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第三章 代 数 方 程SECTION4


§4 实根的近似计算 4
设 f(x)为已知连续函数,ξ是方程 f(x)=0 的根,这里方程可以是一般方程(代数方程或超越方程).在实际问题中都给出了根的范围, 例如代数方程 - f(x)=a0xn+a1xn 1++an-1x+an=0 的根ξ的范围是
1 max{|a1|,|a2|,,|an|} a0 因此可以假定方程在区间 (a,b) 内只有一个根(若有两个根,则将区间的一个端点换为使 f ′ (x)=0 的点).并由函数的连续性可知,一般来说,在根的附近 f(x)是异号的(当 f ′ (ξ)=0 或 ∞ 除外) ,所以在下面介绍的各种近似计算中,都假定 f(a)和 f(b)异号.

|ξ|≤1+

一,秦九韶法*
秦九韶法基本上是通过逐次试验求根的近似值的方法,试验次数愈多,所得近似值愈接 近根的真值.系统地继续这一过程,直至达到预定的有效数字的位数.现举例具体说明这个方 法. 例 求方程 f(x)= x 3 + 18 x 30 = 0 (1) 的根到五位有效数字. 应用笛卡尔符号法则可知这个方程有一个正根.由于 f(1)=-11, =14, f(2) 这个正根在(1,2) 之间. 现在应用秦九韶法求这个方程的近似根.先设 p = x 1 ,这里 p 表示 1 到所求根的距离. 应用多项式的泰勒公式(秦九韶法,见§2,一),得到关于 p 的方程

p 3 + 3 p 2 + 21 p 11 = 0
其算式为

(2)

1 1 1 1 1 1

0 1 18 2 19 - 30 3 21 - 11 d

现在求纯小数 p 的近似值,由于纯小数的三次方或二次方的值更小,可暂舍去方程(2)的 头两项而来计算 21 p -11=0, p =0.5238….但舍去的两项是正的, 即 这个值显得太大.当 p = 0.500 时,方程(2)的左边各项的和是仍是正数(0.375),而当 p =0.400 时,方程(2) 的左边各 项的和是负数(-2.056).因此,设 p = 0.4 + h(h > 0) ,即 h=p- .4 ,再应用多项式的泰勒公式, 0 得到关于 h 的方程 (3) h 3 + 4.2h 2 + 23.88h 2.056 = 0 其算式为
* 我国古代数学家秦九韶在他所著的<<数书九章>>(1247),给出一个求代数方程的根近似值 的方法,这个方法一般书上都称为和纳法.实际上和纳在 1819 年才提出这个方法,比秦九 韶晚五百多年.

0.4 1 1 3 1 3.4 21 11 1 3.8 22.36 - 1 4.2 23.88 - .056 d 2
现在求小数 h 的近似值,舍去头两项,求得 h=0.08609….因舍去两个正量,所得的 h 太大, 所以设 h=0.08 + q(q > 0) ,即 q=h- .08 .应用上述方法得到关于 q 的方程 0 (4) q 3 + 4.44q 2 + 24.5712q 0.118208 = 0 同 上 面 一 样 , 从 方 程 (4) 的 后 两 项 求 得 q = 0.00481, 设 q = 0.004 + r ( r > 0) , 即 r = q 0.004, 得到关于 r 的方程 (5) r 3 + 4.452r 2 + 24.606768r 0.019852096 = 0 从后两项求出 r 的近似值 r =0.0008…,因舍去的都是正量,所以方程(5)的根在 0.0008 和 0.00081 之间. 现在把(2),(3),(4),(5),的各个近似值 0.4,0.08,0.004,0.0008 相加得总和 0.4848,然后加到第一 次近似值 1 上,所以方程(1)的根在 1.4848 与 1.48481 之间,取五位有效数字为 1.4848. 用秦九韶法还能求负的近似值.想求 f(x)=0 的一切负实根,可先求 f(-x)的正实根,然后 改变符号,即得负实根.

