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2016-2017学年高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理高效测评新人教A版必修5讲义

2016-2017 学年高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理高效测 评 新人教 A 版必修 5

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.在△ABC 中,a=5,b=3,则 sin A∶sin B 的值是( 3 A. 5 3 C. 7 解析: 答案: B. D. 5 3 5 7 )

a b sin A a 5 ∵ = ,∴ = = . sin A sin B sin B b 3
B )

2.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 解析: 由正弦定理得 B.2 3 D. 3 2

BC AC = , sin A sin B

BC·sin B 3 2×sin 45° ∴AC= = =2 3. sin A sin 60°
答案: B

3.在△ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边,若 是( ) A.等边三角形 C.等腰直角三角形 解析: 把已知条件中式子

a b c = = ,则△ABC sin A cos B cos C

B.锐角三角形 D.任意三角形

a b c a b = = 与正弦定理的关系式 = = sin A cos B cos C sin A sin B

c 对比, sin C
可得 sin B=cos B,sin C=cos C, 所以 B=C=45°,

A=180°-(B+C)=90°.
故△ABC 是等腰直角三角形.
1

答案:

C )

4.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是( A.a=4,b=5,A=30°,有一解 B.a=5,b=4,A=60°,有两解 C.a= 3,b= 2,B=120°,有一解 D.a= 3,b= 6,A=60°,无解 解析:

对于 A,bsin A<a<b,故有两解;对于 B,b<a,故有一解;对于 C,B=120°

且 a>b,故无解;对于 D,a<bsin A,故无解. 答案: D

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.在△ABC 中,由“a>b”________推出“sin A>sin B”;由“sin A>sin B”________ 推出“a>b”.(填“可以”或“不可以”) 解析:

a sin A a 在△ABC 中,必有 sin B>0,由正弦定理得 = ,于是,若 a>b,则 >1, b sin B b

sin A sin A 则 >1.由 sin B>0,可得 sin A>sin B;反之,若 sin A>sin B,由 sin B>0,可得 >1, sin B sin B

a 则 >1,a>b. b
答案: 可以 可以

6.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B,则 sin A=________. 解析: ∴B= ∵A+C=2B,A+B+C=π,

π ,∴由正弦定理, 3

3 a b 1 = , = . sin A sin B sin A sin π 3 1 ∴sin A= . 2 答案: 1 2

三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.在△ABC 中,已知 A=30°,a= 6,b=2 3,求 B. 解析: 6 2 3 在△ABC 中,由正弦定理可得 = , sin 30° sin B

2

解得 sin B=

2 . 2

∵b>a,∴B>A. ∴B=45°或 135°. 8.在△ABC 中,已知 a=10,B=75°,C=60°,试求 c 及△ABC 的外接圆半径 R. 解析: ∵A+B+C=180°,∴A=180°-75°-60°=45°.

a c 由正弦定理,得 = =2R, sin A sin C
3 10× a·sin C 2 ∴c= = =5 6, sin A 2 2 10 a ∴2R= = =10 2,∴R=5 2. 2 sin A 2 尖子生题库 ☆☆☆

9.(10 分)在△ABC 中,若 acos A=bcos B,试判断△ABC 的形状. 解析:

a b 由正弦定理,设 = = k, sin A sin B

则 a=ksin A,b=ksin B, ∴由 acos A=bcos B 得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B. ∵2A,2B∈(0,2π), ∴2A=2B 或 2A=π-2B 或 2A-π=2π-2B. 即 A=B 或 A+B= π , 2

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

3



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