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宁夏银川一中2014-2015学年度高二上学期期末考试数学(理)试题


银川一中 2014/2015 学年度(上)高二期末考试

数 学 试 卷(理科)
一、选择题: (每题 5 分) 1.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则 z 等于 A.2+4i B.2-4i C.4-2i D.4+2i

2. 用反证法证明:若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a、b、c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a、b、c 都是偶数 C.假设 a、b、c 至多有一个偶数 )

B.假设 a、b、c 都不是偶数 D.假设 a、b、c 至多有两个偶数

3.若向量 a =(1,1,x), b =(1,2,1), c =(1,1,1),满足条 件( c - a )· (2 b )=-2,则 x 的值为( A.1
1 x

) D.4 )

B.2
2

C.3

4.曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线的纵截距为( A.- e 2 B.- 4e 2 C. 2e 2 D.

9 2 e 2
D M A B C

5.如图,在底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AC 与 BD 的交点,若 AB ? a , AD ? b, AA1 ? c , 则下列向量中与 B1 M 相等的向量是( A. ? )
D1 A1

1 1 a? b?c 2 2

B.

1 1 a? b?c 2 2

C1 B1

1 1 C. ? a ? b ? c 2 2

1 1 D. ? a ? b ? c 2 2
)

D

6.如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,O 为 AD 中点,抛物 线 F 的顶点为 O 且通过点 C,则阴影部分的面积为(
1 A. 4 1 B. 2 1 C. 3 3 D. 4
O A

F C

B

→ → 1 → 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在AC1上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点, 2 → 则|MN|为( )

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A.

15 6

B.

6 6

C.

15 3

D.

21 6

8. 如图,第(1)个图案由1个点组成,第(2)个图案由3个点组成,第(3)个图案由7个点组成, 第(4)个图案由13个点组成,第(5)个图案由21个点组成,……,依此类推,根据图案中点 的排列规律,第100个图形由多少个点组成( )

(1)

(2)

(3)

(4) C. 9902 D. 9903 )

(5)

A. 9900

B. 9901
x

9. 设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? ?

1 e

D. a ? ?

1 e

3 2 10. 已知 f ( x) ? x ? 3 x ? 2 , x1, x2 是区间 ? ?1,1? 上任意两个值, M ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒

成立,则 M 的最小值是( A. -2 B. 0 C. 2

) D. 4 )

11. 若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( A. [?1, ??) B. (?1, ??) C. (??, ?1] D. (??, ?1)

1 2

12.已知定义在 R 上的奇函数为 f(x),导函数为 f ' ( x ) ,当 x ? ( ?? ,0] 时,恒有
xf ' ( x ) ? f ( ? x ) ,令 F(x)=xf(x),则满足 F(3)>F(2x-1)的实数 x 的取值范围是(

)

A.(-1,2)

B. (-1,

1 ) 2

C. (-2,

1 ) 2

D. (-2,1)

二、填空题: (每题 5 分) 13.函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 3] 上的最小值是____.
3

14.设平面 α 与向量 a =(-1,2,-4)垂直,平面 β 与向量 b =(2,3,1)垂直,则平面 α 与 β 的位置关系是________. 1 1 1 3 5 15. 设 n 为正整数,f(n)=1+2+3+…+n,计算得 f(2)=2,f(4)>2,f(8)>2,f(16)>3, 观察上述结果,可推测一般的结论为_____________________.

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16.已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ? 0 ,则
三、解答题:

f (1) 的最小值为________. f '(0)

17.(本小题满分 10 分) 已知 a>0,b>0,求证:
a b ? b a ? a? b

18.(本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° , D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 用数学归纳法证明:
n( n ? 1) 12 22 n2 ? ??? ? (n ? N ? ) . 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2( 2n ? 1)

20.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? OABC 中, PO ? 底面 OABC , ?OCB ? 60? , P

?AOC ? ?ABC ? 90? , 且 OP ? OC ? BC ? 2 .
(1)若 D 是 PC 的中点,求证: BD / / 平面 AOP ; (2)求二面角 P ? AB ? O 的余弦值.
A B O

D

C

21.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=(x2-x1 ax )e a

(a>0,a∈R))

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间. (2)若不等式 f(x)+
3 ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立,求 a 的取值范围. a

22. (本小题满分 12)

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已知 f ? x ? ? ax ? ln ? ? x ? , x ? ? ?e, 0 ? , g ( x) ? ? (1)讨论 a ? ?1 时, f ( x) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g( x ) ?

ln(? x) ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x) 的最小值是 3 ,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说 明理由.

