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数学竞赛辅导─不等式(三)


竞赛辅导─不等式( 竞赛辅导─不等式(三)
引入

思考一

思考二

思考三

课外思考

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竞赛辅导─不等式( 竞赛辅导─不等式(三)
运用不等式解决最值( 尤其是含多个变量) 问题, 运用不等式解决最值 ( 尤其是含多个变量 ) 问题 , 这是一种常用方法 特别是条件最值问题, 常用方法. 这是一种 常用方法 . 特别是条件最值问题 ,通常运用 平均值不等式、柯西不等式、 平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不 等式等,但要注意取等号的条件能否满足. 等式等,但要注意取等号的条件能否满足.

2

思考一 思考一

a b 为给定的正实数, 1. 已知 x ∈ (0,1) , a , b 为给定的正实数 , 则 + x 1 x 的最小值为( 的最小值为( A ) 1 a+b 2 2 (A) ( a + b ) (B) ( a + b ) (C) a + b (D) 2 2 2.( 2.(2000 希望杯高二第 2 试 ) 已知 x , y , z ∈ R + , 且 y z 1 2 3 的最小值是( ) + + = 1 ,则 x + + 的最小值是 ( 2 3 x y z (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 (A)5 (B)6 (C)8 (D)9 思路: 构造重要不等式;构造均值不等式 换元法 不等式; 1思路: 构造重要不等式;构造均值不等式;换元法.

D

3

重要不等式运用

练习: 练习: 1.(1997 希望杯高二第 1 试)如果 a + b + c = 1 ,那么 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1 的最大值是_______. 的最大值是_______. 3 2 2.求函数 的最大值. 2.求函数 y = sin 3 x sin 3 x 的最大值.

1 4

1思路: 构造重要不等式尝试, 思路: 构造重要不等式尝试, 尝试时抓取等号的条件. 尝试时抓取等号的条件.

4

思考二 思考二 1.如果 1.如果 x > 0, y > 0, z > 0 且 x 2 + y 2 + z 2 = 1 , 3 z x y 3 3; ⑵ xy + yz + zx 的最小值. 的最小值; 的最小值. ⑴求 的最小值 + + xy yz zx z x y 2.( 试题) 为正实数, 2.(第 36IMO 试题)设 a , b, c 为正实数,且满足 abc = 1 , 1 1 1 3 的最小值. 求 3 的最小值. + 3 + 3 a (b + c ) b (a + c ) c (a + b) 2 3.已知 3.已知 a , b, c , d , e 是满足 a + b + c + d + e = 8 ,

16 2 2 2 2 2 的实数解, 最大值. a + b + c + d + e = 16 的实数解,试求 e 最大值. 5
5

1思路: 重要不等式尝试;平方法尝试; 换元法尝试. 思路: 重要不等式尝试;平方法尝试; 换元法尝试.

思考三 思考三: 常数) 设 ai ∈ R + ( i = 1, 2, 3, , n ) ( n 是常数), 且 ∑ ai = 1 ,
i =1 n

an a1 a2 + + + 求 S= 的 1 + a2 + + an 1 + a1 + a3 + + an 1 + a1 + + an1 最小值. 最小值. n
变一下: 变一下:
+

2n 1
n i =1

常数) 设 ai ∈ R ( i = 1, 2, 3, , n) ( n 是常数), 且 ∑ ai = 1 ,

2 a12 a22 n 的最小值. 求S= 的最小值. + + + 1 + a2 + + an 1 + a1 + a3 + + an 1 + a1 + + an1

1 2n 1 a

6

思考四

思考五

思考四 思考四: 求其积的最大值. 已知若干个正整数之和为 2007 ,求其积的最大值.

∵ 2007 = 669 × 3 669 ∴最大值为 3

7

思考五: 思考五 2 2 2 的最大值, 求 S = sin θ 1 + sin θ 2 + + sin θ n 的最大值, 其中 0 ≤ θ i ≤ π , θ1 + θ2 + + θn = π , n ∈ N .
*

9 4
提示:可用圆内接多边形来考虑. 提示:可用圆内接多边形来考虑.

8

课外思考: 课外思考: 3)已知 1.(教程 1.( 教程 P299 3) 已知 x , y 都在区间 ( 2, 2) 内 , 且 xy = 1 ,

12 4 9 的最小值是____. 则函数 = 的最小值是____. + 2 2 5 4 x 9 y 2.(教程 9)设 为自然数, 为正实数, 2.(教程 P299 9)设 n 为自然数 , a , b 为正实数,且满足条件
1 1 a + b = 2 ,则 的最小值是______. + 的最小值是 ______. n n 1+ a 1+ b 3.( 年全国高中数学联赛四川省初赛)0<a、 b、 c< 1 3.( 2004 年全国高中数学联赛四川省初赛 、 、 < 1 1 1 + + 满足条件 ab+ bc+ ca= 1, + + = , 则 的最小值 1 a 1 b 1 c 是 ____. 3(3 + 3 )

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