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2016-2017学年山东省潍坊市临朐县高三(上)质检数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年山东省潍坊市临朐县高三(上)质检数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={y|y=2 ﹣1,x≥0},则 A∩B=( A.? B.[0,1)∪(3,+∞) C.A D.B 2. (5 分)若 a∈R,则“a=0”是“cosa>sina”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( ) 3 A.f(x)=x ,x∈(﹣3,3) B.f(x)=tanx C.f(x)=x|x| D. 4. (5 分)已知 A. B. <α<π,3sin2α=2cosα,则 cos(α﹣π)等于( C. D. )
2 x



5. (5 分)已知 x,y 满足约束条件 A. B. C .7 D.不存在

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 3 倍,则 a 的值是(



6. (5 分)如图,阴影区域的边界是直线 y=0,x=2,x=0 及曲线 y=3x ,则这个区域的面积是(

2



A.4

B.8

C.

D. sin( +πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再

7. (5 分)将函数 f(x)=

把图象上所有的点向右平移 1 个单位,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的单调递减区间是( ) A.[2k﹣1,2k+2](k∈Z) B.[2k+1,2k+3](k∈Z) C.[4k+1,4k+3](k∈Z) D.[4k+2,4k+4] (k∈Z) 8. (5 分)若 a>b>1,0<c<1,则下列不等式错误的是( ) c c c c A.a >b B.ab >ba C.logac>logbc D.alogbc>blogac 9. (5 分)已知函数 f(x)= ,若函数 y=f(x)﹣4 有 3 个零点,则实数 a 的值为( )

A.﹣2 B.0 C .2 D.4 10. (5 分)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“理想集合”.给出下列 5 个集合: ①M={(x,y)|y= };②M={(x,y)|y=x ﹣2x+2};③M={(x,y)|y=e ﹣2};
1页
2 x

④M={(x,y)|y=lgx};⑤M={(x,y)|y=sin(2x+3)}. 其中所有“理想集合”的序号是( ) A.①② B.③⑤ C.②③⑤ D.③④⑤ 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11. (5 分)已知 2cos x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0) ,则 A= ,b= 12. (5 分)已知曲线 y=3x﹣lnx,则其在点(1,3)处的切线方程是 . 13. (5 分) 若实数 a>0, b>0, 且 + =1, 则当 14. (5 分)已知 cos(α﹣ )+sinα=
2


|x﹣1|﹣|x+2|

的最小值为 m 时, 不等式 m )的值是 .

<1 解集为



,则 cos(α+

15. (5 分)已知 R 上的不间断函数 g(x)满足: ①当 x>0 时,g'(x)>0 恒成立; ②对任意的 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) . 又函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,都有 f( +x)=﹣f(x)成立,当 x∈[0, ]时,f(x)=x ﹣3x. 2 若关于 x 的不等式 g[f(x)]≤g(a ﹣a+2) ,对于 x∈[2﹣3 ,2+3 ]恒成立,则 a 的取值范围为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) x 2 16. (12 分) 已知命题 p: 指数函数 y= (a﹣1) 在 R 上是单调函数; 命题 q: ? x∈R, x﹣ (3a﹣2) x+1=0. 若 命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知函数 f(x)=cosx(cosx+ sinx) . (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,S△ABC= 的周长. 18. (12 分)设函数 f(x)=2x+log3 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对于区间[2,3]上的每一个 x 值,不等式 f(x)>( ) ?m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 19. (12 分) 某企业共有 20 条生产线, 由于受生产能力和技术水平等因素的影响, 会产生一定量的次品. 根 据经验知道,每台机器产生的次品数 p 万件与每台机器的日产量 x 万件(4≤x≤12)之间满足关系: 2 p=0.1125x ﹣3.6lnx+1.已知每生产 1 万件合格的产品可以以盈利 3 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万 元. (Ⅰ)试将该企业每天生产这种产品所获得的利润 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)当每台机器的日产量为多少时,该企业的利润最大,最大为多少?
x 3

,c =7,若 f(C)=1,求△ABC

2

为奇函数,a 为常数.

20. (13 分)设 x,y 均为非零实数,且满足

=tan



(1)求 的值; (2)在△ABC 中,若 tanC= ,求 sin2A+2cosB 的最大值.

2页

21. (14 分)已知函数 f(x)=

+1(a≠0) .

(Ⅰ)若函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线方程为 x﹣2y+1=0,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值; 2 mx (Ⅲ)若 a>0,g(x)=x e ,且对任意的 x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数 m 的取值 范围.

