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第2章 条件概率与独立性 习题答案




2-1 (1) P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.8; (2) P ( A | B )
? P( AB) P(B) P( AB) P ( A) ? 0 .1 0 .4 0 .1 0 .5 ? 0 .2 5;

(3) P ( B

| A) ?

?

? 0 .2;

(4) P ( A | B ) ? 2-2

P(AB) P(B)

?

P ( A) ? P ( AB ) 1 ? P(B)

?

0 .5 ? 0 .1 1 ? 0 .4

?

2 3

? 0 .6 6 6 7

因为 A、 B 是独立事件,所以有
P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ), P ( AB ) ? P ( A ) P ( B ), P ( A B ) ? P ( A ) P ( B )

(1) P ( A | B ) ?

P( AB) P(B)

?

P ( A)P (B ) P(B)

? 0 .3;

(2) P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ) P ( B ) ? 1 ? 0.7 ? 0.4 ? 0.72; (3) P ( B
| A) ? P(AB) P ( A) P ( AB ) P(B) ? P ( A)P (B ) P ( A) P ( A)P (B ) P(B) ? 0 .4;

(4) P ( A | B ) ? 2-3

?

? 0 .7

因为 AB ? A ? A ? B ,所以 P ( AB ) ? P ( A ) ? P ( A ? B ) 又因为 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB ) ,所以
P ( AB ) ? P ( A ) ? P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B )

当 A ? B 时,第一个不等式中的等号成立; 当 B ? A 时,第二个不等式中的等号成立; 当 AB ? ? 时,第三个不等式中的等号成立. 2-4 证明
P ( ( A? B ) C? ) P( A C ? B) ?C (P ?A) C ( P? B C ) ( P A C B C )

? ( P ( A ) ? P ( B )) P ( C ) ? P ( AB ) P (C ) ? ( P ( A ) ? P ( B ) ? P ( AB )) P ( C ) ? P ( A ? B ) P (C )

P ( ABC ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? P ( AB ) P ( C )

P (( A ? B ) C ) ? P ( A BC ) ? P ( A ) P ( B ) P ( C ) ? P ( A B ) P (C ) ? P ( A ? B ) P (C )

所以, A ? B、 A ? B、 AB 分别与 C 独立 2-5 设 A ={射手击中目标}, 1 ={第一次击中目标}, 2 ={第二次击中目标}, 3 ={第 A A A
k 100
P ( A ) ? P ( A1 ) ? P ( A1 ) P ( A | A1 ) ? P ( A2 ) P ( A | A2 ) ? P ( A3 ) P ( A | A3 )
6 0 0? 4 . ? 1 5 0 ? ?0? . 4 ? ? 6 0 ? 1? ? 1 5 0 ? 6 0 ? 2 0 0

三次击中目标}.有题意可知,

? 0.6 ,即 k ? 60 ;

? 0 . 6 ?

0 . 8 3 2

2-6

设 A1 ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数},设 A2 ={投掷两颗骰子的点数之和

为奇数}, B1 ={点数和为 8}, B 2 ={点数和为 6}
5

(1) P ( B1 | A1 ) ?

P ( A1 B1 ) P ( A1 )

?

C 6C 6
1 1

1

1 1 1

C 3C 3 ? C 3C 3 C 6C 6
1 1

?

5 18



6?2

(2) P ( B 2 | A 2 ) ?

P ( A2 B 2 ) P ( A2 )

?

C 6C 6
1 1

1

1 1 1

C 3C 3 ? C 3C 3 C 6C 6
1 1

?

12 18



6?2

(3) P ( A 2 | B 2 ) ?

P ( A2 B 2 ) P ( B2 )

?

C 6C 6 21 C 6C 6
1

1

1

?

12 21

1

2-7

设 A ={此密码能被他们译出},则
P ( A) ?
1

1 5

?

4 5

?

1 3

?

4 5

?

2 3

?

1 4

? 0.6
1

2-8

P (B | A) ?

P( AB) P ( A)

?

C10 C10 1 C10
1

1

1

?

1 10

, P(A | B) ?

P( AB) P(B)

?

C10 C10 6 C10 C10
1 1

1

1

?

1 6

2-9

设 A ={第一次取得的全是黄球}, B ={第二次取出黄球、白球各一半},则
P ( A) ? C 20 C 30
5 5 5

? 0 .1, P ( B | A ) ?