二,二分法
假定 f(x)在[a,b]上连续,且 f(a)f(b)<0(这里假定 a+b f(a)<0,f(b)>0 ) , 取 区 间 [a,b] 的 中 点 ,若 2 a+b a +b . 不然,若 f =0 ,则 f(x)=0 的根是 ξ = 2 2 a+b a +b a +b ;若 f f >0,则令 a1=a,b1= <0, 2 2 2 a+b 则令 a1= ,b1=b. 于是形成新区间 [a1,b1] ,它包含 2 f(x)=0 的根ξ(图 3.2). a +b a +b 再取[a1,b1]的中点 1 1 ,若 f 1 1 =0,则ξ 2 2 a +b a +b a +b a +b a +b = 1 1 .若 f 1 1 >0,则令 a2=a1,b2= 1 1 ;若 f 1 1 <0,则令 a2= 1 1 ,b2=b1.于 2 2 2 2 2 ba 是又形成新区间[a2,b2],其长度等于 2 ,它包含方程 f(x)=0 的根ξ.…若允许误差ε= 10 k , 2 k + lg(b a ) 则按这个过程作出区间[a1,b1], [a2,b2], [a3,b3],, [an,bn],n= ([x]表示 x 的整数部 lg 2 分) ,于是 a +b ξ *= n n 2 是方程 f(x)=0 的近似根,误差不超过 ba |ξ-ξ*|≤ n +1 ≤10 k 2 二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法,它只要求函数是连续的,因此

它的使用范围很广,并便于在电子计算机上实现.但是它不能求重根,也不能求虚根.

三,迭代法
把方程 f(x)=0 表成它的等价形式 或一般地 f1(x)=f2(x) 式中 f1(x)是这样一个函数:对任意实数 c,能容易算出方程 f1(x)=c 的精确度很高的实根.如果 对任意 a≤x1≤b,a≤x2≤b,下式成立: ′ f 2 ( x2 ) ≤ q <1 ′ f 1 ( x1 ) 则下面迭代过程是收敛的. 首先从一个近似根 x0 出发(x0 可由图解法粗略估计出) ,代入方程右边,解方程 f1(x)=f2(x0) 得到第一个近似根 x=x1,再解方程 f1(x)=f2(x1) 得到第二个近似根 x=x2, ,类似地由第 n 个近似根
xn,解方程 f1(x)=f2(xn) 得到第 n+1 个近似根 x=xn+1,于是得到一系列不同 精确度的近似根 x0, x1, x2,, xn,

x=(x)

它收敛于方程的根ξ(图 3.3). 收敛速度(即误差消失速度)与 an 相当,而 x x1 a≈ 2 x1 x0 用
2 x0 代替 x2 可加速收敛.式中x1=x2-x1 为 x1 的一阶差分, 2x0=x1-x0 为 x0 的二阶差分. 对 于 方 程 x=(x) , 只 要 (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 且 ′(x ) ≤ q<1,那末,它的根可由 x2 = x2


(x1 )2

x1=(x0) x2=(x1) xn+1=(xn)

来接近(图 3.4).

四,牛顿法
1.一般牛顿法 设 f(x)在[a,b]上连续, f ′(x ) 也连续,且 f ′(x ) ≠0, f ′′(x ) ≠0,f(a)f(b)<0(设 f(a)<0,f(b)>0) , 过点(a,f(a))(或点(b,f(b)))作曲线的切线: y f (a ) y f ( b) = f ′( a ) (或 = f ′(b) ) xa xb

它和 x 轴的交点为 x=a- 用迭代公式

f (a ) f (b) (或 x=b- ) f ′(a ) f ′(b) xn+1=xn-
f ( xn ) f ′( xn )

并取初始值

a , x0= b,

当f ′′( x ) < 0 当f ′′( x ) > 0

可计算出方程 f(x)=0 的根的近似值(图 3.5).误差ξ-xn不超过 f ( xn ) min f ′( x )
a ≤ x ≤b

一般选取的初始值 x0,要满足不等式
f ′( x0 ) >
2

f ′′( x0 ) f ( x0 ) 2

2.近似牛顿法 如果 f ′(x ) 不易算出,可改用差商代替,得出近似牛顿法迭代程序: 2 f ( xn )h xn+1=xn f ( xn + h ) f ( xn h ) 3.逐次压缩牛顿法 求实系数代数方程 f(x)=a0xn+a1xn-1++an=0 的单实根时,用牛顿法求出一个实根 x0 后,可把多项式的次数降低一次,降低次数后的多项 式系数 bk 为 b0=a0 bk=ak+x0bk-1 (k=1,2,,n-1) 然后,再把求出的实根作为初始近似值,用同法求出再次降低次数的多项式的实根,依此求 出全部单实根. 4.牛顿法解非线性方程组 假设非线性方程组

u ( x, y ) = 0 υ ( x, y ) = 0

存在一组近似解 P0=(x0,y0),且

u x υ x

u y υ y

≠0
p0

可用迭代公式:

u u xn+1=xn+ 1 y J n υ υ y

pn

u u x yn+1=yn+ 1 υ Jn υ x
式中 Pn 为点(xn,yn),Jn 为雅可比式 J 在 Pn 的值:

pn

u x Jn = υ x

u y υ y

pn

五,弦截法(线性插值法) 假设 f(x)在[a,b]上连续, f ′(x ) , f ′′(x ) 都不变号,且 f(a)f(b)<0(这里假定 f(a)<0,f(b)>0). 过点(a,f(a))和(b,f(b))的直线是: y f (a ) xa f (b) y b x = = (或 ) f (b) f ( a ) b a f (b) f ( a ) b a