3页

2016-2017 学年山东省潍坊市临朐县高三(上)质检数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 2 x 1. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)已知集合 A={x|x ﹣4x+3<0},B={y|y=2 ﹣1,x≥0},则 A∩B=( ) A.? B.[0,1)∪(3,+∞) C.A D.B 【分析】求解一元二次不等式化简集合 A,求解函数的值域化简 B,然后直接利用并集运算得答案. 2 x 【解答】解:A={x|x ﹣4x+3<0}=(1,3) ,B={y|y=2 ﹣1,x≥0}=[1,+∞) , ∴A∩B=(1,3)=A, 故选:C. 【点评】本题考查并及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题. 2. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)若 a∈R,则“a=0”是“cosa>sina”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】运用充分必要条件的判断,通过举例即可得到结论. 【解答】解:a=0 时,cosa=1,sina=0,cosa>sina 成立, 则“a=0”是“cosa>sina”的充分条件; a=﹣ ≠0,cosa>sina 成立, )

故“a=0”是“cosa>sina”的充分不必要条件. 故选:B. 【点评】本题考查充分必要条件的判断,注意运用三角函数的图象和性质,考查推理能力,属于基础题. 3. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( 3 A.f(x)=x ,x∈(﹣3,3) B.f(x)=tanx C.f(x)=x|x| D. 【分析】根据函数的奇偶性的定义,单调性的定义判断,从而可得答案. 3 【解答】解:A、∵f(x)=x ,定义域为(﹣3,3) , 3 3 ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,x1<x2,则 x1 <x2 , 3 ∴f(x)=x 是奇函数又是增函数,不正确, B、f(x)=tanx 在定义域上不是减函数,不正确, C、f(x)=x|x|=
﹣x



,在定义域上不是减函数,不正确,
x x
﹣x

D、f(x)=(e ﹣e )ln2,f(﹣x)=(e ﹣e )ln2=﹣f(x) ,是奇函数,且在定义域上是减函数,正确, 故选 D. 【点评】本题考查了常见函数的单调性,奇偶性,注意定义域,单调区间的定义,属于中档题.

4. (5 分) (2016?广西一模)已知

<α<π,3sin2α=2cosα,则 cos(α﹣π)等于(
4页



A.

B.

C.

D.

【分析】由条件求得 sinα 和 cosα 的值,再根据 cos(α﹣π)=﹣cosα 求得结果. 【解答】解:∵ <α<π,3sin2α=2cosα, . )= ,

∴sinα= ,cosα=﹣

∴cos(α﹣π)=﹣cosα=﹣(﹣

故选:C. 【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题.

5. (5 分) (2016 秋?思明区校级期中)已知 x,y 满足约束条件 3 倍,则 a 的值是( A. B. C .7 ) D.不存在

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的

【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,求出最优解,建立方程关系,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时,直线的截距最小, 此时 z 最小, 当直线 y=﹣2x+z 经过点 B 时,直线的截距最大, 此时 z 最大, 由 由 得 得 ,即 C(a,2a) ,此时 zmin=2a+2a=4a, ,即 B(1,2) ,此时 zmax=2+2=4,

∵z=2x+y 的最大值是其最小值的 3 倍, ∴3×4a=4,即 a= , 故选:A.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合结合目标函数的几何意义求出最优解是解决本题的 关键.

5页

6. (5 分) (2014 秋?临河区校级期中)如图,阴影区域的边界是直线 y=0,x=2,x=0 及曲线 y=3x ,则这 个区域的面积是( )

2

A.4

B.8

C.

D.

【分析】将阴影部分的面积是函数在[0,2]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题 答案. 【解答】解:这个区域的面积是 ,

故选 B. 【点评】本题考点是定积分在求面积中的应用,考查了作图的能力及利用积分求面积,解题的关键是确定 出被积函数与积分区间,熟练掌握积分的运算.

7. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)将函数 f(x)=

sin(

+πx)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2

倍(纵坐标不变) ,再把图象上所有的点向右平移 1 个单位,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)的单 调递减区间是( ) A.[2k﹣1,2k+2](k∈Z) B.[2k+1,2k+3](k∈Z) C.[4k+1,4k+3](k∈Z) D.[4k+2,4k+4] (k∈Z) 【分析】利用诱导公式、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:将函数 f(x)= 坐标不变) ,可得 y= sin( +πx)= cosπx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵

