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几何证明选讲练习题

几何证明选讲 时间:45 分钟 分值:100 分

一、填空题(每小题 6 分,共计 54 分) 1. 如图 1, A, C 是圆 O 上的点, AB=4, 点 B, 且 ∠ACB=45° , 则圆 O 的半径 R=________.

图1 图2 解析:如图 2 所示,连接 OA、OB, 则∠AOB=90° , ∵AB=4,OA=OB, ∴OA=2 2,即 R=2 2. 答案:2 2

图3 2.如图 3,AB、CD 是圆 O 内的两条平行弦,BF∥AC,BF 交 CD 于点 E,交圆 O 于点 F,过 A 点的切线交 DC 的延长线于点 P, 若 PC=ED=1,PA=2,则 AC 的长为________. 解析:∵PA 是⊙O 的切线,∴由切割线定理得:PA2=PC· PD, ∵PA=2,PC=1,∴PD=4, 又∵PC=ED=1,∴CE=2,由题意知四边形 ABEC 为平行四 边形,∴AB=CE=2.连接 BC,∵PA 是⊙O 的切线, ∴∠PAC=∠CBA,∵AB、CD 是圆的两条平行弦, ∴∠PCA=∠CAB,∴△PAC∽△CBA, PC CA ∴CA=AB,∴AC2=PC· AB=2,∴AC= 2. 答案: 2 3.如图 4,已知圆 O 的半径为 3,PAB 和 PCD 为圆 O 的两条割 线, O 在线段 AB 上, PB=10, 且 若 PD=8, 则线段 CD=________; ∠CBD=________.

图4 解析:因为 PA=10-2OA=4,PC· PD=PA· PB=40,所以 PC =5,CD=PD-PC=3,连接 OC,OD,则△OCD 为正三角形,所 以∠COD=60° ,则∠CBD=30° . 答案:3 30°

图5 4.如图 5,△ABC 的外角∠EAC 的平分线 AD 交 BC 的延长线 于点 D,若 AB 是△ABC 外接圆的直径,且∠EAC=120° ,BC=6, 则线段 AD 的长为________. 解析:因为 AB 为直径,所以∠ACB=90° ,又∠EAC=120° , 所以∠BAC=60° ,又 BC=6,得 AC=2 3,又∠ACD=90° ,∠CAD =60° ,则在 Rt△ACD 中可得 AD=4 3. 答案:4 3

图6 5.如图 6,已知点 C 在⊙O 的直径 BE 的延长线上,CA 切⊙O AC 于点 A,若 AB=AC,则BC=________. 解 析 : 因 为 ∠B = ∠EAC , ∠ACB = ∠ACB , 所 以 AC AE △ACE∽△BCA,则BC=AB,在△ABC 中,又因为 AB=AC,所以 3 AC AE ∠B=∠ACB=30° 在 Rt△ABE 中, =tanB=tan30° , = .故BC= AB 3 3 . 3 3 答案: 3

图7 6. 如图 7, ⊙O 与⊙P 相交于 A、 两点, B 圆心 P 在⊙O 上, ⊙O 的弦 BC 切⊙P 于点 B,CP 及其延长线交⊙P 于 D,E 两点,过点 E 作 EF⊥CE,交 CB 的延长线于点 F.若 CD=2,CB=2 2,则由 B、 P、E、F 四点所确定的圆的直径为________. 解析:连接 PB.∵BC 切⊙P 于点 B,∴PB⊥BC.又∵EF⊥CE, ∴B、P、E、F 四点共圆,连接 PF,又∵EF⊥CE,PB⊥BC,∴B、 P、E、F 四点所确定的圆的直径就是 PF.∵BC 切⊙P 于点 B,且 CD =2,CB=2 2,∴由切割线定理得 CB2=CD· CE,∴CE=4,∴DE EF CE =2,∴BP=1.又易知 Rt△CBP∽△Rt△CEF,∴BP =CB,得 EF = 2,则在 Rt△FEP 中,PF= PE2+EF2= 3,即由 B、P、E、F 四点确定的圆的直径为 3. 答案: 3

图8 7.如图 8,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,AD=2, AC=2 5,则 AB=________. 解析:由射影定理可知, AC2=AD· AB, ?2 5?2 所以 AB= =10. 2 答案:10

图9 8.如图 9 所示,圆的内接三角形 ABC 的角平分线 BD 与 AC 交 于点 D,与圆交于点 E,连接 AE,已知 ED=3,BD=6,则线段 AE

的长=________. AE 解析: ∵∠E=∠E, ∠EAD=∠EBA, ∴△EDA∽△EAB, BE 得 ED =AE,即 AE2=ED· BE=3×9,AE=3 3. 答案:3 3

图 10 9.如图 10,正△ABC 的边长为 2,点 M,N 分别是边 AB,AC 的中点,直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P,Q,则线段 PM= ________. 解析:设 PM=x,则 QN=x,由相交弦定理可得 PM· MQ= 5-1 BM· MA,即 x· (x+1)=1,解得 x= . 2 5-1 答案: 2 二、解答题(共计 46 分) 10.(15 分)(2010· 课标全国卷)

图 11 如图 11,已知圆上的弧 ? = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的 AC ? 延长线交于 E 点,证明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE×CD. 解:(1)因为 ? = BD , AC ? 所以∠BCD=∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C, 故∠ACE=∠ABC,所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, BC CD 所以△BDC∽△ECB,故BE=BC,即 BC2=BE×CD.

11.(16 分)(2011· 辽宁高考)

图 12 如图 12,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的 延长线交于 E 点,且 EC=ED. (1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B, G,F 四点共圆. 解:

图 13 (1)如图 13,因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA. 所以 CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE.因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而 ∠FED=∠GEC. 连结 AF,BG, 则△EFA≌△EGB, 故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD, 所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180° . 故 A,B,G,F 四点共圆. 12.(15 分)(2011· 江苏高考)

图 14 如图 14, O1 与圆 O2 内切于点 A, 圆 其半径分别为 r1 与 r2(r1>r2). 圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C(O1 不在 AB 上).求证:AB? 为定值. AC 解:

图 15 如图 15,连结 AO1,并延长分别交两圆于点 E 和点 D.连结 BD, CE. 因为圆 O1 与圆 O2 内切于点 A,所以点 O2 在 AD 上.故 AD,AE 分别为圆 O1,圆 O2 的直径. π 从而∠ABD=∠ACE= ,所以 BD∥CE. 2 AB AD 2r1 r1 于是AC=AE= = . 2r2 r2 所以 AB? 为定值. AC



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