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第三章 代 数 方 程 1


第三章 代 数 方 程
代数方程的理论有下列几个主要问题: (1) 根式解问题; (2) 根的分布及近似计算; (3) 根的存在问题; (4) 根的性质的研究. 本章着重介绍(1)和(2)两个问题,对于(3)和(4)两个问题仅作简略的叙述. 根式解问题就是如何把方程的根用公式表达出来,这里具体列出了实数域上二,三,四 次方程根的表达式,并且指出根与系数之间的相互关系,还叙述了阿贝耳定理,即五次以及 更高次的代数方程没有一般的根式解.本章介绍了代数方程的性质, 其中提到关于根的存在问 题的重要的"代数基本定理" ;并且叙述了伽罗瓦所指出的,存在用代数方法不能解的具体方 程;也介绍了代数方程的某些特殊解法与对称多项式的基本定理;给出了根的隔离的各种判 别法.最后介绍了方程实根的近似计算的多种方法,并对秦九韶法作了详细说明.

§1

二,三,四次方程的根的表达式

1. 基本概念 [数域] 如果一个数系满足下列两个条件,则称这个数系为一个数域: (i) 系中有不等于零的数; (ii) 对系内任意两个数(这两个数也可相同)的和,差,积,商(零不能作除数)仍为系 内的数,这就是说,系内的数对于四则运算是封闭的. 例如,有理数系,实数系,复数系都是数域. [多项式的根] 形如 f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2++an-1x+an=0 的方程称为在一个数域 S 上的一个未知数的 n 次代数方程,f(x)称为一元 n 次多项式,式中 n 为正整数,a0,a1,a2,,an-1,an 是属于数域 S 的常数,称为方程的系数,最高次项系数 a0 简称 为首项系数. 设 c 是一个常数,使 f(c)=0,则称 c 为多项式 f(x)或方程 f(x)=0 的根.本节先考虑在实数域上 的二,三,四次方程. 2. 二次方程 二次方程根的表达式及根与系数的相互关系 ax2+bx+c=0 x2+px+q=0 方程 2 根的表达式 b ± b 2 4ac p p x1,2= x1,2= ± q 2a 2 2 根与系数的关系 b x1 + x 2 = p x1 + x 2 = a x1 x 2 = q c x1 x2 = a 2 =b -4ac =p2-4q >0 有两个不等的实根 >0 有两个不等的实根 判别式 =0 有两个相等的实根 =0 有两个相等的实根 <0 有两个复根 <0 有两个复根

3.三次方程 [x3-1=0] 方程 的三个根为 x1=1, 1+ i 3 2 x2=ω= , 方程

x3-1=0 x3=ω2=
1 i 3 2 (i2=-1) (1)

[x3+px+q=0(卡尔丹公式)]

x3+px+q=0

的三个根为
x1=
3



q + 2

q p + + 2 3
2 3

2

3

3



q q p + 2 2 3
2 3

2

3

x2=ω

3

q + 2
q + 2

q p 2 + +ω 2 3
2 3

q q p + 2 2 3 q p + 2 3
2 3

3

(2)

q q p + +ω 3 2 3 2 2 式中ω,ω 同(1).这叫做卡尔丹公式. 根与系数的关系为 p 1 1 1 x1+x2+x3=0, + + = , x1 x 2 x3 q 判别式为
x3=ω2
3

x1 x2 x3 = - q

2 3 >0 时,有一个实根和两个复根; =0 时,有三个实根,当 p=q=0 时,有一个三重零根; q p 当 = ≠ 0 时,三个实根中有两个相等; <0 时,有三个不等的实根. 2 3 三个根的三角函数表达式(仅当 p<0 时)为 x1=2 3 r cosθ x2=2 3 r cos(θ+120°) x3=2 3 r cos(θ+240°) 式中
1 p q r= , θ= arc cos 3 3 2r 一般三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 ( a ≠ 0)
x=y
3
2 3

q p = +

2

3

[ax3+bx2+cx+d=0]

上式除以 a,并设
b 3a

则化为如下的形式
y3+py+q=0 可按(2)的情形处理,解出 y1,y2,y3,则一般三次方程的三个根为 b b b x1=y1 , x2=y2 , x3=y3 3a 3a 3a 三个根与系数的关系为 b 1 1 1 c d x1+x2+x3= , + + = , x1x2x3= a x1 x 2 x3 d a

4.四次方程 [ax4+cx2+e=0]

方程 ax4+cx2+e=0

中,设 y=x2,则化为二次方程 ay2+cy+e=0 可解出四个根为 x1,2,3,4= ± [ax4+bx3+cx2+bx+a=0] 中,设 y=x+ c ± c 2 4ae 2a 方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0

1 ,则化为二次方程,可解出四个根为 x x1,2,3,4= y±

y2 4 b ± b 2 4ac + 8a 2 , y= 2 2a [x4+bx3+cx2+dx+e=0] 一般四次方程 ax4+bx3+cx2+dx+e=0 都可化为首项系数为 1 的四次方程,而方程 x4+bx3+cx2+dx+e=0 的四个根与下面两个方程的四个根完全相同: x by d x2+(b+ 8 y + b 2 4c ) + (y+ )=0 2 8 y + b 2 4c

x2+(b- 8 y + b 2 4c )

x by d + (y- )=0 2 8 y + b 2 4c

式中 y 是三次方程
8y3-4cy2+(2bd-8e)y+e(4c-b2)-d2=0

的任一实根. 5.阿贝耳定理 五次以及更高次的代数方程没有一般的代数解法(即由方程的系数经有限次四则运算和 开方运算求根的方法).这是阿贝耳定理.


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