(b a ) f ( a ) ( b a ) f ( b) (或 x=b- ). f (b) f ( a ) f (b) f ( a ) (a)当 f ′(x ) f ′′(x ) >0 时,用迭代公式 (b x n ) f (b) x n+1 = b f (b) f (a) x = a 0 可求出方程的近似根(图 3.6(a)).

它和 x 轴的交点是 x=a-

(b)当 f ′(x ) f ′′(x ) <0 时,用迭代公式
( xn a ) f (a ) xn +1 = a f ( xn ) f ( a ) x = b 0

可求出方程 f(x)=0 的近似根(图 3.6(b)). 六,联合法(牛顿法与弦截法联合使用) 假设 f(x)在[a,b]上连续, f ′(x ) , f ′′(x ) 都不变号,且 f(a)f(b)<0(这里假定 f(a)<0,f(b)>0). (a)当 f(a)与 f ′′(x ) 同号时(图 3.7(a)) ,用迭代公式 f (a ) x1=a f ′( a )

( a b) f ( b ) f ( a ) f ( b) f ( x1 ) x2=x1 f ′( x1 ) ′ ( x x ′ ) f ( x1 ) ′ ′ x2 = x1 1 1 ′ f ( x1 ) f ( x1 )

′ x1 =b


xn=xn-1 f ( xn 1 ) f ′( x n1 ) ′ ′ ( x xn 1 ) f ( xn 1 ) ′ ′ xn = x n 1 n 1 ′ f ( xn 1 ) f ( x n 1 )

可求出方程 f(x)=0 的近似根. (b)当 f(a)与 f ′′(x ) 异号时(图 3.7(b)) ,用迭代公式 (b a ) f ( a ) x1=a f (b) f ( a ) f (b) ′ x1 =b f ′(b) ( x ′ x1 ) f ( x1 ) x2=x1 1 ′ f ( x1 ) f ( x1 ) ′ f ( x1 ) ′ ′ x2 = x1 ′ f ′( x1 )

xn=xn-1

′ ( xn 1 xn1 ) f ( xn1 ) ′ f ( xn 1 ) f ( xn 1 ) ′ f ( xn 1 ) ′ ′ xn = x n 1 ′ f ′( x n1 )

可求出方程 f(x)=0 的近似根. ′ ′ ′ ′ 误差 x n ξ ≤ xn xn 或 x n ξ ≤ xn xn . 七,抛物线法(穆勒法) 求实系数 n 次方程
f(x)=xn+a1xn-1++an=0 (1)

的近似根. 可先求出 f(x)=0 的一个根 x=r,则 f(x)=(x-r)g(x) - - =(x-r)(xn 1+b1xn 2++bn-1) 式中 g(x)是 n-1 次多项式,然后再求出 g(x)的根,依此类推,可以求出 f(x)=0 的全部实根来. 首先选取 x 轴上三点:x0,x1,x2,通过曲线 y=f(x)上的三点:(x0,f(x0)), (x1,f(x1)),(x2,f(x2))作一抛 物线 y=P(x)(即拉格朗日插值多项式,见第十七章, §2,三) ,抛物线与 x 轴有两个交点,取离 x2 较近的 一点作为 x3;再过三点(x1,f(x1)), (x2,f(x2)), (x3,f(x3))作一 ,它与 x 轴有两个交点,取 抛物线(图 3.8 中的虚线) 离 x3 较近的一点作为 x4,依此法作出点 xi-2, xi-1, xi, 再过三点(xi-2,f(xi-2)), (xi-1,f(xi-1)), (xi,f(xi))作一抛物线与 x 轴有两个交点,取离 xi 较近的一点作为 xi+1,等等. 对于预先给定的允许误差ε,当迭代过程进行到 xi+1-xi<ε 时,就取 xi+1 作为 f(x)=0 的一个近似根. 由此得到的序列是收敛的.极限值 ξ = lim x n ,就是
n →∞