cos( πx)图象; cos[ π (x﹣1) ]═ cos ( π x﹣ ) = sin

再把图象上所有的点向右平移 1 个单位, 得到函数 g (x) = ( πx)的图象. 令 2kπ+ ≤ x≤2kπ+

,求得 4k+1≤x≤4k+3,k∈Z,

可得函数 g(x)的单调递减区间是[4k+1,4k+3](k∈Z, 故选:C. 【点评】本题主要考查诱导公式的应用,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 8. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)若 a>b>1,0<c<1,则下列不等式错误的是( ) c c c c A.a >b B.ab >ba C.logac>logbc D.alogbc>blogac 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质,结合不等式的基本性质,逐一分析四个答案的真假,可得 结论. 【解答】解:∵a>b>1,0<c<1, c c c ∴y=x 为增函数,a >b ,故 A 正确; c﹣1 c﹣1 c﹣1 c c y=x 为减函数,b >a ,又由 ab>0,可得 ab >ba ,故 B 正确;
6页

y=logcx 为减函数,∴logca<logcb<0,故 0>logac>logbc,故 C 正确; alogbc<blogac<0,故 D 错误; 故选:D 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了幂函数和对数函数的图象和性质,不等式的基本性 质,等知识点,难度中档.

9. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)已知函数 f(x)=

,若函数 y=f(x)﹣4 有 3 个零点,

则实数 a 的值为( ) A.﹣2 B.0 C .2 D.4 【分析】由题意求出 f(x)﹣4,由函数的零点与方程的根的关系,分别列出方程求解,结合条件即可求 出 a 的值. 【解答】解:由题意得,f(x)= ,

则 f(x)﹣4= 若 x≠3,由

, 得,x= 或 x= ;

若 x=3,则 a﹣4=0,则 a=4, 所以 a=4 满足函数 y=f(x)﹣4 有 3 个零点, 故选 D. 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系,分段函数的应用,考查转化思想,分类讨论思想的应 用,属于中档题. 10. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)已知集合 M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在 (x2,y2)∈M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,则称集合 M 是“理想集合”.给出下列 5 个集合: ①M={(x,y)|y= };②M={(x,y)|y=x ﹣2x+2};③M={(x,y)|y=e ﹣2}; ④M={(x,y)|y=lgx};⑤M={(x,y)|y=sin(2x+3)}. 其中所有“理想集合”的序号是( ) A.①② B.③⑤ C.②③⑤ D.③④⑤ 【分析】根据条件只需要判断满足 x1x2+y1y2=0 是否恒成立即可. 【解答】解:对于①,注意到 x1?x2+ ∈(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) ,故 x1?x2+ =0,即 x1x2+y1y2=0
2 x

无实数解,因此①不是; 2 2 对于②,y=x ﹣2x+2=(x﹣1) +1.当点(x1,y1)为(0,2)时,若 x1x2+y1y2=0,则 y2=0,不成立, ∴故②不是; 对于③,根据函数的图象,对于图象上任一点 P,在曲线上存在点与原点的连线,与 OP 垂直,故③是; 对于④,注意到对于点(1,0) ,不存在(x2,y2)∈M,使得 1×x2+0×lgx2=0,因为 x2=0 与真数的限制 条件 x2>0 矛盾,因此④不是 对于⑤,根据正弦函数的图象,对于图上任一点 P,在曲线上存在点与原点的连线与 OP 垂直,故⑤是. 故选:B.

7页

【点评】本题考查理想集合的定义,画出函数的图象,注意到对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈ M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,是本题解答的关键,函数的基本性质的考查. 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11. (5 分) (2016?浙江)已知 2cos x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0) ,则 A= 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案. 2 【解答】解:∵2cos x+sin2x=1+cos2x+sin2x =1+ = ( cos2x+ sin2x)
2

,b= 1 .

sin(2x+

)+1,

∴A= ,b=1, 故答案为: ;1. 【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键. 12. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)已知曲线 y=3x﹣lnx,则其在点(1,3)处的切线方程是 2x﹣y+1=0 . 【分析】求出曲线的导函数,把 x=1 代入即可得到切线的斜率,然后根据(1,3)和斜率写出切线的方程 即可. 【解答】解:由函数 y=3x﹣lnx 知 y′=3﹣ ,把 x=1 代入 y′得到切线的斜率 k=2, 则切线方程为:y﹣3=(x﹣1) ,2x﹣y+1=0. 故答案为:2x﹣y+1=0. 【点评】考查学生会根据曲线的导函数求切线的斜率,从而利用切点和斜率写出切线的方程.

