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一道竞赛题的证明及引申


 



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一 …   一…   … ~ …    .

…  



道 竞 赛 题 的 遂 圈 
唐银 农 ( 湖北 省应城 市汤池 寄 宿学校 )  

翱 印 
一(图()     2) 如 1, 芳

题 目 : 第 二 届 初 中祖 冲 之 杯 数 学 竞 赛 题 ) (   如 图 l 已知 △AB , C的 面积 S, 一条直 线 z使 z 作 ,  

所岩  一 以~   q


/BC, 与 AB、 分别 交 于 D、 两 点 . AB   / 且 AC E 记 ED
的面 积为 K , 证 明 : 试 K≤  .  

去一  墨

姻2 .  ,  

证 明 : 图 1 过点 E作 EF/ AB交 B 于点 F. 如 , / C  
议 SZA E一  ‘, xr XD SzEc— q    ( > 0, q> 0)  .

于 是  = I -q , ① s ( - q 成 立 ; p l故 一 p )   所 以有 S 一 2 = 2 一 S B F— P + q 一S l K1 K2  力 E 。    

一2 q 即②S —2 一2 —2 q成 立. p, 1 Kl K2 p  
A ABC,  

因 为

AADE ∽

△ EFC o ABC, c △  

引 申 2 把 图 1中 直 线 z平  : 移 , 它和 B C 的延长 线交 于  使 A、 A
D 、 连 结 C B 如 图 3 设 四  E, D、 E, .
F   C 

D 

,  

既  一  毫 . 以 冬 A, 一C E E   
N    P + q I_ A  ̄ &  一  一  0S 0   S   s A乙 

图 1  

边 形 BC DE、△ ABE、△ ACD、  

△ ADE、 AB 的面 积 分 别 是 S、 △ C   KlK2  、  p O q 0 . ①  、 、 q ( > ,> )则
C 

C 

图3  

于 是√  +q S  +q 。 S— , 一( ).  
所以 2 K— S .J ,HE fF—S—p 一 q 一 2 q K 一户 . 。   p, q 

K 一K2   ≤旱 ;   (   一 q ②s  +q . )   
证 明 : 为 AE C 和 △ DB 同 底 等 高 , 以  因 B C 所
S 删c △ , 而可 得 S  E—S A 即 Kl K2 △ —S 舢c 进 △ △c D, — ;  

因为 ( P— q  ≥ 0 所 以 ( - q ≥ 4 q 即 S ) ,   4 ) - p ,  

≥4 因此 K≤寻 . K,  
工 士 

Y AABE和AADE、 . . AAB C和AAC 等高 , 以  D 所
一   一  

结 论 : 于上 述证 明过 程 , 容 易得 出一个命 题. 基 很   命 题 1 图 1中 , △AB △BD △B : 设 C、 E、 EF、 四边  形 B DEF、 AADE、k C的面 积 分 别 为 S、   K   / EF K 、 、 S 、  q (   P 、  > 0 q 0 , ① S 一 2   2 — 2 q  ,> ) 则   K 一 K2 p ;
② S一 ( 4q   声- ) . -



于 是 K1 一 q K。  22  S= p  

-2q t p  -

=( :  +q 。 根据 ( = );  一q 。 ) ≥O 可得 4 q ( +q 。 即  , p≤ P ),

K ≤-.   。 于是得到①K 一K 一加 ≤寻; 一(  y   2 ②S P
+ q)    .

引 申 1 把 图 1中直线 z : 平移 , 它 和 A AC的  使 B、 延 长线 或反 向延 长线 交 于 D、 如 图 2 连 结 B 过  E, , E, 点 E作 E F∥AB交 B 的延 长 线 或 反 向延 长线 于 点  C F.设 △ AB C、△ B DE、△ B F、四 边 形 B E DE   F、 △ADE、 △EF 的 面积 分 别 为 S、 、 、   p 、  C K  Kz S 、   q (  >0 q>O , ① S 一2 一2 —2 q ② S一 (   , )则   Kl K2 p ; P
一 口)    .