高二期末数学(理科)试卷参考答案
一、选择题: (每题 5 分)

题 号 答 案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

B

B

A

D

C

D

B

A

D

C

A

二、填空题: (每题 5 分) 13. ?16 14.垂直 15. f( 2 )≥
n

n+2 2

16. 2

三、解答题: 17.法 1:∵a>0,b>0 ∴
a b ? b a ? a? b? a b
1 b

? b?
1 a

b a

? a

?

a?b b

?

b?a a

? (a ? b) ? (

?

)?

( a ? b )2 ( a ? b ) ab

?0



a b

?

b a

? a? b a b ? b a ? a? b

法 2:要证:

只需证: a a ? b b ? a b ? b a 只需证: a( a ? b ) ? b( a ? b ) ? 0 只需证: ( a ? b )(a ? b) ? 0 只需证: ( a ? b ) 2 ( a ? b ) ? 0 恒成立

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a b

?

b a

? a? b

18..解:(1)证明:设 CA =a, CB =b, CC ? =c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且 a· b=b· c=c· a=0, 1 1 1 ∴ CE =b+ c, A? D =-c+ b- a. 2 2 2 1 1 ∴ CE · A? D =- c2+ b2=0, 2 2 ∴ CE ⊥ A? D ,即 CE⊥A′D. (2) AC ? =-a+c,∴| AC ? |= 2|a|,| CE |= (b+ c)= c2= |a|2, AC ? · CE =(-a+c)· 2 2 2 1 2 |a| 2 10 ∴cos〈 AC ? , CE 〉= = . 5 2 10 2· |a| 2 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 19.证明:①n=1 时,左= ②假设 n=k 时, 10 . 10 1 1 1 5 |a|. 2

1? 2 1 12 1 ? ,等式成立 ? ,右= 2? 3 3 1? 3 3

k ( k ? 1) 12 22 k2 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ( 2k ? 1)( 2k ? 1) 2( 2k ? 1) ( k ? 1) 2 12 22 k2 ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ( 2k ? 1)( 2k ? 1) ( 2k ? 1)( 2k ? 3) ? ? k ( k ? 1) ( k ? 1) 2 ? 2( 2k ? 1) ( 2k ? 1)( 2k ? 3) ( k 2 ? k )( 2k ? 3) ? 2( k ? 1) 2 ( k ? 1)( 2k 2 ? 5k ? 2) ? 2( 2k ? 1)( 2k ? 3) 2( 2k ? 1)( 2k ? 3)

当 n=k+1 时,

?

( k ? 1)( 2k ? 1)( k ? 2) ( k ? 1)( k ? 2) ? 2( 2k ? 1)( 2k ? 3) 2( 2k ? 3)

即:n=k+1 时,等式成立,

由①②知,对一切 n ? N+,等式成立。 20. 解: (1)如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz .连接 OB ,易知 ?z OBC 为等边三角形,

P(0, 0, 2), C (0, 2, 0), B( 3,1, 0) ,则 D(0,1,1), BD ? (? 3, 0,1) .又易知平面 AOP 的法向量


P D

OC ? (0, 2, 0) ,
A

O

C

y

由 BD ? OC ? ? 3 ? 0 ? 0 ? 2 ? 1 ? 0 ? 0 ,得 BD ? OC ,

x B 橡皮网 - 正确地成长(www.xiangpi.com)

所以 BD / / 平面 AOP ………………………6 分 (2)在 ?OAB 中, OB ? 2, ?AOB ? ?ABO ? 30? ,则 ?OAB ? 120? ,由正弦定理, 得 OA ?

