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高中数学竞赛辅导07-数列(二)由数列的递推公式求通项公式


竞赛辅导-数列(二) 由数列的递推公式求通项公式
引入

转化法

巧用换元法

其他方法

2012-8-28

高中数学竞赛辅导

1

竞赛辅导-数列(二)
由数列的递推公式求通项公式
递推数列有关概念: ①递推公式:一个数列 { a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n ? 1 , a n ? 2 ,?, a n ? k ( k ? n )的关系式称为递推公式. ②递推数列:由递推公式和初始值确定的数列. ③线性递推数列:(见课本 P116 ) 2. 由数列的递推公式求通项公式的常用方法: ⑴转化法(经常用的);⑵归纳法(先猜想,后证明(用数学 归纳法));⑶换元法(针对特点考虑换元); ⑷迭代法(累 加法);⑸待定系数法;⑹不动点法;⑺特征根法(见定理 1)
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 2

转化法:这里需要恰当的变形??
思考 1.已知数列{an}中,a1= ,an+1=
5 3

an 2an ? 1



求{an}的通项公式.
解:(倒数变形)
1 an?1 ? 2an ? 1 an ? 1 an ?2

? 1 ? 5 ∴ ? ? 是以 为首项,公差为 2 的等差数列, 3 ? an ?



1 an

?

5 3

+2(n-1)=

6n ? 1 3
练习1

∴an=

3 6n ? 1
3

类似地,教程第120页例3(自学) 2012-8-28 高中数学竞赛辅导
思考2

练习 1.(教程 P127 12 ) 数列 ? x n ? 定义如下: x 1 ? 求S ?
1 1 ? x1 ? 1 1 ? x2
1 2 , xn?1 ? xn ? xn .
2

?? ?

1 1 ? x 2007

的整数部分.

1

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高中数学竞赛辅导

4

思考 2.已知 a1 ? 10 , a n ? 1 ? 4 10 a n ( n ? N * ),求通项公式 a n . 2 1 n?1 1 …… lg a n ? ( ) ? ……
3 4

思考 3.已知函数

f (x) ?

3 4 4 ( x ? 1) ? ( x ? 1)

( x ? 1) ? ( x ? 1)
4

4

(

x?0

),在数列

{ a n } 中, a 1 ? 2 , a n ? 1 ? f ( a n ) ( n ? N

?

),求数列 { a n } 的通项公式.
an?1 ? 1 an?1 ? an ? 1 ? ? ?? ? 4 ? 1 ( a n ? 1) ? an ? 1 ? ( a n ? 1)
4 4

解:∵ a n ? 1

?

( a n ? 1) ? ( a n ? 1)
4

4 4

( a n ? 1) ? ( a n ? 1)
4

?



(取对数变形)∴ ln

an?1 ? 1 an?1 ? 1

? 4 ln

an ? 1 an ? 1

,由此及 ln

a1 ? 1 a1 ? 1

? ln 3 ? 0

? an ? 1 ? 知:数列 ? ln ? ? an ? 1 ?

是首项为 ln 3 ,公比为 4 的等比数列,
an ? 1 an ? 1 ?3
4
n?1

故有 ln

an ? 1 an ? 1

?4

n?1

ln 3 ?

? an ?

3 3

4 4

n ?1

?1 ?1

n ?1

( n ? N ? ).
5

2012-8-28

高中数学竞赛辅导

练习 2.(教程 P115 13 )已知 a 1 ? 10 , a n ? 1 ? 10 a n ( n ? N * ), 求通项公式 a n .

法一:取对数变形 法二:作商用迭加法也很好!
2 ?3

2?

1 2
n?1

10

练习 3.(教程 P127 9 )各项为正数的数列 ? a n ? 中,
a 1 ? 1, a 2 ? 10 , a n a n ? 1 a n ? 2 ? 1 ( n ≥ 3 , n ? N ),
*

求通项公式 a n .

