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高中数学涂色问题常用技巧


高中数学涂色问题常用技巧 王忠全 涂色问题是一个复杂而有趣的问题,高考中不时出现,处理涂色问题 常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理; 常用的数 学思想是等价转换,即化归思想;常见问题有:区域涂色、点涂色和 线段涂色、面涂色;常考虑的问题是颜色是否要用完。 例1、 用四种颜色给如下区域涂色,要求一空涂一色,邻空不同色, 有多少种涂法?

1 3 2 4

解析:按题意,颜色要用完,1 有 4 种涂法;2 有 3 种涂法;3 有 2 种涂法;涂 1,2,3 只用了三种颜色,4 必须涂第四种颜色,有 1 种 涂法,共有 A44 =24 种涂法。 例 2、给如下区域涂色,有四种颜色供选择,要求一空涂一色,邻 空不同色,有多少种涂法?

1 3 2 4

解析: 颜色可供选择, 可理解为颜色可用完和不用完两种, 分类处理,
1

至少要用三色涂空,才能满足要求。 法 1: 1) 2)
3 恰用三色: C4 ? 3 ? 2 ? 1? 2 =48 种涂法;

恰用四色:同例 1,有 24 种涂法。

共有 24+48=72 种涂法。 法 2:1 有 4 种涂法;2 有 3 种涂法;3 有 2 种涂法;4 有 3 种涂法; 共 72 种涂法。 评析:由上述解法知,颜色用完和可供选择是两回事,做题时一定要 区分。 一、 区域涂色问题 (一) 、圆形区域涂色:处理圆形区域涂色大致有三种方法:间空涂 色法;公式法。 例 3、用四种颜色给如下区域涂色,用四种颜色给如下区域涂色,要 求一空涂一色,邻空不同色,有多少种涂法? 一、 间空涂色法; 法 1、用空分类 选择 1,3
1 1 1)1,3 同色,则 1,3 有 C4 种方法,2 有 C3 种方法,4 不

1 2 4 3

5

可能与 1,3 同色,但可与 2 同色,分两类:4 与 2 同色,只用了两种颜色,5 有 2 种方法;4 与 2 不同色,则 4 有 2 种 方法,5 有 2 种涂法,此时,共有 4 ? 3(2 ? 2 ? 2) ? 72种方法。
1 2)1,3 不同色,则 1,3 有 A42 种方法,2 有 C2 种方法,4 与 1

2

同色,5 有 3 种方法;4 与 2 不同色,则 4 有 2 种涂法,5 有 2 种涂 法,共有 12 ? 2 ? (2 ? 2 ? 3) =168 种方法,综上所述,共有 72+168=240 种涂法。 法 2:公式法 共有 35+3 ? (-1)5=240 种方法。 定理:用 m 种颜色(可选择)填圆形区域的 n 个空,一空涂一色, 邻空不同色的涂法有 (m ? 1) n ? (?1) n ? (m ? 1) 种。 证明:如图,设有 an 种不同涂法。

1 2 3

n … 1 2 3 … .. n

不妨把之剪开,化为矩形区域,共有 m(m ? 1) n?1 种涂法,但区域 1、n 不能 涂同色,把 1、n 捆绑成一个空,有 an-1 种涂法,则
an ? m(m ? 1) n?1 ? an?1
a n ? ?a n ?1 ? m ? (m ? 1) n ?1 an a n ?1 m ?? ? n n m ?1 (m ? 1) (m ? 1) a n ?1 1 m ?? ? n ?1 m ? 1 (m ? 1) m ?1

2 其中 a2 ? Am ? m(m ? 1) ,设 bn ?

an m , 则b2 ? n m ?1 (m ? 1)

1 ?bn ? r ? ,则 r=1, m ?1 1 1 为首项 ,? 为公比的等比数列 。 可知, 数列{bn ? 1}是以 b2 ? 1 ? m ?1 m ?1

令 bn ? r ? ?

3

1 ? 1 ? bn ? ??? ? m ?1 ? m ?1?
n

n?2

? 1,
n?2

1 1 ? ? a n ? ?m ? 1? ? [? ? ? m ?1 ? m ?1?