2 3 3 2 3 , 0, 0) ,所以 AB ? ( ,1, 0) , PB ? ( 3,1, ?2) . ,即 A( 3 3 3

设平面 PAB 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,

? 3 ? x? y ?0 ?m ? AB ? m ? AB ? 由? , ?? 3 ? m ? PB ? ? ?m ? PB ? 3 x ? y ? 2 z ? 0
令 x ? 3 ,则 y ? ?1, z ? 1 ,即 m ? ( 3, ?1,1) …………………10 分 又平面 OABC 的法向量为 n ? OP ? (0, 0, 2) , 所以, cos ? m, n ??

| m?n | 2 5 ? ? . | m || n | 5?2 5

即二面角 P ? AB ? O 的余弦值为 21..对函数求导得

5 ………………………13 分 5
x>1,或 x<-1………3 分

f(x)=eax(ax+2)(x-1)…………….2 分

(1)当 a=2 时,f’(x)=e2x(2x+2)(x-1), 令 f’(x)>0,

所以 f(x)的单调增区间为(-∞,-1) , (1,+∞) ,单调减区间为(-1,1)……5 分 (2)令 f’(x)=0, (ax+2)(x-1)=0 解得 x=-

2 或 x=1,因为 a>0,x∈(0,+∞)…….7 分 a

x f’ (x) f(x )

(0,1) —

1 0

(1,+∞) +

减函数 值
1 a

极 小

增函数

由表可知函数在 x=1 时取得极小值 f(1)=因为不等式 f(x)+

ea……………………………………10 分

1 a 3 3 ≥0,对 x∈(0,+∞)恒成立,所以e + ≥0,解得 0<a≤ln3…12 分 a a a

22. 解析: (1)? f ? x ? ? ? x ? ln ?? x ?

f ' ? x ? ? ?1 ?

1 x ?1 ?? x x

? 当 ? e ? x ? ?1 时, f ' ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 为单调递减,
当 ? 1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,此时 f ? x ? 为单调递增,

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? f ? x ? 的极小值为 f ?? 1? ? 1 .
(2)? f ? x ? 的极小值,即 f ? x ? 在 ?? e,0 ? 的最小值为 1 ,

? 令 h? x ? ? g ? x ? ?
又? h ' ? x ? ?

1 ln ?? x ? 1 ?? ? 2 x 2

ln(? x) ? 1 , 当 ? e ? x ? 0 时 h'? x ? ? 0 x2

h? x ? 在 ?? e,0 ? 上单调递减
? h? x ?max ? h?? e ? ? ? ? ? ? 1 ? f ( x ) min
? 当 x ? ?? e,0 ? 时, f ( x ) ? g ? x ? ?
1 2

1 e

1 2

1 2

1 2

(3) 假设存在实数 a , 使 f ? x ? ? ax ? ln ?? x ? 有最小值 3 ,x ? ?? e,0 ? , f ' ? x ? ? a ? ①当 a≥0 时, f ' ( x ) ≥0

1 x

? 函数 f ( x ) ? ax ? ln( ? x ) 在[-e,0)上为增函数
f ( x ) min ? f ( ? e ) ? ? ae ? 1 ? 3

得 a ? ? (舍去) ②当 a ? ? 时,由于 x ? ?? e,0 ? ,则 f ' ? x ? ? a ?

4 e

1 e

1 ?0 x

? 函数 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是 ?? e,0? 上的增函数
? f ? x ?min ? f ?? e ? ? ?ae ? 1 ? 3
解得 a ? ?

4 1 ? ? (舍去) e e
1 e 1 1 时, f ' ? x ? ? a ? ? 0 a x

③当 a ? ? 时,则当 ? e ? x ?

此时 f ? x ? ? ax ? ln ?? x ? 是减函数 当

1 1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? a ? ? 0 ,此时 f ? x ? ? ax ? ln ?? x ? 是增函数 a x

?1? ? 1? ? f ? x ?min ? f ? ? ? 1 ? ln? ? ? ? 3 ?a? ? a?
解得 a ? ?e 2 综上,存在 a ? ?e 2 满足条件

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