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1.6子集与推出关系


§1.6子集与推出关系
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已知 A ? B ,那么 x ? A是x ? B 的什么条件?
充分条件 已知 A ? B ,那么 x ? B是x ? A的什么条件? 必要条件

什么是描述法? 用集合中元素的公共属性来描述集合,并写在大括号内,这 种方法叫做描述法。

集合与推出关系
本节的题目是什么?
集合与推出关系是有联系的. 用描述法表示集合: A:大于5的实数; B:不小于3的实数. 试判断α是β的什么条件: α: x 是大于5的实数; β: x 是不小于3的实数.

A ? {x | x ? 5} B ? {x | x ? 3}

A?B

α ? β α是β的充分(非必要)条件.

子集与推出关系
用描述法表示集合: A:矩形; B:平行四边形.
A ? {矩形} B ? {平行四边形}

试判断α是β的什么条件: α:四边形是矩形; β:四边形是平行四边形.

A?B

α ? β α是β的充分(非必要)条件.

通过上面两例,同学们觉得集合与推出关系间有什么联系吗?

如果集合A={x|x满足性质?},B={x|x满足性质β}. 已知A?B,那 么?是β的什么条件?

包含关系与推出关系
Prop. 设集合A={x|x满足性质p},B={x|x满足性质q}, 则: A?B ? p ?q.

证明:充分性:设x满足性质p,则由于A?B, 说明x满足性质q, 即满足性质p一定满足性质q, 也即p ?q.
必要性:设p ?q, 任取x?A,那么x满足性质p,由p ?q, 则有x满足性质q,即 x ?B, 由x的任意性知A?B. 综上所述, A?B ? p ?q. 思考集合的包含关系“?”可以细分为“?”与“=”, 此时对 应的推出关系是怎样的?“A?B”又对应了什么呢?

例题
试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件: α:x=1; β:x2=1. A={x|x=1}={1}; B={x|x2=1}={1, ?1}. A?B 则α是β的 充分条件. 充分非必要条件. 那么α是β的必要条件吗? α:能被5整除的正整数; β:个位数是5的正整数. A={x|x=5k, k?N*} ; B={x|x的个位数是5}. A?B A?B 则α是β的

必要非充分条件. 必要条件.

例题
试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件: α: 1< x <3; β:(x?1)(x ?3) < 0.

A={x| 1< x <3} ; B={x| 1< x <3}.
A=B 则α是β的

充分必要条件.

书本p24,练习1.6—1.

练习
设α:1?x ? 3; β:m+1 ?x ?2m+4, m?R, α是β的充分条件,求 m的范围. 解:设A={x|1?x ? 3};B={x|m+1 ?x ?2m+4}, 因为α是β的充分条件,所以A ? B.

?m ? 1 ? 1 于是有: ? ?3 ? 2m ? 4
1 解得: ? m ? 0. ? 2
m+1 1
3 2m+4 x

本节小结
设集合A={x|x满足性质?},B={x|x满足性质?}. 完成下表. 包含关系 A?B A?B A=B A 、B不相互包含 推出关系

?是?的什么条件
充分非必要 必要非充分 充分必要 非充分非必要

α?β β?α ? β?α α?β ? α ?β α?β β?α ? ?


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