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备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 专题04 函数的奇偶性 Word版含解析


【高考地位】 函数的奇偶性是函数的一个重要性质,几乎是每年必考的内容,例如判断和证明函数的 奇偶性,利用函数的奇偶性解决实际问题. 【方法点评】 一、函数奇偶性的判断 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 确定函数的定义域; 第二步 判断其定义域是否关于原点对称; 第三步 若是,则确定 f ( x ) 与 f (? x) 的关系;若不是,则既不是奇函数也不是偶 函数; 第四步 得出结论. 例 1 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? 9 ? x 2 ? 【答案】证明略.

x 2 ? 9 ;(2) f ( x) ? ( x ? 1)

4 ? x2 1? x ;(3) f ( x) ? . x ?3 ?3 1? x

【点评】确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称,再验证

f (? x) ? ? f ( x) 或其等价形式 f (? x) ? f ( x) ? 0 是否成立.
【变式演练 1】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A. y ? x ? e C. y ? 2 ?
x



x

B. y ? x ?

1 x

1 2x

D. y ? 1 ? x 2

【答案】A 【解析】

考点:函数的奇偶性. 【变式演练 2】下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? ln )

1 | x|

B. y ? x 3

C. y ? ln( x ? 【答案】A 【解析】

x2 ? 1)

D. y ? sin 2 x

试题分析:选项 B 是奇函数,选项 C 是增函数,选项 D 非单调函数,故选 A. 考点:1、函数的奇偶性;2、函数的单调性. 【变式演练 3】已知函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x (? ? R) (1) 当 ? ? 1 时,试判断函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x 的奇偶性,并证明你的结论; (2) 若不等式 f ( x) ≤ 6 在 x ? ? 0, 2 ? 上恒成立,求实数的取值范围. 【答案】 (1)偶函数; (2) ?≤ ? 27 . 【解析】 试题分析: (1) 由特殊情形可判定函数奇偶性,证明时先确定函数定义域关于原点对称,再 证明 f (? x) ? f ? x ? 成立(2)不等式恒成立问题,一般利用变量分离,将其转化为对应函数最 值: ?≤3x (6 ? 3x ) 的最小值,再根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定其最值

试题解析: (1) 函数 f ( x) ? 3x ? ? ? 3? x 为偶函数

考点:函数奇偶性,不等式恒成立问题 【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不 等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端 是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分 离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法.

二、利用函数的奇偶性求函数的解析式 解题模板:第一步 首先设出所求区间的自变量; 第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围; 第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式. 例 2 .已知 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数, 当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ?

2x ,求 f ? x ? 在 4x ? 1

? ?1,1? 上的解析式.
? 2x ? 4 x ? 1 , x ? ? 0,1? ? ? 【答案】 f ? x ? ? ?0, x ? 0 . ? 2x ?? x , x ? ? ?1, 0 ? ? 4 ?1 ?
试题解析:当 x ? ? ?1,0? 时, ? x ? ? 0,1? , 因为函数 f ? x ? 为奇函数,

? f ? x? ? ? f ??x? ? ?

2? x 2x ? ? 4? x ? 1 1 ? 4x

,



f ? 0? ? f ? ?0? ? ? f ? 0? ,?2 f ? 0? ? 0, f ? 0? ? 0 .

? 2x ? 4 x ? 1 , x ? ? 0,1? ? ? 故当 x ? ? ?1,1? 时, f ? x ? 的解析式为 f ? x ? ? ?0, x ? 0 . ? 2x ?? x , x ? ? ?1, 0 ? ? 4 ?1 ?
考点:1.分段函数;2.求函数的解析式. 【点评】 (1)已知函数的奇偶性求解析式的题目,一般是求哪个区间,则设未知数在哪个区 间, 然后化为已知区间求解; (2) 本题是求函数 f ? x ? 在 R 上的解析式, 一定不要忘记 x ? 0 时, 函数 f ? x ? 的值. 例 3 若函 数 f ? x ? 是 奇函数, g ? x ? 是 偶 函数 ,且 其定义域 均为 {x x ? R, x ? ?1} . 若

f ? x ? ? g ( x) ?

