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黑龙江省伊春市第二中学2018届高三上学期第一次月考数学理试题 含答案 精品

伊春市二中 2017——2018 学年度高三上学期 第一次月考数学试卷(理科)
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 M ? ?1, 4? , N ? ?1,3,5? ,则 N I ? CU M ? ? ( A. ?1,3? 2.复数 A. i B. ?1,5? ) C.1 D. ?1 ) C. ?3,5? D. ?4,5? )

3?i 的实部是( i?2
B. ?i

3.已知点 P ? tan ? ,cos ? ? 在第三象限,则角 ? 的终边在第几象限( A.第一象限 4. cos B.第二象限 ) C.第三象限

D.第四象限

11? ?( 3

A.

3 2

B. ?

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2


5.已知 ? 是第一象限角, tan ? ? A.

4 5

B.

3 5

3 ,则 sin ? 等于( 4 4 3 C. ? D. ? 5 5

6.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 ,则 ?ABC 是( A.直角三角形 形 7.函数 y ? Asin ??x ? ? ? 的部分图象如图所示,则( ) B.钝角三角形 C.锐角三角形

) D.等腰直角三角

A. y ? 2sin ? 2 x ?

? ? ? ?

??
? 6? ? 6?

B. y ? 2sin ? 2 x ?

? ? ? ?

??
? 3? ? 3?


C. y ? 2sin ? 2 x ?

??

D. y ? 2sin ? 2 x ?

??

8.过点 A ?1, ?1? 、 B ? ?1,1? ,且圆心在 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程是( A. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

B. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

D. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

9.函数 y ?

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
B. ?



A.

2 ?1 2

2 ?1 2 ? ?

C. 1 ?

2 2

D. 1 ?

2 2

10.已知函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ①图象 C 关于直线 x ? ②函数在区间 ? ?

??

? 的图象为 C 3?

11? 对称; 12

? ? 5? ? 上是增函数; , ? 12 12 ? ?

③把 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位可得到图象 C . 3
) D.3

以上三个论断中,正确的个数是( A.0 B.1 C.2
2

11.设 a ? b ,函数 y ? ? x ? a ?

? x ? b ? 的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

12.设 f ? x ? , g ? x ? 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时,

f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g? ? x ? ? 0 且 g ? 4? ? 0 ,则不等式 f ? x ? g ? x ? ? 0 的解集为(



A. ? ?4,0? U? 4, ??? C. ? ??, ?4? U? 4, ???

B. ? ??, ?4? U? 0,4? D. ? ?4,0? U? 0,4?

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.点 P ?1, ?1? 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离是 .

14.两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 1km ,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 15.设圆 x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的弦 AB 的中点为 P ? 3,1? ,则直线 AB 的方程是 . .

16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值 为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. )
17.已知直线 l1 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0 ,求 l2 的方程,使得: (1) l2 与 l1 平行,且过点 ? ?1,3? ; (2) l2 与 l1 垂直,且 l2 与两坐标轴围成的三角形面积为 4. 18.已知直线 L 的斜率是 2,且被圆 x ? y ? 25 截得的弦长为 8,求直线 L 的方程.
2 2

19.设函数 f ? x ? ? 3 cos x ? sin x cos x ?
2

3 . 2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期 T 及最大值; (2)求函数 f ? x ? 的单调递增区间.

b, c ,若 b cos C ? ?2a ?c ?cos B , 20.在 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 的对边分别为 a ,
(1)求∠B 的大小; (2)若 b ?

7 , a ? c ? 4 ,求 a , c 的值.
2

b, c ,且 ? a ? c ? ? b 2 ? 3ac . 21.在 ?ABC 中, ? A , ? B , ?C 的对边分别为 a ,

(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 2 ,且 sin B ? sin ?C ? A? ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积. 22.已知函数 f ? x ? ?

2ax ? a 2 ? 1 ? x ? R ? ,其中 a ? R . x2 ? 1

(1)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 2, f ? 2? 处的切线方程; (2)当 a ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

?

?

伊春市二中 2017——2018 学年度高三上学期 第一次月考数学试卷(理科)答案 一、选择题
1-5:CCBAB 6-10:BACDC 11、12:CA

二、填空题
13.

3 2 2

14. 3km

15. x ? y ? 4 ? 0

16.

4 3

三、解答题
17.解: (1)设 l2 : 3x ? 4 y ? m ? 0 , ∵ l2 过点 ? ?1,3? , ∴m ?9. ∴ l2 方程为 3x ? 4 y ? 9 ? 0 .

3 3 k ? ? , y ? 3 ? ? ? x ? 1? . 4 4
(2)设 l2 : 4 x ? 3 y ? n ? 0 ,设 l2 与 x 轴交于点 A ? ?

? ? ? ,0?, ? 4 ?

与 y 轴交于点 B ? 0,

? ?

n? ?. 3?

∴ S?AOB ?
2

1 n n ? ? 4. 2 4 3

∴ n ? 96 . ∴ n ? ?4 6 . ∴ l2 方程为 4x ? 3 y ? 4 6 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 4 6 ? 0 .

y?

4 4 6 ? 3 3

18.设 l : y ? 2 x ? b 即 2 x ? y ? b ? 0

由?

