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分层抽样


2.1.3

分层抽样

情景设置

问题1:如果要调查我们班同学的 平均身高,用前面学过的抽样方 法怎么做?

问题2:由经验看,以上的方法 有没有不妥的地方?样本的代 表性一定好吗?
可能会出现样本代表性 不好的情况!

假设某地区有 高中生2400人,初 近视率% 80 中生10900人,小 学生11000人,此 60 地教育部门为了了 解本地区中小学的 40 近视情况及其形成 20 原因,要从本地区 的小学生中抽取 0 1%的学生进行调 小学 初中 高中 你认为哪些因素影响学生视 查,你认为应当怎 力?抽样要考虑和因素? 样抽取样本?

探究?

问题1:
你认为不同年龄段的学生的 视力有差异吗?设计抽样方 法时需要考虑这些因素吗?

问题2:

请问例1中的总体是什么? 总体可看成由几部分组成? 总体中的个体数是多少?

问题3:1%的样本是什么含义?

问题4 :请问例1中样本可看成 由几部分组成?

问题5:你怎么从各部分中抽 取样本?请动笔试试。

为什么要这样取各个学段的个 体数?

思考:有人说:“如果抽样方法 设计得好,用样本进行视力调查 与对24300名学生进行视力普查 的结果会差不多,而且对于教育 部门掌握学生视力状况来说,因 为节省了人力、物力和财力,抽 样调查更可取。”你认为这种说 法有道理吗?为什么?

1.分层抽样的概念 在抽样时,将总体分成 互不交叉的层,然后按照 从各层 独立 地抽取一定数量的个 一定的比例 , 体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种 抽样方法是一种分层抽样.

2.分层抽样的适用条件 分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息,并充 分考虑保持 样本结构 与 总体结构 的一致 性,这对提高样本的代表性非常重要.当总体是 由 差异明显 的几个部分组成时,往往选用分层 抽样的方法.

特点:
1 、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采 用的抽样方法,进行分层抽样时应注意以下几点: ( 1 )分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况 而定,总的原则是,层内样本的差异要小,面层之间的 样本差异要大,且互不重叠。 ( 2 )为了保证每个个体等可能入样,所有层应采用 同一抽样比等可能抽样。 ( 3 )在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽 样的方法进行抽样。 2 、分层抽样的优点是:使样本具有较强的代表性, 并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此分层抽 样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法。

分层抽样的具体步骤是什么?
步骤1:根据已经掌握的信息,将总体分成互 不相交的层 分层 步骤2:根据总体的个体数N和样本容量n计算抽 样比k= n:N 求比 步骤3:确定每一层应抽取的个体数目,并使每一 层应抽取的个体数目之和为样本容量n 定数 步骤4:按步骤3确定的数目在各层中随机抽取个 体,合在一起得到容量为n样本 抽样

每层样本数量与每层个体数量 的比与样本容量与总体容量的 比相等。

对点讲练
知识点一 分层抽样的概念 例1 某社区有 700 户家庭,其中高收入家庭 225 户,中等收入家庭 400 户,低收入家庭 75 户,为 了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取一个容 量为 100 户的样本,记作①;某中学高二年级有 12 名足球运动员,要从中选出 3 人调查学习负担情况, 记作②;从某厂生产的 802 辆轿车中抽取 8 辆测试 某项性能,记作③.则完成上述 3 项应采用的抽样方 法是 ( ) A.①用简单随机抽样,②用系统抽样,③用分层抽样 B.①用分层抽样,②用简单随机抽样,③用系统抽样 C.①用简单随机抽样,②用分层抽样,③用系统抽样 D.①用分层抽样,②用系统抽样,③用简单随机抽样

解析 对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和 低收入家庭差异明显的三部分组成, 而所调查的指标 与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样. 对于 ②,总体中的个体数较少,而且所调查内容对 12 名调查对象是平等的,应用简单随机抽样. 对于③,总体中的个体数较多,应用系统抽样.故选 B.

答案

B

知识点二 例2

分层抽样法的应用

某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16

人,教师 112 人,后勤人员 32 人,教育部门为了 了解学校机构的改革意见, 要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法抽取,并写出抽样 过程.
分析 样. 总体由差异明显的几部分组成, 故采用分层抽

解 因为本题样本总体分成三类:行政人员、教师、 后勤人员, 符合分层抽样的特点, 故选用分层抽样方 法.