C10C 15 C 25
5 10

5

5

所以 2-10

P ( A B) ?

C C C P( A P( B | ? A 1 01 0 1 55 ) ) C2 5 3 0 C

5 2 0

设 A1 ={第一次取得的是黄球}, A2 ={第二次取得的是黄球}, A3 ={第三次取

得的是白球},则
P ( A1 ) ? Cb
1 1

C a?b

, P ( A 2 | A1 ) ?

Cb?c C a?b?c
1

1

, P ( A 3 | A1 A 2 ) ?

Ca
1

1

C a?b?2c

所以

P( A A A? ) 1 2 3

P (
Cb
1 1

1

A )
1

P (

2

A|

1

A )
1 a ?b

P 3 A| (

1

A2 A )

?

?
b

Cb ? C
1 a ?

c b ?

?
c

C C
1

C a?

?2 a

c

?

b?c a ? ? a ? b a ? b ? c a ? b ? 2c b

2-11

设 A ={这批货获得通过}, B ={样本中恰有一台次品}, A ={这批空调设备退

货}; D ={第一次抽的是合格品}, E ={第二次抽的是合格品} (1) P ( A ) ? P ( D ) P ( E | D ) ?
67 70 ? 66 69 ? 1474 1610
67 70 ? 3 69 ? 3 70 ? 67 69 ? 134 1610 ;

;

(2) P ( B ) ? P ( D ) P ( E | D ) ? P ( D ) P ( E | D ) ? (3) P ( A ) ? 1 ? P ( A ) ? 2-12 品} (1) P ( A ) ?
C18 ? 24 C 3000
1 1 1

136 1610

设 A ={选出的产品是次品}, B1 ={产品是由 厂生产}, B ={选出的产品是正

?

42 3000

;

(2) P ( B1 |

A) ?

C18 C 18 ? 24
1

1

?

18 42

;

(3) P ( B1 | B ) ? 2-13

C1782 C 1 7 8 2 ?1 7 6
1

?

1782 2958

设 A ={检验为次品}, B ={实际为正品} (1) P ( A ) ? 5% ? 90% ? 95% ? 1% ? 0.0545;

(2) P ( B 2-14

| A) ?

P(B)P( A | B) P ( A)

?

95% ? 1% 0 .0 5 4 5

? 0 .1 7 4 3

设 A ={这位学生选修了会计}, B ={这位学生是女生} (1) P ( AB ) ? P ( B ) P ( A | B ) ? 0.6 ? 6% ? 0.036; (2) P ( A B ) ? P ( B ) P ( A | B ) ? 0.4 ? 90% ? 0.36; (3) P ( A)? P ( A ( B ? B )) ? P ( AB ) ? P ( A B )
? P(B)P( A | B) ? P(B)P( A | B)
? 0.6 ? 6% ? 0.4 ? 10% ? 0.076

2-15

设 A ={此人被诊断为患肺癌}, B ={此人确实患肺癌} (1) P ( B
| A) ? P( AB) P ( A) ? 98% ? 3% 98% ? 3% ? 97% ? 1% ? 0 .7 5 1 9;

(2) P ( B

| A) ?

P(B)P( A | B) P ( A)

?

3% ? 2% 2% ? 3% ? 97% ? 99%

? 0 .0 0 0 1;

(3)对于被检查者,若被查出患肺癌,可不必过于紧张,还有约 25%的可 能没有患肺癌,可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言,若检查结 果是未患肺癌,则被检查者基本上是没有患肺癌的. 2-16 设 A ={收到信息为 0}, B ={发送信息为 0},则有
P ( A) 0.7 ? (1 ? 0.02) ? 0.3 ? 0.01 ? 0.689 ? P ( AB) 0.7 ? (1 ? 0.02) ? 0.686 ?
P ( A B) 0 . 6 8 6 6 8 6 ? ? P ( A) 0 .6 8 9 689

所以 2-17

P ( B | A) =

设 A1 ={这批计算机是畅销品}, A2 ={这批计算机销路一般}, A3 ={这批计算

机是滞销品}, B ={试销期内能卖出 200 台以上}.根据题意有
P ( A1 ) ? 0.5, P ( A2 ) ? 0.3, P ( A3 ) ? 0.2 P ( B | A1 ) ? 0.9, P ( B | A2 ) ? 0.5, P ( B | A3 ) ? 0.3

(1) P ( A1 | B ) ?
?