引申 3 若 图 3中 直线 z 任  : 是 意 一 条 直 线 , 图 4 设 四 边 形  如 .
BCDE 、 ABE 、 A C 、 ADE 、 △ △ D △  

AABC的 面积 分 别 是 S、 、    K  K 、 P 、  p 。 q ( >O q , >0 , ① K +K2 )则    
≥ 2 q ② K1 p ; K2 = 户 q ; S     
≥(  + q   ).
图4  
C 

证 明 : 为  因 Kl
_


会一 ,)K  户   爰 ̄ Q :g I K   A  

成 立 
() 1  () 2 

图2  

设 K  +K2 , 合 K1 一 P q 一t 结 K2    可 得 , 、   K1 K2 是 一元 二次方 程  一f +户 q 一0的两 个实根 . “     
因 此 △= ( ) 一 4 q ≥ O  一        .

证 明 : 为 △ADEc 因  ̄△ABC, FC o△AB   AE c C,
所以 p ,   2 AE
一  

EC
,   一  
. 

由t >O知 ,≥2 q 即①K    p, +K2 p 成 立 ; ≥2 q  

  -

¨

 

寮  

…  

止 

。  

。 ’  

中学 教 学教 哮 参 考  

甸’ l  2

。≯  

于 是 S= P + q + f p + q + 2 一 (     ≥      q 户+g  , ) 即  ③ 5≥ ( q 。成 立 .  + )  

≤ 2S.  

( ) 点 P 移 到 A AB 的 外 部 并 且 在  A 或  3将 C

引 申 4 若 图 4中点 A 是 BD :  
或 C 上 任 意 一 点 , 图 5 设 四  E 如 ,
边 形 BCDE、△ ABE、△ ACD、  


A 的对 顶 角 的 内部 , 略 , 可 得 到 ( ) 1 2 r , 图 则 1S — p   o
S2 2 q, 3 2 n ( ) — p S — r q; 2 S一 ( - — q  ; 3 3 】 S   P4 m ) ( ) S 一 2

S ≤2 . 。 S 

△ ADE、 AB 的 面 积 分 别 是 S、 △ C   K 、 、  q (   K2 P 、  > 0 g 0 , ①  ,> ) 则
K1 K2 2 q; K1 一 P q ;   + ≥ p ②   K2    S
≥( P+ q 。 ).  
B   C 

( ) 点 P 移 到 A ABC 的边 或 边 的 延 长 线 上 , 4将 图 

略, 则可得 到 和命 题 1或 引 申 1类 似 的结 论 , 这里 从 
略.   证 明 :( )因 为 △ HDP ∽ △ ADE, GP ∽   1 A E

图5  

证法 同引 申 3 .   引 申 5 在 图 1中 , 时 把 直  : 同

线 ,和 EF 平 移 , 它 们 相 交 于  使

△AB 内一点 P, HJ C 作 ∥Ac, 如 
图 6 .设 △ AB C、四 边 形 AH PG、  

△D, √ 一 √ 一 又PA, AE 以等 ,  .G H 所 等 —   所岩 岩   一( 7) 岩 以一一   图( ,   如 1或 )
一  

P =  = =

_ 1( 湘

7(   2)

是 

一 I    P

四 边 形 BDP F、 边 形 C     四 EP 、 △ HDP、 PFI △ GPE 的 面 积  △ 、
9 C 

B  

F  

f  

C 

图 6  

— m l故 有  一 ( ~  ). , P    所 以 在 图 7( )中 , 口 形 HG— Sxv 1 S 边 AP z P— S AE . A D  + S GE P △ 尸 —  一 (  一  ) +  。 2 r , ① S   一 p 即 o l一 2 m p  

分 别 为 S、 】S 、 3 P 、  m ( S 、 2 S 、   q 、   P> 0 q 0 m> 0 . ,> , )   则① s  + s + s ≤  ; S 一 2 r , 2 2 q S  2 。 ② l p S — p ,s o
:2 ; S一 ( q mq ③ 户+ +  ).   