1 ,求 f ? x ? , g ? x ? 的解析式. x ?1 1 x , g ? x? ? 2 . x ?1 x ?1
2

.Com]

【答案】 f ( x) ?

【点评】这里运用了构造法,把符合要求的奇函数与偶函数构造出来,问题也就解决了,构 造的关键是运用奇、偶函数的概念,并联系方程组的知识. 【 变 式 演 练 4 】 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x) 是 偶 函 数 , 且 x ? 0 时 ,

f ( x) ? l n x (2 ? 2x ? 2) .
当 x ? 0 时,求 f ( x) 解析式; 【答案】 f ( x) ? ln(x ? 2x ? 2) .
2

试 题 解 析 : x ? 0 时 , ? x ? 0 , ∴ f (? x) ? ln ( x 2 ? 2 x ? 2) , ∵ y ? f ( x) 是 偶 函 数 , ∴

f ( ? x) ? f ( x) ,
x ? 0 时, f ( x) ? ln(x 2 ? 2x ? 2) .

【变式演练 5】定义域为 R 的函数 f ? x ? ? (1)求 a , b 的值;

?2 x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

2 2 (2)解关于的不等式 f t ? 2t ? f 2t ? 1 ? 0 .

?

?

?

?

【答案】 (1) a ? 2 , b ? 1 ; (2) ?t | t ? 1或t ? ? ? . 【解析】

? ?

1? 3?

(2)由(1)知 f ? x ? ?

?2 x ? 1 1 1 ?? ? x , x ?1 2 ?2 2 2 ?1

由上式知 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上为减函数,
2 2 又因 f ? x ? 是奇函数,从而不等式 f t ? 2t ? f 2t ? 1 ? 0 等价于

?

?

?

?

f ? t 2 ? 2t ? ? ? f ? 2t 2 ? 1? ? f ? ?2t 2 ? 1? ,
2 2 因 f ? x ? 是减函数,由上式推得 t ? 2t ? ?2t ? 1 , 2 即 3t ? 2t ? 1 ? 0 解不等式可得 t ? 1或t ? ?

1 ; 3

故不等式的解集为: ?t | t ? 1或t ? ? ? . 考点:函数的简单性质及二次不等式的求解等有关知识的综合运用.

? ?

1? 3?

【高考再现】 1. 【2016 高考浙江文数】已知函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? x 且 f ( x) ? 2 , x ? R .(
x



A.若 f (a) ? b ,则 a ? b

B.若 f (a) ? 2 ,则 a ? b
b

C.若 f (a) ? b ,则 a ? b 【答案】B 【解析】

D.若 f (a) ? 2b ,则 a ? b

x a ? ? ? 2 ( x ? 0) ?2 (a ? 0) 试题分析:由已知可设 f ( x ) ? ? ? x ,则 f (a ) ? ? ? a ,因为 f ( x ) 为偶函数, ? ? ? 2 ( x ? 0) ?2 (a ? 0)
a b 所以只考虑 a ? 0 的情况即可.若 f (a) ? 2b ,则 2 ? 2 ,所以 a ? b .故选 B.

考点:函数的奇偶性. 【思路点睛】先由已知条件可得 f ? x ? 的解析式,再由 f ? x ? 的解析式判断 f ? x ? 的奇偶性, 进而对选项逐个进行排除.
3 2. 【2016 高考山东理数】 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时,f ( x) ? x ?1 ; 当 ?1 ? x ? 1

时, f (? x) ? ? f ( x) ;当 x ? (A)?2 【答案】D

1 1 1 时, f ( x ? ) ? f ( x ? ) .则 f(6)= ( 2 2 2
(C)0



(B)?1

(D)2

考点:1.函数的奇偶性与周期性;2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性,是高考常考知识内容. 本题具备一定难度.解答此类问题,关键在于利用分段函数的概念,发现周期函数特征,进行 函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 3.【2016 高考天津理数】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(- ? ,0)上单调递增. 若实数 a 足

f (2

a ?1

) ? f (? 2) ,则 a 的取值范围是______.
1 3 2 2

【答案】 ( , )