? y ? 2x ? b
2 2 ? x ? y ? 25

得 5x ? 4bx ? b ? 25 ? 0
2 2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ∴ x1 ? x2 ? ?

4b b 2 ? 25 , x1 x2 ? 5 5

?16b 2 4b 2 ? 100 ? ? ∴ AB ? 5 ? ? ? ?8 5 ? 25 ?
∴ b ? ?3 5 ∴直线方程为 y ? 2x ? 3 5 19.解: f ? x ? ? (1) T ? ? 当 2x ? 即x?

3 ?1 ? cos 2 x ? 1 3 1 3 ?? ? ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin ? 2 x ? ? 2 2 2 2 2 3? ?

?
3

?

?
2

? 2 k?

?

12

? k? ? k ? Z ? 时

f ? x ? 取最大值为 1
(2)令 ?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k ? ? k ? Z ?

∴ f ? x ? 的单调增区间为 ? ?

? ? 5? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 12 ? 12 ?

20.解: (1)由已知得 sin B cos C ? 2sin A ? cos B ? sin C ? cos B ∴ sin ? B ? C ? ? 2sin A ? cos B ∵B?C ?? ? A ∴ sin A ? 2sin A ? cos B ∵ A, B ? ? 0, ? ? ∴ cos B ?
2

1 ? ,B ? 2 3
2 2

(2)∵ b ? a ? c ? 2ac cos B 即 T ? ? a ? c ? ? 3ac
2

∴ 3ac ? 16 ? 7 ? 9 ∴ ac ? 3 ∵a?c ? 4 ∴ a ? 1, c ? 3或 a ? 3,c ? 1 21.解: (1)由已知得 a ? c ? b ? ac
2 2 2

即 cos B ?

1 2

∵ B ? ? 0, ? ? ∴ B ?

?
3

(2)∵ sin B ? sin ?C ? A? ? 2sin 2 A ∴ sin B ? sin ?? ? B ? 2 A? ? 2sin 2 A ∵B ?

?
3



3 ? 2? ? ? sin ? ? 2 A ? ? 2sin 2 A 2 ? 3 ?
3 3 1 ? cos 2 A ? sin 2 A ? 2sin 2 A 2 2 2 3 3 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2 2 2 ? ?





∴ sin ? 2 A ?

??

1 ?? 6? 2

∵ A ? ? 0,

? ?

2? ? ? 3 ?

∴ 2A ? ∴ 2A ? ∴A? ①A?

?
?

? ? 7? ? ?? ? , ? 6 ? 6 6 ?
6 ?

?
6

或 2A ?

?
6

?

?
?

6
2

或A? ,B ?

?
2

5? 6

?
3

,C ?

?
6

, b ? 2 时, c ?

2 3 3

1 2 3 S ? bc ? 2 3
②A?

?
6

,B ?

?
3

,C ?

?
2

, b ? 2 时, a ?

2 3 3

S?

1 2 3 ac ? 2 3 2 3 3
2x x ?1
2

综上: ?ABC 的面积为

22.解: (1) a ? 1 时, f ? x ? ? ∴ f ? 2? ?

f ?? x? ?

2 ? x 2 ? 1? ? 4 x 2

4 5

?x

2

? 1?

2

?

?x

2 ? 2 x2
2

? 1?

2

∴ f ? ? 2? ?

?6 25 4 6 ? ? ? x ? 2? 5 25

∴切线方程为 y ?

即 6 x ? 25 y ? 32 ? 0

(2) f ? ? x ? ?

2a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? 2ax ? a 2 ? 1?

?x

2

? 1?

2

?

2 2 ? ?2 ? ? ax ? ? a ? 1? x ? a ?

?x

2

? 1?

2

?

? ? ax ? 1?? x ? a ?

?x

2

? 1?

2

令 f ? ? x? ? 0 得 x ? ? ① a ? 0 时, ?

1 或x?a a

1 ? 0 (开口向上) a

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 变化情况如下表:

x

? ??, a?
?

a

1? ? ? a, ? ? a? ?
?

?

1 a

? 1 ? ? ? , ?? ? ? a ?

f ? ? x?

0

0

?

f ? x?

Z

极大值 1

]

?a 2

Z

∴ f ? x ? 的增区间为 ? ??, a ? , ? ?

1? ? 1 ? ? , ?? ? ,减区间为 ? a, ? ? a? ? a ? ?

当 x ? a 时, f ? x ? 取极大值为 1,

1 2 时, f ? x ? 取极小值为 ? a a 1 ② a ? 0 时, ? ? 0 (开口向下) a
当x?? 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 变化情况如下表

x

1? ? ? ??, ? ? a? ?
?
]

?

1 a

? 1 ? ?? ,a? ? a ?

a

? a, ???
?
]

f ? ? x? f ? x?
? ?

0 极小值 ? a
2

?
Z

0 极大值 1

∴ f ? x ? 的减区间为 ? ??, ? 当x??

1? ? 1 ? ? , ? a, ??? ,增区间为 ? ? , a ? a? ? a ?

1 2 时, f ? x ? 取极小值为 ? a a

当 x ? a 时, f ? x ? 取极大值为 1
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