方程 f(x)=0 的根. 迭代步骤如下: (1)根据经验对上式(1)可取 x0=-1, x1=1, x2=0 作为初始值,于是 - f(x0)=(-1)n+(-1)n 1a1+-an-1+an
f(x1)=1+a1++an f(x2)=an

或用 x=0 附近的近似值
f(x0)≈an-2-an-1+an f(x1) ≈an-2+an-1+an f(x2)=an

(2)设
xi xi 1 x xi 2 , δi=1+λi= i xi 1 xi 2 xi 1 xi 2 2 gi=f(xi-2)λi -f(xi-1)λiδi +f(xi)λi hi=f(xi-2)λi2 -f(xi-1)δi2 +f(xi)(λi+δi) 由此根据 xi-2, xi-1, xi 计算出λi, δi, gi, hi,并根据下列公式计算出λi+1 λi =

hi ± hi 4 f ( xi )δ i g i (hi>0,根式取正号;hi<0,根式取负号) 当 f(xi-2)=f(xi-1)=f(xi)时,取λi+1=1. (3)根据公式 xi+1=λi+1(xi-xi-1)+xi 计算出 xi+1 八,林士谔—赵访熊法(劈因子法) 由于解二次方程是容易的,因此在求实系数代数方程 - f(x)=xn+a1xn 1++an-1x+an=0
2

λi+1=

2 f ( xi )δ i

的复根时,如果找出 f(x)的一个二次因子,就等于找到方程的一对复根. 设 f(x)的一个近似二次因子(任意选取)为 ω (x)=x2+px+q 可用下述方法使它精确化: (1)用ω (x)去除 f(x),得到商式 Q(x)和余式 R(x),即 f(x)= ω (x)Q(x)+R(x) =(x2+px+q)(xn-2+b1xn-3++bn-3x+bn-2)+(r1τ+r2) 式中商式与余式的系数可用下面的递推公式算出: bk=ak-pbk-1-qbk-2, k=1,2,,n b-1=0, b0=1 r1=bn-1=an-1-pbn-2-qbn-3 r2=bn+pbn-1=an-qbn-2 (2)用ω (x)去除 xQ(x)得到余式 R[1](x)=R11x+R21` 式中 R11,R21,由下面的递推公式算出: ck=bn-pck-1-qck-2, k=1,2,,n-3 c-1=0, c0=1 R11=bn-2-pcn-3-qcn-4 R21=-qcn-3 (3)用ω (x)去除 Q(x)得到余式 R[2](x)=R12x+R22` 式中 R12,R22,由下面的公式算出: R12=bn-3-pcn-4-qcn-5 R21=bn-2-qcn-4 (4)解二元一次线性方程组

得到 u,υ . (5)修正后的二次式为

R11u + R12υ = r1 R21u + R22υ = r2
ω [1](x)=x2+(p+u)x+(q+υ )

如果它还不够精确,再重复(1)至(5)的步骤进行修正,直到足够精确为止. 林士谔—赵访熊法求实系数代数方程的复根,其优点是避免了复数运算,缺点是程序比 较复杂. 九,下降法 对任意实系数超越方程组

f1 ( x1 , x2 , , xn ) = 0 f ( x , x ,, x ) = 0 2 1 2 n f n ( x1 , x2 , , xn ) = 0
定义目标函数 F(x1,x2,,xn)= ∑ f i 2
i =1 n

(1)

如果 F(ξ1,ξ2,,ξn)<ε(ε为在一定精确度下给定的适当小的正数) ,则认为ξ1,ξ2,,ξn 为方程组 (1)的解. 具体计算步骤如下: (1)任取一组初始值 x1(0),x2(0),,xn(0)(全不为零) ,设已按照下述过程计算到第 m 步得到 一组值:x1(m),x2(m),,xn(m) (2)计算
Fm=F(x1(m),x2(m),,xn(m))

(3)若 Fm<ε,则 x1(m),x2(m),,xn(m)是所求的解,否则计算 n 个偏导数:
Fm 1 = [F(x1(m),x2(m),,xi(m)+Hi,, xn(m))-F(x1(m),x2(m),,xn(m))] (m) Hi xi Hi=ωxi(m) i=1,2,,n Fm , xi(m ) i=1,2,,n

(4)计算
xi(m+1)= xi(m) λm

式中 Fm ∑ x ( m ) i =1 i (m+1) 得到一组{xi },再重复(2)(3),(4)的计算. ,
n

λm =

( ( F ( x1( m ) , x2m ) , , x nm ) ) 2


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