考点:利用函数性质解不等式 【名师点睛】不等式中的数形结合问题,在解题时既要想形又要以形助数,常见的“以形助 数”的方法有: (1)借助数轴,运用数轴的有关概念,解决与绝对值有关的问题,解决数集的交、并、补运 算非常有效. (2)借助函数图象性质,利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法,需注意 的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化. 4.【2015 高考广东,理 3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A.y ? x ? e x 【答案】 A . B.y ? x ? )

1 x

C.y ? 2 ?
x

1 2x

D.y ? 1 ? x 2

【考点定位】函数的奇偶性判断. 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题,但既不是奇函数,也不 是偶函数的判断可能较不熟悉,容易无从下手,因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除, 依题易知 B 、 C 、 D 是奇偶函数,排除得出答案,属于容易题. 5.【2015 高考福建,文 3】下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D 【解析】函数 y ? 数,故选 D. 【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性,除了要掌握奇偶性定义外,还要深刻理解其定义域特 征即定义域关于原点对称,否则即使满足定义,但是不具有奇偶性,属于基础题. )

x

B. y ? e

x

x ?x C. y ? cos x D. y ? e ? e

x 和 y ? ex 是非奇非偶函数; y ? cos x 是偶函数; y ? ex ? e? x 是奇函

6.【2015 高考安徽,文 4】下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( (A)y=lnx 【答案】D (B) y ? x2 ? 1 (C)y=sinx



(D)y=cosx

【解析】选项 A: y ? ln x 的定义域为(0,+∞) ,故 y ? ln x 不具备奇偶性,故 A 错误; 选项 B: y ? x2 ? 1 是偶函数,但 y ? x2 ? 1 ? 0 无解,即不存在零点,故 B 错误; 选项 C: y ? sin x 是奇函数,故 C 错; 选项 D: y ? cos x 是偶函数, 且 y ? cos x ? 0 ? x ?

?
2

? k? , k ? z ,故 D 项正确.

【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念. 【名师点睛】在判断函数的奇偶性时,首先要判断函数的定义域是否关于原点对称,然后再 判断 f ( x) 与 f (? x) 的关系;在判断函数零点时,可分两种情况:①函数图象与 x 轴是否有交 点;②令 f ( x) ? 0 是否有解;本题考查考生的综合分析能力. 7.【2015 高考天津,文 7】 已知定义在 R 上的函数 f ( x) = 2|x- m| - 1(m为实数) 为偶函数,记

a = f (log0.5 3), b = f (log2 5),c = f (2m) ,则 a, b, c ,的大小关系为(
(A) a < b < c 【答案】B (B) c < a < b (C) a < c < b

) (D) c < b < a

8. 【2015 新课标 2 文 12】 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? 取值范围是( A. ? ,1? ) B. ? ??, ? ? ?1, ?? ?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的的 1 ? x2

?1 ? ?3 ?

? ?

1? 3?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 3? ? 3

? ?

【答案】A 【解析】 试题分析:由 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

1 可知 f ? x ? 是偶函数,且在 ?0, ??? 是增函数,所以 1 ? x2 1 2 f ? x ? ? f ? 2x ? 1? ? f ? x ? ? f ? 2x ? 1 ? ? x ? 2x ? 1 ? x 2 ? ?2x ? 1 ? ? ? x ? 1 .故 3

选 A. 【考点定位】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法. 【名师点睛】本题综合性较强,考查的知识点包括函数的奇偶性及单调性和不等式的解法,本题 解法中用到了偶函数的一个性质,即: 真体会;另外关于绝对值不等式

f ? x? ? f ? x ?

,巧妙利用此结论可避免讨论,请同学们认

x ? 2 x ?1

的解法,通过平方去绝对值,也是为了避免讨论. )
x

9. 【2015 高考广东,文 3】下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( A . y ? x ? sin x
2

B . y ? x ? cos x
2

C. y?2 ?

1 2x

D. y ? x ? sin 2 x 【答案】A

【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性,属于容易题.解题时一定要判断函数的定义 域是否关于原点对称,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性,即 奇函数:定义域关于原点对称,且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;偶函数:定义域关于原点对称,且

f ? ?x ? ? f ? x ? .

