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江苏省启东中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理(含答案)

江苏省启东中学 2017-2018 学年高二第二学期期中考试 理科数学试卷 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.函数 f ( x) ? x sin x 的导数是 9 5 6 2.若 Cn ,则 Cn = ? Cn . . (用数字作答) . 3.设曲线 y ? ax3 ? x 在 (1, a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行, 则实数 a 的值为 4.人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 37 s,黄灯时间为 3 s,绿灯时间为 60 s.从西向东行驶的一辆公交车通过该路口,遇到绿灯的概率为 5.函数 f ( x) ? x ln x 的单调减区间是 6.函数 f ( x) ? . . . 1 3 1 x ? 4 x ? 的极大值是 3 3 . ' 7.将黑白 2 个小球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,则黑白两球均不在 1 号盒子 的概率为 8.设函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x) ,若 f ( x) ? 5x ? 2xf (1) ,则 f (3) = 3 ' ' . 9.用数字 1 到 9 组成没有重复数字的三位数, 且至多有一个数字是偶数, 这样的四位数一共 有 个. (用数字作答) 3 10. 已 知函数 f ( x) ? x ? 27 x 在 区间 [a, a ? 1] 上 不是 单调函 数,则 实数 a 的取 值范 围 是 . 11.已知两曲线 f ( x) ? a sin x , g ( x) ? 2 cos x, x ? ( 的切线互相垂直,则实数 a 的值是 . ? 2 , ? ) 相交于点 P,若两曲线在点 P 处 12.某种圆柱形的饮料罐的容积为 V,为了使得它的制作用料最省(即表面积最小) ,则饮料 罐的底面半径为(用含 V 的代数式表示) . 13. 已知直线 y ? m ,分别与直线 y ? 5x ? 5 和曲线 y ? 2e ? x 交于点 M,N 两点,则线段 x MN 长度的最小值是 . ?x?2 ( x ? 0) ? 14. 已知 a 为常数, 函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 若关于 x 的方程 f ( x) ? ax ? 2 有且只有四 ? ln x ( x ? 0) ? 个不同的解,则实数 a 的取值所构成的集合为 . 1 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文字 ....... 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在班级活动中,4 名男生和 3 名女生站成一排表演节目: (写出必要的数学式,结果用数字 作答) (1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法? (2)四名男生相邻有多少种不同的排法? (3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法? (4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等) 16. (本小题满分 14 分) 设关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0,其中 a,b 是某范围内的随机数,分别在下列条 件下,求上述方程有实根的概率. (1)若随机数 a,b∈{1,2,3,4,5}; (2)若 a 是从区间[0,5]中任取的一个数,b 是从区间[0,4]中任取的一个数. 2 2 17. (本小题满分 14 分) 2 已知曲线 f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax 在点(0, f (0) )处的切线斜率为 3 . 2 (1) 求 f ( x ) 的极值; (2) 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ,若 g ( x) 在(-∞,1]上是增函数,求实数 k 的取值范围. 18. (本小题满分 16 分) 1 3 2 已知函数 f ( x ) = x -2x +3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围; (2)求 f ( x ) 在区间 ?1, 4 上的最值; (3)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐 标的取值范围. ? ? 3 19. (本小题满分 16 分) 为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆, 展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友 风采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是一个半径为 2 百米,圆心角为 ? 的 3 扇形展示区的平面示意图.点 C 是半径 OB 上一点,点 D 是圆弧 AB 上一点,且 CD //OA .为了 实现“以展养展” ,现决定:在线段 OC 、线段 CD 及圆弧 DB 三段所示位置设立广告位,经测 算广告位出租收入是:线段 OC 处每百米为 2 a 元,线段 CD 及圆弧 DB 处每百米均为 a 元.设 ?AOD ? x 弧度,广告位出租的总收入为 y 元. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出该函数的定义域 ; (2)试问 x 为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值. B C D x O A 第19题图 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2ln x ? 1 x 2 ? ax(a ? R) . 2 (1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 3 ? 2 ln 2 ; 2 (3)设 g ( x) ? f ( x) ? ln ax ,对于任意 a ? (0,2) 时,总存在 x ? [1,2] ,使 g ( x) ? k (a ? 2) ? 2 成立,求 (2)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1,x 2 ,且 x1 ? (0, 1] ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 实 数 k 的取值范围. 4 江


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