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人教A版高中数学必修2课件第1部分第一章1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积课件_图文

理解教材新知

第 1 部 分

第 一 章

1.3 1.3.1

突破 常考 题型

题型一 题型二 题型三

跨越高分障碍

应用落实体验

随堂即时演练 课时达标检测

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1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积
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[提出问题] 北京奥运会的重要前奏是奥运圣火的传 递,圣火由“祥云”火炬承载,传遍五洲四 海,宏扬奥林匹克精神.“祥云”火炬外型 是细长的圆台形式,长72 cm,重985克,燃 料为丙烷.
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问题1:能否计算出“祥云”火炬的外层着色需要覆 盖多大的面积?
提示:可以,即计算圆台的表面积. 问题2:能否计算其内部能盛装多少液态的丙烷? 提示:可以,即计算其容积.
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[导入新知] 1.几种几何体的表面积公式
图形

表面积公式

多面体

多面体的表面积就是_各__个__面__的 面积的和,也就是_展__开__图___的 面积

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圆 柱
旋圆 转锥 体
圆 台

图形

表面积公式
底面积:S底=__π__r2___ 侧面积:S侧=__2_π_r_l _ 表面积:S=_2_π__rl_+__2_π_r_2 _____
底面积:S底=__π_r2___ 侧面积:S侧=__π_r_l __ 表面积:S=___π_r_l+__π_r_2___
上底面面积:S上底=__π_r_′__2____ 下底面面积:S下底=__π_r_2__ 侧面积:S侧=__π_l_(r_+__r_′__) ___ 表面积:S=_π_(_r_′__2+__r_2_+__r′__l_+__r_l)_
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2.柱体的体积公式 V=Sh(S 为底面面积,h 为高) 锥体的体积公式 V=13Sh(S 为底面面积,h 为高) 台体的体积公式 V=13(S′+ S′S+S)h
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[化解疑难] 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同. (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过 实验得出,等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍. (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.

V=Sh

)V=13(S′+ S′S+S)h

)V=13Sh
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柱、锥、台的表面积 [例1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示, 该几何体的表面积是________.
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[解析] 由三视图,画出几何体的直观图易求得基本量, 如图所示,其表面积 S=?2+25?×4×2+4×(2+4+5+5)=28 +64=92.
[答案] 92
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[类题通法] 1.求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基 本几何体,再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差, 从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何体展开 求其展开图的面积进而得表面积. 2.结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点,解 决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它还原为直观图, 特别要注意从三视图中得到几何体的相关量,再结合表面积 公式求解.
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[活学活用] 1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面
展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积. 解:如图所示,设圆台的上底面周长为 c cm,由于扇环的 圆心角是 180°,则 c=π·SA=2π×10,解得 SA=20(cm). 同理可得 SB=40(cm), 所以 AB=SB-SA=20(cm). 所以 S 表=S 侧+S 上+S 下 =π×(10+20)×20+π×102+π×202 =1 100π(cm2).
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柱、锥、台的体积 [例 2] 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等 于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积. [解] 如图所示,在三棱台 ABC-A′B′C′中,O′、O 分别为上、下底面的中心,D、D′分别是 BC、B′C′的中心, 则 DD′是等腰梯形 BCC′B′的高, 所以,S 侧=3×12×(20+30)× DD′=75DD′.
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又 A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和 为
S 上+S 下= 43×(202+302)=325 3(cm2). 由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD′=325 3, 所以,DD′=133 3(cm). 又∵O′D′= 63×20=103 3(cm),
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OD= 63×30=5 3(cm), ∴棱台的高 h=O′O= D′D2-?OD-O′D′?2



13 ?3

3?2-?5

3-103 3?2=4

3(cm),

由棱台的体积公式,可得棱台的体积为

V=h3(S 上+S 下+ S上S下)

=433×(325 3+ 43×20×30) =1 900(cm3).