10.【2015 高考山东,文 8】若函数 f ( x) ? 围为( (A)( 【答案】 C ) ) (B)(

2x ? 1 是奇函数,则使 ( f x) ? 3 成立的的取值范 2x ? a

) (C) (0,1 ) (D) ( 1, ??)

2x ? 1 2? x ? 1 ? ? ?x , 所以, (1 ? a)(2x ? 1) ? 0, a ? 1 , 【解析】由题意 f ( x) ? ? f (? x) ,即 x 2 ?a 2 ?a f ( x) ? 2x ? 1 2x ? 1 , f ( x ) ? ? 3 得, 1 ? 2x ? 2,0 ? x ? 1, 故选 C . 由 x x 2 ?1 2 ?1

【考点定位】1.函数的奇偶性;2.指数运算. 【名师点睛】本题考查函数的奇偶性及指数函数的性质,解答本题的关键,是利用函数的奇 偶性,确定得到的取值,并进一步利用指数函数的单调性,求得的取值范围. 本题属于小综合题,在考查函数的奇偶性、指数函数的性质等基础知识的同时,较好地考查 了考生的运算能力. 11. 【 2014 全国 2 ,文 15 】 偶函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称, f (3) ? 3 ,则

f (?1) =________.
【答案】3 【解析】因为 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 对称,故 f (3) ? f (1) ? 3 ,又因为 y ? f ( x) 是 偶函数,故 f (?1) ? f (1) ? 3 . 【考点定位】函数的奇偶性及对称性. 【名师点睛】本题考查了函数的奇偶性,函数图象的对称性,属于中档题目,根据函数图象 的对称性及奇偶性,找到未知与已知之间的关系,从而由已知即可求得未知. 12. 【2015 高考新课标 1,理 13】若函数 f(x)= x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a= 【答案】1 【解析】由题知 y ? ln( x ? a ? x 2 ) 是奇函数, 所以 ln( x ? a ? x 2 ) ? ln(? x ? a ? x 2 ) = ln(a ? x ? x ) ? ln a ? 0 ,解得=1.
2 2

【考点定位】函数的奇偶性

【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题,常用特值法,如函数是奇函数, 在 x=0 处有意义,常用 f(x)=0,求参数,否则用其他特值,利用特值法可以减少运算. 13.【2015 高考北京,文 3】下列函数中为偶函数的是( A . y ? x2 sin x D. y ? 2? x 【答案】B B . y ? x2 cos x ) C . y ? ln x

【考点定位】函数的奇偶性. 【名师点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性,属于容易题.解题时一定要判断函数的定义 域是否关于原点对称,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是函数的奇偶性,即 奇函数:定义域关于原点对称,且 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;偶函数:定义域关于原点对称,且

f ? ?x ? ? f ? x ? .
14.【2014 上海,理 20】 (本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满 分 1 分. 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a 2x ? a
?1

(1)若=4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f

( x) ;

(2)根据的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. 【答案】 ( 1) f
?1

? x ?1 ? ( 2) a ? 1 时 y ? f ( x ) 为 ( x) ? 2 ? log 2 ? ? , x ? (??, ?1) ? (1, ??) ; ? x ?1 ?

奇函数,当 a ? 0 时 y ? f ( x) 为偶函数,当 a ? 0 且 a ? 1 时 y ? f ( x) 为非奇非偶函数. 【解析】

2x ? 4 ?1 试题分析: (1)求反函数,就是把函数式 y ? x 作为关于的方程,解出,得 x ? f ( y) , 2 ?4
再把此式中的 x , y 互换,即得反函数的解析式,还要注意的是一般要求出原函数的值域,即 为反函数的定义域; (2) 讨论函数的奇偶性, 我们可以根据奇偶性的定义求解, 在 a ? 0 ,a ? 1

这两种情况下,由奇偶性的定义可知函数 f ( x ) 具有奇偶性,在 a ? 0且a ? 1 时,函数的定义 域是 x ? log2 a ,不关于原点对称,因此函数既不是奇函数也不是偶函数.

