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【优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.6


第6讲

椭圆

基础巩固 1.已知 F1,F2 是椭圆+=1 的两个焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点.在△ AF1B 中,若 有两边之和是 10,则第三边的长度为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义,知△ AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10=6. 2.(2012· 甘肃兰州调研)“-3<m<5”是“方程+=1 表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】要使方程+=1 表示椭圆,应满足解得-3<m<5 且 m≠1,因此“-3<m<5”是“方程+=1 表示椭圆”的必要不充分条件. 3.椭圆+y2=1(a>4)的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵e=,a>4,∴<e<1. 4.离心率为,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( ) A.+y2=1 B.+y2=1 或 x2+=1 C.x2+=1 D.+y2=1 或+=1 【答案】D 【解析】当 a=2 时,由 e=,得 c=,b=1,所求椭圆为+y2=1; 当 b=2 时,由 e=,得 a2=16,b2=4,所求椭圆方程为+=1. 5.已知椭圆+=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 P,F1,F2 是一个直角三角形 的三个顶点,P 为直角顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) A. B .3 C. D. 【答案】C 【解析】由题意 从而|PF1||PF2|=18. 又∵=× 18=· h(其 中 h 为 P 到 x 轴的距离),∴h=. 2· 6.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若=2,则椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】左焦点 F(-c,0),右顶点 A(a,0),不妨设点 B 在第二象限,则 B,由=2,得 0-a=2(-c-0), 所以 e==.

7.若 AB 为过椭圆+=1 中心的弦,F1 为椭圆的焦点,则△ F1AB 面积的最大值为( A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】B

)

【解析】由椭圆的标准方程可知 a=5,b=4,∴c==3. 如图所示,由于=+, 根据椭圆的对称性可知, 当且仅当△ BOF1 面积取最大值时,取得最大值,这时 B 为短轴的端点,∴的最大值为 c· 3× b=× 4=6.∴△F1AB 面积的最大值为 12. 8.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 . 【答案】(0,1) 【解析】椭圆方程化为+=1.∵该椭圆焦点在 y 轴上,则>2,即 k<1.又 k>0, ∴0<k<1. 9.与椭圆+=1 共焦点,且过 M(3,-2)的椭圆方程为 . 【答案】+=1 【解析】∵c2=9-4=5,∴设所求椭圆方程为+=1,代入(3,-2)得 a2=15 或 a2=3(舍去). 10.(2013 届· 吉林阶段检测)已知椭圆 C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点.若=3,则 k= . 【答案】 【解析】 根据已知=,可得 a2=c2,则 b2=c2,故椭圆方程为+=1,即 3x2+12y2-4c2=0.设直线 的方程为 x=my+c,代入椭圆方程得(3m2+12)y2+6mcy-c2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则根据=3,得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,根据韦达定理 y1+y2=-,y1y2=-,把-y1=3y2 代入,得 y2=,-3=-,故 9m2=m2+4. 故 m2=,从而 k2=2,k=± . 又 k>0,故 k=. 11.若椭圆+=1 的焦点在 x 轴上,过点作圆 x2+y2=1 的 切线,切点分别为 A,B,直线 AB 恰 好经过椭圆的右焦点和上顶点,求椭圆的方程.

【解】显然 x=1 是一条切线,且过切点 A(1,0),设另一条切线方程为 y-=k(x-1),即 2kx2y+1-2k=0. 由=1,解得 k=-. ∴圆的切线方程为 3x+4y-5=0. 解得 B.进一步求得过 A(1,0)与 B 两点的直线方程为 y=-2x+2. 令 x=0,得 y=2.

故在椭圆方程+=1 中,b=2,c=1,∴a2=5. 因此椭圆方程为+=1.

12.(2012· 安徽卷,20)如图,F1,F2 分别是椭圆 C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是椭圆 C 的顶 点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60° . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△ AF1B 的面积为 40,求 a,b 的值. 【解】(1)由题意可知,△ AF1F2 为等边三角形,a=2c, 所以 e=. (2)方法一:a2=4c2,b 2=3c2. 直线 AB 的方程可为 y=-(x-c). 将其代入椭圆方程 3x2+4y2=12c2, 得 B. 所以|AB|=· =c. 由=|AF1|· |AB|sin∠F1AB=a· =a2=40,解得 a=10,b=5. c· 方法二:设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a,可知|BF1|=3a-t. 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60° ,可得 t=a. 由=a· =a2=40,知 a=10,b=5. a· 拓展延伸 13.(2012· 陕西卷,20)已知椭圆 C 1:+y2=1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的 离心率. (1)求椭圆 C2 的方程; (2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,=2,求直线 AB 的方程. 【解】(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=,则 a=4, 故椭圆 C2 的方程为+=1. (2)方法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由=2 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入+y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 所以=. 将 y=kx 代入+=1 中,得(4+k2)x2=16, 所以=. 又由=2,得=4,即=,

解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. 方法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), 由=2 及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴 上, 因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. 将 y=kx 代入+y2=1 中,得(1+4k2)x2=4, 所以=. 由=2,得=,=, 将,代入+=1 中,得=1, 即 4+k2=1+4k2,解得 k=± 1, 故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x.



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