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[类题通法] 求几何体的体积时,要注意利用好几何体的轴截面(尤 其为圆柱、圆锥时),准确求出几何体的高和底面积;同时, 对不规则的几何体可利用分割几何体或补全几何体的方法 转化为柱、锥、台体的体积计算问题.
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[活学活用] 2.已知圆台的高为 3,在轴截面中,母线 AA1 与底面圆直径
AB 的夹角为 60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆 台的体积. 解:如图所示,作轴截面 A1ABB1,设圆台的上、下底面半 径和母线长分别为 r、R,l,高为 h. 作 A1D⊥AB 于点 D,则 A1D=3. 又∵∠A1AB=60°,∴AD=taAn16D0°, 即 R-r=3× 33,∴R-r= 3.
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又∵∠BA1A=90°,∴∠BA1D=60°. ∴BD=A1D·tan 60°,即 R+r=3× 3, ∴R+r=3 3,∴R=2 3,r= 3,而 h=3, ∴V 圆台=13πh(R2+Rr+r2)
=13π×3×[(2 3)2+2 3× 3+( 3)2] =21 π. 所以圆台的体积为 21 π.
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简单组合体的表面积和体积 [例3] 已知△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB =5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋 转体的表面积和体积. [解] 如图,在△ABC 中,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D. 由 AC=3,BC=4,AB=5, 知 AC2+BC2=AB2,则 AC⊥BC. ∵BC·AC=AB·CD,
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∴CD=152,记为 r=152,那么△ABC 以 AB 所在直线为轴 旋转所得旋转体是两个同底的圆锥,且底半径 r=152,
母线长分别是 AC=3,BC=4, 所以 S 表面积=πr·(AC+BC)=π×152×(3+4)=854π, V=13πr2(AD+BD)=13πr2·AB =13π×???152???2×5=458π. 所以,所求旋转体的表面积是854π,体积是458π.
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[类题通法] 求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简 单几何体的结构特征及组合形式,对于与旋转体有关的组 合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及 母线长,再分别代入公式求解.
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[活学活用] 3.(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积
为( )

A.12π C.57π

B.45π
D.81π
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解析:由三视图可知,该几何体是由底面直径为 6,高为 5 的 圆柱与底面直径为 6,母线长为 5 的圆锥组成的组合体,因此, 体积为 V=π×32×5+13×π×32× 52-32=57π. 答案:C
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4.求几何体表面积、体积考虑不全面
[典例] 把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧 面,求这个圆柱的体积.
[解] 设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,高为 h.当 2πr =4,l=2 时,r=π2,h=l=2,所以 V 圆柱=πr2h=π8.
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当 2πr=2,l=4 时,r=π1,h=l=4,所以 V 圆柱=πr2h=π4. 综上所述,这个圆柱的体积为π8或π4. [易错防范] 把矩形卷成圆柱时,可以以4为底,2为高;也可以以2 为底,4为高.容易漏掉一种情况,解决此类问题一定要考 虑全面.
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[成功破障] 如图,从底面半径为 2a,高为 3a 的圆柱中, 挖去一个底面半径为 a 且与圆柱等高的圆锥, 求圆柱的表面积 S1 与挖去圆锥后的几何体的表 面积 S2 之比. 解:由题意知,S1=2π·2a· 3a+2π·(2a)2=(4 3+8)πa2,S2 =S1+πa·(2a)-πa2=(4 3+9)πa2. ∴S1∶S2=(4 3+8)∶(4 3+9).
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[随堂即时演练]

1.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为

A.1∶2

B.1∶ 3

C.1∶ 5

D. 3∶2

解析:设圆锥底面半径为 r,则高 h=2r,

()

∴其母线长 l= 5r. ∴S 侧=πrl= 5πr2,S 底=πr2. 答案:C
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2.若长方体的长、宽、高分别为 3 cm、4 cm、5 cm,则长方

体的体积为( )

A.27 cm3

B.60 cm3

C.64 cm3

D.125 cm3

解析:长方体即为四棱柱,其体积为底面积×高,即为

3×4×5=60 cm3.

答案:B

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3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体 积是________.

解析:易知圆锥的母线长为 2,设圆锥的半径为 r,则 2πr =12×2π·2, ∴r=1,则高 h= l2-r2= 3.

∴V 圆锥=13πr2·h=13π×

3=

3 3 π.

答案:

3 3π

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4.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10, 则圆台的侧面积为________. 解析:已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4, 母线长为 10,设圆台上底面的半径为 r, 则下底面半径和高分别为 4r 和 4r, 由 100=(4r)2+(4r-r)2,得 r=2, 故圆台的侧面积等于 π(r+4r)l=π(2+8)×10=100π. 答案:100π
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5.一个正三棱柱的三视图如图所示(单 位:cm),求这个正三棱柱的表面积 与体积. 解:由三视图知直观图如图所示,则高 AA′=2 cm, 底面高 B′D′=2 3 cm,
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所以底面边长 A′B′=2 3× 23=4 cm. 一个底面的面积为12×2 3×4=4 3 cm2. 所以 S 表面积=2×4 3+4×2×3=(24+8 3) cm2, V=4 3×2=8 3 cm3. 所以表面积为(24+8 3) cm2,体积为 8 3 cm3.
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