2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x , x ? 0 , f ( ? x) ? ? x ? ②当 a ? 1 时, f ( x) ? x , 2 ?1 2 ?1 1 ? 2x
∴对任意的 x ? 0 且 x ? R 都有 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ y ? f ( x) 为奇函数 ③当 a ? 0 且 a ? 1 时,定义域为 x x ? log 2 a, x ? R} , ∴定义域不关于原定对称,∴ y ? f ( x) 为非奇非偶函数。 【考点】反函数,函数奇偶性. 【名师点睛】1.求反函数,就是把函数式中的 x, y 互换,即得反函数的解析式,还要注意的 是一般要求出原函数的值域,即为反函数的定义域;. 【反馈练习】 1. 【2017 届重庆市第一中学高三 10 月月考数学(理)试卷】下列函数为奇函数的是( A. f ? x ? ? x3 ? 3x2 C. f ? x ? ? ln 【答案】C 【解析】
3? x 3? x

?



B. f ? x ? ? 2x ? 2? x D. f ? x ? ? x sin x

考点:函数的奇偶性. 2. 【2016 届河南郑州一中教育集团高三文押题二数学试卷】若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数, 则函数 y ? f ( x) 的图象的对称轴方程是( A . x ?1 D. x ? ?2 【答案】A 【解析】 试题分析:∵函数 y ? f ( x ? 1) 向右平移个单位得出 y ? f ( x) 的图象,又 y ? f ( x ? 1) 是偶函 数,对称轴方程为 x ? 0 ,? y ? f ( x) 的对称轴方程为 x ? 1 .故选 A. 考点:函数的对称性. 3. 【2016-2017 学年安徽六安一中高一上周末作业五数学试卷】若函数 f ? x ? ? 函数,则使 f ? x ? ? 3 成立的 x 的取值范围为( A. ? ??, ?1? 【答案】C 【解析】 B. ? ?1,0? C. ? 0,1? ) D. ?1, ?? ? ) C. x ? 2

B . x ? ?1

2x ? 1 是奇 2x ? a

考点:函数的奇偶性与单调性的应用.

4. 【2017 届云南昆明市高三上学期摸底统测数学(理)试卷】已知函数 f ? x ? 是奇函数,当

x ? 0 时, f ? x ? ? log2 ? x ?1? , 则 f ? ?3? ? (
A . ?2 D. 【答案】A 【解析】 试题分析: 因 为 函 数

) B. C . ?1

f ? x ? 是 奇 函 数 且 x ? 0 时 , f ? x ? ? log2 ? x ?1? , 所 以

f ? ?3? ? ? f ?3? ? ? log2 ?3 ?1? ? ?2 ,故选 A.
考点:1、函数的奇偶性;2、函数的解析式及对数的性质. 5. 【2017 届云南曲靖一中高三上月考二数学(文)试卷】已知 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时,

f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 5 ,则当 x ? 0 时, f ( x) ? ____.
【答案】 ? x ? 6 x ? 5
2

【解析】 试 题 分 析 : 因 为
2

f ( x) 为 奇 函 数 , x ? 0 时 , 可 得 ? x ? 0 , 所 以

f ? ? x ? ? ? ? x ? ? 6x ? 5 ? ? f ? x? , 因 此 f

? x? ? ? f? ? ?x

?? x 2 ? 6 x ? 5 , 故 答 案 为

? x2 ? 6x ? 5.
考点:1、函数的奇偶性;2、分段函数的解析式. 6. 【2017 届江西南昌新课标高三一轮复习训练三数学试卷】 若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ? 【答案】 【解析】 试题分析:由函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数 ? 函数 g ( x ) ? ln( x ? a ? x2 ) 为奇函 数, .

g (0) ? ln a ? 0 ? a ? 1 .

考点:函数的奇偶性. 7. 【2016-2017 学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷】若 f ( x) ? (a ? 2) x ? (a ?1) x ? 3
2

是偶函数,则函数 f ( x ) 的增区间是 【答案】 (??, 0] 【解析】

.