? 1] ? ?? 1? ?m ? 1? ? ?m ? 1?
n

n

这个公式适用于颜色可选择性问题和最低保底颜色问题,不适用于 “恰用色”问题。 例 4(2003 江苏)四种不同颜色涂在如图所示的六个区域,且相邻两 个区域不同色的涂法共有 种。

6 2 2 1 3 3 4 5

6 5 1 4

解析:依题意,四种颜色都要用上,属于恰用色,同时,填这六个空 最少要 4 种颜色,属于保低色,可用公式。把左图等价转化为右图.
5 先涂 1: 有 4 种方法; 余下 3 色涂 5 个空 (圆形) 有 (3-1) +(-1)5 (3-1)

=30 种涂法,由分步计数原理,共有 120 种涂法. 若用间空涂色,可这样考虑: 1)涂 1,有 4 种方法,余下 3 种颜色;
1 2)2、4 同色,有 C3 种涂法;此时,3 有 2 种涂法;5 与 3 同色时,6

有 1 种涂法(颜色要用完) ;5 与 3 不同色时,5 有 1 种涂法,此时 6 有 1 种涂法,共有 3 ? 2 ? (1 ? 1) ? 12 种涂法; 2、4 不同色,有 A32 =6 种涂法;此时 3 有 1 种涂法;若 5 与 3 同色,
4

6 有 1 种涂法;5 与 3 不同色,6 有 2 种涂法(与 4,或 3 同色)共有
6 ? 1? (1 ? 1? 2 )=18 种涂法;

综上所述,由分步计数原理,共有 120 种涂法评析:分类讨论,种类 繁多,要做到不重不漏,必须小必应对,任何方法都不是万能的,关 键是要熟练掌握。 变式: (2003 全国)一个行政区分为 5 个区域,用 4 种颜色给地图涂 色,要求邻居空不同色的不同涂色方法有
1

种。

3 4

1

5

二、点涂色问题 用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题,是做题的关键。 例 5、用 4 种颜色给四面体的四个顶点涂色,要求邻点不同色的涂法 共有多少种?
P 4 1 2 A C B 3

解析;一脚把点 P 踩到 ABC 平面,问题等价转化为给下图涂色。 共有 4 ? (?1) 3 ? 2 ? (3 ? 1) 3 ? 24 种,即 A44 种涂法。
5

变式:用 5 种颜色给四面体的四个顶点涂色,要求邻点不同色的涂法 共有多少种?
P

A C
1 答案: C54 ? A44 ,或 C5 (33 ? 3) =120 种

B

三、线段涂色 用等价转化思想把点涂色问题转化为区域涂色问题。 例5、 用 6 种颜色给四面体的 6 条棱涂色,要求邻棱不同色的涂法共 有多少种?
P 4 1 3 4 5 C 6 2 5 1 3 B 6 2

A

解析:把图转化为: 1)恰用 3 色,则 1、6;2、5;3、4 分别同色,有 C63 A33 ? 120种涂法; 2)恰用 4 色,则 1、6;2、5;3、4 有两对分别同色,如 1、6;2、 5 同色,3、4 有 A42 种涂法,两同色组有 A22 种涂法,共有 C64 C32 A42 A22 种 涂法 3)恰用 5 色,则 1、6;2、5;3、4 有 1 对分别同色,如 1、6;则 3、
6

4 1 4,2、5 有 A44 种涂法,共有 C64 C3 种涂法 A4

4)恰用 6 色,有 A66 种涂法; 综上所述:共有 4080 种涂法。 评析,若你很难转化为区域问题,就不要转化,按线段的相对性 可做。 四、面涂色问题 同上面说过的方法类似,能转则转,否则用面的相对性求解。 例 7、用 6 种颜色(可选择)给正方体的 6 个面涂色,要求邻不同色, 有多少种不同的涂法?

D` A` B`

C` 6 5 2 4 1 3

D

C

A

B

解析:图转化为 1)恰用 3 色,有 A43 =24 种; 2)恰用 4 色,有 C32 A44 =72 种 共有 96 种。 五、恰用色与可选色的联系 设保底色为涂法数为 am,恰用色涂法数为 an,则可选色涂法数
7

Bn=am+am+1+…+an 例 8、用 4 种颜色给如下区域涂色,颜色必须用完,相邻区域不同色, 有多少种涂法

1

3

4

5

2

解析:按要求涂色,最少要 3 种颜色(保底色) ,用 3 色涂之,1 有 3 种;2 有 2 种;3 有 1 种;4 与 1 同色时,5 有 2 种,4 与 2 同色时,
3 5 有 2 种,共有 C4 (3 ? 2 ?1? 2 ? 2) ? 96 种涂法;

4 色可选时,有 4 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 216 种; 那么,恰用四色有 216-96=120 种。 法 2:1、4 或 2、4 同色,有 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2 ? 48 种; 1、4, (2、4)不同色,有 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? 72 种 共有 120 种。 总之,涂色问题比较复杂,做题时,分类要清楚,可用空分类,也可 用色分类, 在做题上掌握斯技巧; 注意等价转化, 末两空捆绑等方法, ; 注意颜色用完与可选的区别。

8



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