P ( A1 B ) P(B)

?

P ( A1) P ( B | A1) P ( A1) P ( B | A1) P ( A 2) P ( B | A 2) P ( A 3) P ( B | A 3) ? ?

0 .5 ? 0 .5 ? 0? 9 .
?

0 .9

?0 . 3 ? 0 .? 5
? 0 .2 4 2;

?0 .7 2 6; 0 .2 0 .1

(2) P ( A 2

| B) ?

P ( A2 B ) P(B) P ( A3 B ) P(B)

0 .1 5 0 .6 2 0 .0 2 0 .6 2

(3) P ( A3

| B) ?

?

? 0 .0 3 2;

(4) P ( A3 | B ) ? 1 ? P ( A3 | B ) ? 1 ? 0.032 ? 0.968 2-18 设 A ={硬币抛掷出现正面}, B i ={硬币是第 i 个硬币} ( i =1,2,3,4,5) B ={抛 ,

掷又出现字面} (1) P ( A ) ? P ( AB1 ) ? P ( AB 2 ) ? ? ? P ( AB 5 )
? P ( B1 ) P ( A | B1 ) ? P ( B 2 ) P ( A | B 2 ) ? ? ? P ( B 5 ) P ( A | B 5 )

? 0?

1 5

?

1 4

?

1 5

?

1 2

?

1 5

?

3 4

?

1 5

? 1?

1 5

?

1 2

;
1 ? 1

(2) P ( B 1 |

A) ?

P ( A B1 ) P ( A)

? 0,

P ( B2 | A) ?

P ( A B2 ) P ( A)

? 4

5 ? 1 , 1 10 2 3 1 5 ? 3 , 10

1 P ( B3 | A ) ? P ( A B3 ) P ( A) 1 P ( B5 | A ) ? P ( A B5 ) P ( A) ? 2

? 1 2

1 5 ? 1 , 5 P ( B4 | A) ? P ( A B4 ) P ( A)

? 1 2

? 4

2 ? 5 ? 1 5 2



(3) P ( B ) ? 0 ? 0 ? 2-19

1 10

?

1 4

?

1 5

?

1 2

?

3 10

?

3 4

?

2 5

? 1 ? 0.75

设 A1 ={一人击中}, A2 ={两人击中}, A3 ={三人击中}, B ={飞机被击落}.根据

题意有
P ( A1 ) ? 0.4 ? 0.5 ? (1 ? 0.7) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.3 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.36, P ( A2 ) ? 0.4 ? 0.5 ? (1 ? 0.7) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.37 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.41,

P ( A3 ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.7 ? 0.14, P ( B | A1 ) ? 0.2, P ( B | A2 ) ? 0.6, P ( B | A3 ) ? 1

所以

P ( B )?

P ( 1 A ) P ( B 1| ? ) A

P ( A ) P ( 2B? A ) | 2

3

P( A ) P( B | A ) 3

? 0.36 ? 0.2 ? 0.41 ? 0.6 ? 0.14 ? 1 ? 0.458

2-20

设 A ={这批元件能出厂},则
95 ? 4 ? P ( A ) ? ( 4 % ? 0 .0 5 ? 9 6 % ? 0 .9 9 ) ? ? ? 0 .0 5 ? ? 0 .9 9 ? ? 99 ? 99 ? ? 4 ?0 . 0? 5 ? ?9 8 9 4 ? 0 ?9 9 ? . 9? 8

?0 .8 6 3 9

2-21

(1)设 A ={这批产品经检验为合格品},则
P ( A) ? 1 5 12 4 17 5 ? ? 20 ?? ? 0 .9 6 ? ? 0 .0 6 ? ? 0 .9 6 ? ? 0 .0 6 ? ? 0 .9 6 ? 0 .0 6 ? ? 3 ? 25 25 16 16 22 22 ?

? 0.757

(2)设 B ={产品真是合格品},则
1 P (B | A) ? P( AB) P ( A) ? 12 17 ? 20 ? ?? ? 0 .9 6 ? ? 0 .9 6 ? ? 0 .9 6 ? 3 ? 25 16 22 ? 0 .7 5 7

? 0 .9 8 2


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