8. 【2016-2017 学年甘肃武威一中高一上学期阶段考一数学试卷】下列说法中: ①若 f (x) ?ax ? (2a ?b )x ?2 (其中 x ?[2a ? 1, a ? 4] )是偶函数,则实数 b ? 2 ;
2
2 2 ② f ( x) ? 2008 ? x ? x ? 2008 既是奇函数又是偶函数;

x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x) , 则当 x ? R 时 , ③已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当
; f ( x) ? x(1 ? x) ④ 已 知 f ( x) 是 定 义 在

R

上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 任 意 的 x, y ? R 都 满 足

f ( x? y ) ? x? f ( ) y?
其中正确说法的序号是 【答案】①②③④ 【解析】

y ? (f,则 )x f ( x) 是奇函数;
(注:把你认为是正确的序号都填上) .

试 题 分 析 : ① 若 f ? x ? ? ax ? ? 2a ? b ? x ? 2 是 定 义 在 [2a ? 1, a ? 4] 上 的 偶 函 数 , 则
2

? 2a ? 1 ? a ? 4 ? 0 ?a ? ?1 ,所以 ? ,①正确; ? ? 2a ? b ? 0 ?b ? 2
② f ? x? ?

2008 ? x 2 ? x 2 ? 2008 的 定 义 域 为 ?2008, ?2008? , 则 函 数 转 化

f ? x ? ? 0, x ??2008, ?2008? ,所以 f ? x ? 既是奇函数与又是偶函数;②正确;
③当 x ? ? ??,0? 时, ? x ? ? 0, ?? ? ,则 f ? ?x ? ? ? x ?1 ? x ? ,根据奇函数 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,

所以 f ? x ? ? x ?1 ? x ? , x ? ? ??,0? ,所以当 x ? R 时, f ? x ? ? x 1 ? x ,③正确; ④令 x ? y ? 1 ,得到: f ?1? ? 0 ,令 x ? y ? ?1,得到: f ?1? ? ?2 f ? ?1? ,所以 f ? ?1? ? 0 , 令 y ? ?1 ,则有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? 为奇函数,④正确。 所以①②③④正确。 考点:函数性质的综合应用。 9. 【2017 届陕西汉中城固县高三 10 月调研数学(文)试卷】设 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且在

?

?

[0, ??) 上是增函数,若 f (?3) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 的解集是
【答案】 ? ?3,3? 【解析】



试题分析:根据函数为偶函数,图象关于 y 轴对称,且单调性左减右增,画出函数草图如下 图所示,由图可知, f ( x) ? 0 的解集是 ? ?3,3? .

考点:函数的奇偶性与单调性. 10. 【2016-2017 学年江西南昌市高三新课标一轮复习二数学试卷】已知函数 y ? f ? x ? 的定 义域为 R ,且对任意 a, b ? R ,都有 f ? a ? b? ? f ? a ? ? f ?b ? .且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 恒 成立, f ? 3? ? ?3 . (1)证明:函数 y ? f ? x ? 是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y ? f ? x ? 是奇函数;
* (3)试求函数 y ? f ? x ? 在 ?m, n? m, n ? N 上的值域.

?

?

【答案】 (1)证明见解析; (2)证明见解析; (3) ? ?n, ?m? . 【解析】 试题分析: (1)证明:由已知得 f ? x2 ? ? f ? ? x1 ? ? x2 ? x1 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? . 再利用 f ? x2 ? x1 ? ? 0 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? ,故 f ? x ? 是 R 上的减函数; ( 2 ) 令

a?

?b

?x ?

f?

? ? x ? ? ? f ? 0?

?x ,

又 f



a ? b ? 0 ? f ? 0? ?

0? ? 0 . 0 ? ?f ?0 ? ? ? ff ?

从 而 任 意 的 x ? R, f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ;( 3 ) 由 减 函 数 ?

? nf f ? x ?max ? f ? m? , f ? x ?min ? f ? n ? .又 f ?n ? ? f ? ? ? 1 ?? ?1? n ?
和 f ?1? ? ?1 ? f ? m? ? ?m

1 ? ? , f ? m? ? mf ?1?

f ? n ? ? ?n ?值域为 ? ?n, ?m? .
试 题 解 析 : ( 1 ) 证 明 : 设 任 意

x1, x2 ? R
f
1





x1 ?