20 1 1 因为 = ,所以从行政人员中抽取 16× =2(人), 160 8 8 1 从教师中抽取 112× = 14(人 ),从后勤人员中抽取 8 1 32× =4(人). 8 因为行政人员和后勤人员较少,可将他们分别按 1~ 16 和 1~32 编号, 然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人,对教师从 000,001,?,111 编号,然后用随机数 法抽取 14 人. 这样就得到了符合要求的容量为 20 的样本.

变式迁移 2

某城市有 210 家百货商店,其中大型商

店 20 家,中型商店 40 家,小型商店 150 家.为了 掌握各商店的营业情况,计划抽取一个容量为 21 的样本, 按照分层抽样方法抽取时, 各种百货商店 分别要抽取多少家?写出抽样过程.
21 1 解 (1)样本容量与总体的个体数的比为 = ; 210 10 (2)确定各种商店要抽取的数目: 1 1 大型:20× =2(家),中型:40× =4(家), 10 10 1 小型:150× =15(家); 10 (3)采用简单随机抽样在各层中抽取大型: 2 家; 中型: 4 家;小型:15 家;这样便得到了所要抽取的样本.

知识点三 抽样方法的综合应用 例 3 下列问题中,最适合用简单随机抽样法抽样的 是 ( B ) 是 1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以 后为听取意见,要留下 32 名听众进行座谈 B.从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C. 某企业有 2 000 人. 其中管理人员 20 人, 工人 1 968 人,后勤人员 12 人.为了解企业机构改革意见, 要从中抽取一个容量为 20 的样本 D.某乡农田有山地 8 000 亩,丘陵 12 000 亩,平地 24 000 亩,洼地 4 000 亩,现抽取农田 480 亩估计 全乡农田平均产量 A.某电影院有 32 排座位,每排有 40 个座位,座位号

练习:某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、

三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查, 考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案, 使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年 级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将 学生统一随机编号 1, 2, …, 270,并将整个编号依次分 为10段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②、③都不能为系统抽样 B.②、④都不能为分层抽样 C.①、④都可能为系统抽样 D.①、③都可能为分层抽样

D

例4 某地区中小学生人数的分布情 况如下表所示(单位:人):
学段 小学 初中 高中 城市 县镇 农村 357 000 221 600 258 100 226 200 134 200 11 290 112 000 43 300 6 300

请根据上述基本数据,设计一个样本容 量为总体中个体数量的千分之一的抽样 方案.

练习:某单位有老年人27人,中年人 55人,青年人81人,为了调查他们的 身体情况,需从他们中抽取一个容量 为36的样本,则适合的抽取方法是 ( )

A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从中年人中剔除1人,然后再分 层抽样

三种抽样方法的比较 (1)简单随机抽样:简单随机抽样是最基本的抽样 方法,其他的各种随机抽样方法中,大都会以某种形 式引用它。 (2)系统抽样:①系统抽样比其他随机抽样方法更容 易施行,可节约抽样成本;②系统抽样所得样本的代表 性和具体的编号有关,如果编号的个体特征随编号变化 呈现一定的周期性,可能会使系统抽样的代表性很差; ③系统抽样比简单随机抽样的应用范围更广,它可以应 用到个体有自然编号,但是总体中个体的数目却在抽样 时无法确定的情况(如生产线上产品的质量检验)。 (3)分层抽样:充分利用了已知的总体信息,得到的 样本比前两种方法有更好的代表性,并且可得到各层 的子样本以估计各层的信息。

方法 类别

共同 特点

抽样特征

相互联系

适应范围

简单随 机抽样
系统 抽样 抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率 相等

从总体中 逐个不放 回抽取 将总体分成 均衡几部分, 按规则关联 抽取 将总体分 成几层, 按比例分 层抽取 用简单随 机抽样抽 取起始号 码 用简单随 机抽样或 系统抽样 对各层抽 样

总体中 的个体 数较少 总体中 的个体 数较多 总体由 差异明 显的几 部分组 成

分层 抽样

课时作业
一、选择题 1.下列各项中属于分层抽样特点的是( B ) A.从总体中逐个抽取 B.将总体分成几层,分层进行抽取 C.将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部 分抽取 D.将总体随意分成几部分,然后随机抽取