取对数变形,

10

1 n? 1 ? ? 2 ?1 ? ( ) ? 2 ? ?

中间的突破用“特征根法”非常好!
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 6

思考 4. 已知数列{an}中,a1=2,an= 求{an}的通项公式.
解:(三角换元)令 an-1=tan ? ,
?? ? 则 an+1= =tan ? ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? tan ? 4
4 tan

1 ? a n?1 1 ? a n?1



?

? tan ?

一般地, 可仿第122 页例5的处 理方法试 试看.

? ( n ? 1)? ? ? atc tan 2 ? . ∴an=tan ? 4 ? ?

思考 5.设 a 0 ? 1 , a n ?
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1? a

2 n?1

?1

a n?1
思考5

?n? N

*

? ,求通项公式 a

n

.

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7

练习4

思考 5.设 a 0 ? 1 , a n ?
山重水尽疑无路……
1 ? tan ? n ? 1 ? 1
2

1? a

2 n?1

?1

a n?1

?n? N

*

? ,求通项公式 a

n

.

? ? ? 解:易知 a n ? 0 ,构建新数列 ?? n ? ,使 a n ? tan ? n , ? n ? ? 0, ? ? 2?
an ? tan ? n ? 1 ? 1 ? cos ? n ? 1 sin ? n ? 1 ? tan

? n?1
2

? tan ? n ? tan

? n ?1
2

,? n ?
?

? n?1
2

又 a 0 ? 1 , a 1 ? 2 ? 1 ? tan
1 2

?
8

,从而 ? 1 ? ,
8

?

∴新数列 ?? n ? 是以
?1? ∴? n ? ? ? ?2?
2012-8-28
n?1

为首项,

为公比的等比数列.
?
2
n? 2

8

?

?
8

?

?
2
n? 2

∴ a n ? tan

高中数学竞赛辅导

类似地,有 第110页例5的第 一种情况的处理 方法(自学) 8

练习 4.(教程 P126 4 )给定数列 ? x n ? , x 1 ? 1 , 且 xn?1 ?
3 xn ? 1 3 ? xn

,求通项公式 x n .
3 xn ? 1 3 ? xn ? tan(? n ?

解:令 x n ? tan ? n ,∵ x n ? 1 ?

?
6

)

∴可构建新数列 ?? n ? ,使 x n ? tan ? n 且 ? n ? 1 ? ? n ? , ? 1 ?
6

?

?
4



∴ x n ? tan[ ? ( n ? 1) ]
4 6

?

?

抓住式子特点,三角换元妙!
2012-8-28 高中数学竞赛辅导 9

待定系数法: (an+1=pan+r 类型数列) 练习 5.在数列{an}中,an+1=2an-3, a1=5,求{an}的通项公式.
解:∵an+1-3=2(an-3) ∴{an-3}是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列. ∴an-3=2n∴an=2n+3.

(an+1=pan+f(n)类型) n?1 a n ? a n ? 1 ? 3 ( n ≥ 2 ), 练习 6.已知数列{an}中,a1=1,且 求{an}的通项公式.
解:设 an+p·n=an-1+p·n-1 则 an=an-1-2p·n-1, 3 3 3 与 an=an-1+3 且 a1-
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n- 1

n ? 3 ? 比较可知 p=- .所以 ? a n ? ? 是常数列, 2 2 ? ?

1

3 2

=-

1 2

.所以 a n ?
练习7、8

3

n

2

=-

1 2

,即 an=

3 ?1
n

2
10

高中数学竞赛辅导

练 习 7.( 教 程 P126 5 ) 给 定 数 列 ? x n ? ,
xn?1 ? n?2 n xn ? 1 n

x1 ? 0 , 且

n ,则 x n =____. ( n

? 1)

4

?

1 2

练 习 8.( 教 程 P126 8 ) 给 定 数 列 ? a n ? 满 足 a 1 ? 2 ,
an?1 ? 1 ? 1 an

,则 ? a k =____. 999
k ?1

1998

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