, x2 ?

?f

? 2? ?x

?

? f 1 ?? ? x ? 2?

? x 1? ?

x

? .? 1

f

x ?2

x

x

? x2 ? x1 ? 0 ,? f ? x2 ? x1 ? ? 0 ,? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? ? f ? x1 ? ,
故 f ? x ? 是 R 上的减函数. ( 2 ) 证 明 :? f

?

a ? ? b?

?f ?

a? ? ?f 恒b成 立 , ? 可 令 a ? ?b ? x, 则 有

f? x ? ? ?f ? ? x ? ?0f? ,
又令 a ? b ? 0 ,则有 f ? 0? ? f ? 0? ? f ? 0? ,? f ? 0? ? 0 . 从而任意的 x ? R, f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ,? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,故 y ? f ? x ? 是奇函数. (3)解:由于 y ? f ? x ? 是 R 上的单调递减函数,? y ? f ? x ? 在 ?m, n? 上也是减函数, 故 f ? x ? 在 ?m, n? 上的最大值 f ? x ?max ? f ? m? ,最小值 f ? x ?min ? f ? n ? . 由于 f ? n ? ? f ? ?1 ? ? n ? 1? ? ? ? f ?1? ? f ? n ? 1? ? ? ? nf ?1? ,同理 f ? m? ? mf ?1? . 又 f ? 3? ? 3 f ?1? ? ?3 ,? f ?1? ? ?1 ,? f ? m? ? ?m, f ? n ? ? ?n .

因此函数 y ? f ? x ? 在

?m, n? 上的值域为 ??n, ?m? .

考点:1、函数与不等式;2、奇偶性;3、单调性. 11. 【2016-2017 学年江西南昌市高三新课标一轮复习二数学试卷】设定义在 ? ?2, 2? 上的奇 函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 2? 上单调递减,若 f ? m? ? f ? m ?1? ? 0 ,求实数 m 的取值范围. 【答案】 ?1 ? m ? 【解析】

1 . 2

考点:1、函数与不等式;2、奇偶性;3、单调性. 12. 【2016-2017 学年辽宁六校协作体高二期初考试数学试卷】设函数 y ? f ( x) 的定义域为

R ,并且满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y ) ,且 f (2) ? 1 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .
(1)求 f (0) 的值; (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并给出证明; (3)如果 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 ,求的取值范围. 【答案】 (1) f (0) ? 0 ; (2)函数 y ? f ( x) 为奇函数; (3) {x | x ? 1} ; 【解析】 试题分析: (1)利用赋值法,求 f (0) 的值,即令 x ? y ,能求出 f (0) ; (2) 利用函数奇偶性的定义, 判断函数 f ( x) 的奇偶性, 即令 x ? 0 ,可得到 f ( y ) 与 f (? y ) 的

关系;

) 对 f ( x)? f ( x? 2 )? 2 ( 3 ) 由 奇 偶 性 及 f ( x ? y) ? f ( x)? f ( y, 进行转化,可得到
f ( x? 2 ) ? f ( 4 ) ? f ( x ) ? f (? 4 x ) f ( x) 在 R 上的单调性,即可求出 ,然后再利用定理证明
的取值范围 试题解析: (1)令 x ? y ? 0 ,则 f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 ;

(3)任取 x1 , x2 ? R ,不妨设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
因为当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 所以 f ( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 所以函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上单调递增. 因为 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 所以 f ( x) ? f ( x ? y ) ? f ( y ) 所以 2 ? 1 ? 1 ? f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (4 ? 2) ? f (4) 因为 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 2 所以 f ( x) ? f ( x ? 2) ? f (4)

所以 f ( x ? 2) ? f (4) ? f ( x) ? f (4 ? x) 因为函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上单调递增 所以 x ? 2 ? 4 ? x ,从而 x ? 1 ,所以的取值范围为 {x | x ? 1} 考点:1.抽象函数及其应用;2.函数的奇偶性与单调性综合应用;s



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