2.某地区的高中分三类,A 类学校共有学生 4 000 人, B 类学校共有学生 2 000 人,C 类学校共有学生 3 000 人.现欲抽样分析某次考试的情况,若抽取 900 份试卷进行分析,则从 A 类学校抽取的试卷份 数应为 A.450 B.400 C.300 ( B ) D.200

4 000 解析 试卷份数应为 900× =400. 4 000+2 000+3 000

3.某中学高一年级有 540 人,高二年级有 440 人, 高三年级有 420 人,用分层抽样的方法抽取样本 容量为 70 的样本,则高一、高二、高三三个年级 分别抽取 A.28 人、24 人、18 人 B.25 人、24 人、21 人 C.26 人、24 人、20 人 D.27 人、22 人、21 人 ( D )

4.某大学数学系共有本科生 5 000 人,其中一、二、 三、 四年级的学生比为 4∶3∶2∶1.要用分层抽样 的方法从所有本科生中抽取一个容量为 200 的样 本,则应抽三年级的学生 A.80 人 B.40 人 C.60 人 (
B

)

D.20 人

5.已知某单位有职工 120 人,男职工有 90 人,现采 用分层抽样 (按男、女分层 )抽取一个样本,若已 知样本中有 27 名男职工,则样本容量为( A.30 C.40 B.36 D.无法确定

B)

二、填空题 6.某农场在三种地上种玉米,其中平地 210 亩,河 沟地 120 亩,山坡地 180 亩,估计产量时要从中 抽取 17 亩作为样本,则平地、河沟地、山坡地应 抽取的亩数分别是________ 7,4,6 .
17 17 解析 应抽取的亩数分别为 210× =7,120× 510 510 17 =4,180× =6. 510

7.计划从三个街道 20 000 人中抽取一个 200 人的样 本,现已知三个街道人数之比为 2∶3∶5,采用 分层抽样的方法抽取,则应分别抽取40,60,100 _________人.

8.有 A,B,C 三种零件,分别为 a 个,300 个,b 个.采用分层抽样法抽取一个容量为 45 的样本, A 种零件被抽取 20 个,C 种零件被抽取 10 个,则此 三种零件共有________ 900 个.

三、解答题 9. 某校高一年级 500 名学生中, 血型为 O 型的有 200 人,A 型的有 125 人,B 型的有 125 人,AB 型的 有 50 人.为了研究血型与色弱的关系,要从中抽 取一个容量为 40 的样本,应如何抽样?写出 AB 血型的样本的抽样过程.
解 因为 40÷ 500=2/25, 所以应用分层抽样法抽取血

型为 O 型的 16 人;A 型的 10 人;B 型的 10 人;AB 型的 4 人. AB 型的 4 人可这样抽取: 第一步:将 50 人随机编号,编号为 1,2,?,50;

第二步: 把以上 50 人的编号分别写在一张小纸条上, 揉成小球,制成号签; 第三步: 把得到的号签放入一个不透明的袋子中, 充 分搅匀; 第四步: 从袋子中逐个抽取四个号签, 并记录上面的 编号; 第五步:根据对应得到的编号找出要抽取的 4 人.

10.对某单位 1 000 名职工进行某项专门调查,调查 的项目与职工任职年限有关,人事部门提供了如 下资料: 任职年限 5 年以下 5~10 年 10 年以上 人数 300 500

200 1 试利用上述资料,设计一个抽样比为 的抽样方法. 10

1 解 因为抽样比为 ,故只需从 1 000 人中抽取 10 1 1 000× =100 人. 10 1 故从 5 年以下的抽 300× =30(人), 10 1 5~10 年的抽 500× =50(人), 10 1 10 年以上的抽 200× =20(人). 10

11、最近“三鹿婴儿奶粉事件”引起社会 广泛关注,造成婴儿肾结石的原因是婴儿 奶粉中掺有三聚氰胺。现某地质量监督部 门将对本地三鹿奶粉厂的所有种类的库存 奶粉进行三聚氰胺平均含量抽样检测,已 查明该厂库存奶粉10000袋,其中婴儿奶 粉4000袋、普通奶粉3000袋、老年奶粉 3000袋,如果质量监督部门打算抽取500 袋作为样本进行检测,那么应该如何抽样?


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