??0????, ? ???虚数???b?≠??0???????????纯 非虚 纯数 虚数 ????a??=????a0??≠??0????????,??. 2.集合表示

下列命题:
①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则 x=±1; ③两个虚数不能比较大小.
其中正确命题的序号是__________. 【解析】 当 a=-1 时,(a+1)i=0,故①错误;两个虚数不能比较大小,
故③对;若(x2-1)+(x2+3x+2)i 是纯虚数,则?????xx22- +13= x+02,≠0, 即 x=1,故②
错. 【答案】 ③

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 2:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问 3:_______________________________________________________ 解惑:________________________________________________________

[小组合作型]

复数的概念

(1)给出下列三个命题:①若 z∈C,则 z2≥0;②2i-1 的虚部是 2i;

③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( ) 【导学号:60030069】

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则实数 a,b 的值

分别是__________.

(3)下列命题正确的是__________(填序号). ①若 x,y∈C,则 x+yi=1+2i 的充要条件是 x=1,y=2; ②若实数 a 与 ai 对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ③实数集的补集是虚数集.

【自主解答】 (1)复数的平方不一定大于 0,故①错;2i-1 的虚部为 2, 故②错;2i 的实部是 0,③正确,故选 B.
(2)由题意,得 a2=2,-(2-b)=3,所以 a=± 2,b=5. (3)①由于 x,y 都是复数,故 x+yi 不一定是代数形式,因此不符合两个复 数相等的充要条件,故①是假命题. ②当 a=0 时,ai=0 为实数,故②为假命题. ③由复数集的分类知,③正确,是真命题. 【答案】 (1)B (2)± 2,5 (3)③

判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可, 所以解答这类题型时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后 肯定”的方法进行解答. 2.化代数式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数 化为 a+bi 的形式,更要注意这里 a,b 均为实数时,才能确定 复数的实、虚部.

[再练一题] 1.下列命题中是假命题的是( ) A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是{0} D.纯虚数集与实数集的交集为空集 【解析】 复数可分为实数和虚数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此, 实数集与虚数集没有公共元素,C 是假命题. 【答案】 C

复数的分类

(1)复数 z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是( )

A.|a|=|b|

B.a<0 且 a=-b

C.a>0 且 a≠b

D.a>0 且 a=±b

(2)已知 m∈R,复数 z=mm?m-+12?+(m2+2m-3)i,当 m 为何值时,

①z 为实数? ②z 为虚数? ③z 为纯虚数?

【精彩点拨】 依据复数的分类列出方程(不等式)组求解.

【自主解答】 (1)要使复数 z 为纯虚数,则?????aa2+-|ab|2≠=00,, ∴a>0,a=±b.
故选 D. 【答案】 D

(2)①要使 z 为实数,需满足 m2+2m-3=0,且mm?m-+12?有意义,即 m-1≠0, 解得 m=-3.
②要使 z 为虚数,需满足 m2+2m-3≠0,且mm?m-+12?有意义,即 m-1≠0, 解得 m≠1 且 m≠-3.
③要使 z 为纯虚数,需满足mm?m-+12?=0,且 m2+2m-3≠0,解得 m=0 或 m=-2.

利用复数的分类求参数时,要先确定构成实部、虚部的式 子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复 数 z=a+bi?a,b∈R?为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0.

[再练一题] 2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如何? 【解】 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,即|a|=-a,所以 a≤0.

[探究共研型]
复数相等的充要条件 探究 1 a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚数的充分条件吗? 【提示】 因为当 a=0 且 b≠0 时,z=a+bi 才是纯虚数,所以 a=0 是复 数 z=a+bi 为纯虚数的必要不充分条件. 探究 2 3+2i>3+i 正确吗? 【提示】 不正确,如果两个复数不全是实数,那么它们就不能比较大小.

(1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数 x,y 的值; (2)关于 x 的方程 3x2-a2x-1=(10-x-2x2)i 有实根,求实数 a 的值. 【精彩点拨】 根据复数相等的充要条件求解. 【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件, 得?????xy+ =yx= +01, ,
解得?????yx==12-. 12,

(2)设方程的实根为 x=m, 则原方程可变为 3m2-a2m-1=(10-m-2m2)i,
所以???3m2-a2m-1=0, ??10-m-2m2=0,
解得 a=11 或 a=-751.

1.复数 z1=a+bi,z2=c+di,其中 a,b,c,d∈R,则 z1 =z2?a=c 且 b=d.
2.复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重 要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本 思路是:
(1)等式两边整理为 a+bi(a,b∈R)的形式; (2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成 的方程组; (3)解方程组,求出相应的参数.

[再练一题] 3.已知 x2+y2-6+(x-y-2)i=0,求实数 x,y 的值. 【导学号:60030070】 【解】 由复数相等的条件得方程组?????xx-2+yy-2-2=6=0,0,②① 由②得 x=y+2,代入①得 y2+2y-1=0. 解得 y1=-1+ 2,y2=-1- 2. 所以 x1=y1+2=1+ 2,x2=y2+2=1- 2. 即?????xy= =1-+1+2,2 或?????xy= =1--1-2,2.

[构建·体系]

1.设集合 A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集 S=C,则下列结

论正确的是( )

A.A∪B=C

B.A=B

C.A∩(?SB)=?

D.(?SA)∪(?SB)=C

【解析】 集合 A,B,C 的关系如图,可知只有(?SA)∪(?SB)=C 正确.

【答案】 D

2.若复数 4-3a-a2i 与复数 a2+4ai 相等,则实数 a 的值为( )

A.1

B.1 或-4

C.-4

D.0 或-4

【解析】 由复数相等的条件得

??4-3a=a2, ???-a2=4a,

∴a=-4.

【答案】 C

3.复数(1- 2)i 的实部为________. 【导学号:60030071】
【解析】 ∵复数(1- 2)i=0+(1- 2)i,∴实部为 0. 【答案】 0

4.已知 z1=m2-3m+mi,z2=4+(5m+4)i,其中 m∈R,i 为虚数单位,若 z1=z2,则 m 的值为________.
【解析】 由题意得 m2-3m+mi=4+(5m+4)i,从而?????mm2=-53mm+=44,, 解得 m=-1.
【答案】 -1

5.(2016·佛山高二检测)已知集合 M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合 N={3i, (a2-1)+(b+2)i}满足 M∩N≠?,求整数 a,b.
【解】 依题意得(a+3)+(b2-1)i=3i,① 或 8=(a2-1)+(b+2)i,② 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③ 由①得 a=-3,b=±2, 由②得 a=±3,b=-2. ③中,a,b 无整数解不符合题意. 综上所述得 a=-3,b=2 或 a=3, b=-2 或 a=-3,b=-2.

我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________



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