成立 , 同理 有 S —2 q S —2 ; 2 p , 3 mq  因 为  S A  — S HP △J j c △ D + S 边 肋P + S P 四形 F △F  


证 明 : 据 图 1中 的 结 论 , 根 有 

S四 形 H G— S 边   P + S GE— P + 2 + q 一 2 m  边 AP 四 形 f △尸   pq   p

s ≤  +   ±  
≤P 十q ,  g +  .   。s≤ 2  





即 S ≤ p + m2 同 理 s   z ,  

2   +  。 ( q 一 P+ q一  ) 所 以 ② S一 ( + q  ,   一  ) 。  
又 2 一 (S S 3 2一 S 一 S   。)一 2 ( + q — m ) P  

成立 ;   所 以 S + 5 + S3 2(  + q 1 2 ≤ P  + m  , ( + S2 ) 3 S1  


( 3?2 户q一 2 o 一 2 )一 ( pr mq 户一 q) 。+ ( P— m )  + (   q
 

+S ) 2 S + S + S + P + q + m。 一 2 , ① S   ≤ ( l 2 3 。   ) S即 l



)≥ 0 所 以 ③ 3   S 一 S ≤ 2 。 , S一   。 S成 立 .  

+s +s ≤  成立 ;   。 根据 命题 1的结 论 还可 以得 出② 
S —2 o , 2=2 q, 3 2 ; 而 S — P + q 十 m  1 pr S = p S — mq 进 = 。 。

在 图 72 中 , ( ) 同样 可 以 得 到 结 论 ① ② ③ .   () () () 法 同上 , . 2 、 3 、4 证 略 
应用:  

+ 2 r+ 2 q 2 一 ( p o p + mq P+ q +  ) , ③ S一 (   即 P+ q   + m) 立 . 。成  

例 1 (0 2 天 津 ) 图 8 已 知 四边 形 A C 的  20 如 , B D

引 申 6 在 图 6中 ,1 将 点 P 移 到△AB : () C的外 部 
并 且 在  B 或  B 的 对 顶 角 的 内 部 , 图 7 如 .设 
△ ABC、四 边 形 AHPG、四 边 形 BDPF、四 边 形 

对角线 A C与 B D交 于点 0, S   -4 S ㈣ 一9 则  若 △ 增- . △ ,
四 边 形 AB D 的面 积 的 最 小 值 为 ( C  
A.   21 B.2   5 C.   26

) .  

D.   3

简 解 : 据 引 申 3 的 结 论 ③ 可 知 , 口 形    根 S边仙。

C PI △ HDP、 PF 、 GP 的 面 积 分 别 为 S、    E 、 △ J△ E S、 S 、 3P 、  m ( > o q o m> O , 设 A ADE 的  2S 、 q、  p ,> , )并 面 积 为 M. ① S。一 2 r ,  一 2 q, 一 2 ; S 则 p S o p S。 mq ②  


≥ (g g  5 故选 B  J +4 )一2 , .

( q  + —  ) ③ 3 2  ; S 一Sl 3 2 . —S ≤ S 
G 

图 8  

图9  

例 2 (   第二 届 美 国数 学 邀 请 赛 试题 ) 图 9 在  如 ,
B   F   () 1  C |  

△AB 内部 取 一点 P, P 点 作 三 条 分 别 与 边 平 行  C 过
图7  

( ) 点 P移 到△AB 2将 C的外部 并 且在  C或  C  
的 对 顶 角 的 内 部 , 略 , 可 得 到 ① S 一 2 r, z 图 则   p S  o


的 直 线 DE、 GH 、 , 样 图 中 所 得 的 三 角 形 t、  t FI这   t、  。 的面 积分 别是 4 9 4 , AABC的面积 . 、、9求  

简解 : 据 引 申 5的 结 论 ③ 可 知 , △  一 ( 4 根 S仙 √ 
+  +  )  一 1  = 1 4. 2 = 4   =

2 q S —2 ; S一 ( + m — P   ③ 3 3 S — S  p , 3 mq ② q ); S 一 l 2



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