13. (5 分) (2016 秋?吉州区校级期中)若实数 a>0,b>0,且 + =1,则当 等式 m
|x﹣1|﹣|x+2|

的最小值为 m 时,不

<1 解集为



【分析】利用基本不等式求出 m,利用指数函数的单调性转化不等式,即可得出结论. 【解答】解:∵实数 a>0,b>0,且 + =1, ∴ = ( + )= (4+ + )≥2,

∴m=2. 不等式 m ∴2x+1>0, ∴x>﹣ ∴不等式 m 故答案为
|x﹣1|﹣|x+2| |x﹣1|﹣|x+2|

<1 等价于|x﹣1|﹣|x+2|<0,

<1 解集为 .



【点评】本题考查基本不等式的运用,考查学生解不等式的能力,正确转化是关键.

8页

14. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)已知 cos(α﹣ 【分析】利用两角和差的三角公式,诱导公式求得﹣ 的值. 【解答】解:∵cos(α﹣ = cos(α﹣ )=﹣ )=﹣ , . )+sin α= cos(

)+sinα= cos(

,则 cos(α+ +α)=

)的值是 ﹣

. )

,从而求得 cos(α+

cosα+ sinα+sinα= ,

( cosα+

sinα )

+α)=

则 cos(α+ 故答案为:

【点评】本题主要考查两角和差的三角公式,诱导公式的应用,属于基础题. 15. (5 分) (2016 秋?临朐县月考)已知 R 上的不间断函数 g(x)满足: ①当 x>0 时,g'(x)>0 恒成立; ②对任意的 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) . 3 又函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,都有 f( +x)=﹣f(x)成立,当 x∈[0, ]时,f(x)=x ﹣3x. 2 若关于 x 的不等式 g[f(x)]≤g(a ﹣a+2) ,对于 x∈[2﹣3 ,2+3 ]恒成立,则 a 的取值范围为 (﹣ ∞,0]∪[1,+∞) . 【分析】由于函数 g(x)满足:①当 x>0 时,g'(x)>0 恒成立(g'(x)为函数 g(x)的导函数) ;② 对任意 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) ,这说明函数 g(x)为 R 上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数, 2 2 且有 g|(x|)=g(x) ,所以 g[f(x)]≤g(a ﹣a+2)?|f(x)|≤|a ﹣a+2|对 x∈[2﹣ ,2+3 ]恒 2 成立,只要使得|f(x)|在定义域内的最大值小于等于|a ﹣a+2|的最小值,然后解出即可 【解答】解:因为函数 g(x)满足:当 x>0 时,g'(x)>0 恒成立,且对任意 x∈R 都有 g(x)=g(﹣x) , 则函数 g(x)为 R 上的偶函数且在[0,+∞)上为单调递增函数,且有 g(|x|)=g(x) , 2 ∵关于 x 的不等式 g[f(x)]≤g(a ﹣a+2) ,对于 x∈[2﹣3 ,2+3 ]恒成立, 2 ∴|f(x)|≤|a ﹣a+2|对于 x∈[2﹣3 ,2+3 ]恒成立, 2 故只要使得定义域内|f(x)|max≤|a ﹣a+2|, 3 ∵对任意的 x∈R,都有 f( +x)=﹣f(x)成立,当 x∈[0, ]时,f(x)=x ﹣3x, ∴设 x∈[﹣ ,0],则 +x)= +x∈[0, ],故 f( +x)=

∴f(x)=﹣f(



当 x∈[﹣ 去) ∴f(x)在

,0]时,

,令 f'(x)=0,得

,或

(舍

上单调递增,则[ ,

,0]上单调递减,

当x 时,f'(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) ,令 f'(x)=0,得 x=1 ∴f(x)在[0,1]单调递减,在[1, ]单调递增,
9页

2

∴f(x)min=f(1)=﹣2, ∵对任意的 x∈R,都有 f( +x)=﹣f(x) ,

∴ ,即 f(x)为周期函数且周期为 T= , ∴x∈[2﹣3 ,2+3 ]时,f(x)max=2, 2 ∴|a ﹣a+2|≥2,解得 a≤0,或 a≥1 故答案为: (﹣∞,0]∪[1,+∞) . 【点评】此题考查了函数的奇偶性和周期性的定义,利用导函数判断函数在定义域上的单调性以及求函数 的最值,还考查了函数恒成立条件的应用,难度较大. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) x 16. (12 分) (2016 秋?临朐县月考)已知命题 p:指数函数 y=(a﹣1) 在 R 上是单调函数;命题 q:? x 2 ∈R,x ﹣(3a﹣2)x+1=0.若命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 【分析】分别求出 p,q 为真时的 a 的范围,通过讨论 p,q 的真假,得到关于 a 的不等式组,解出即可. 【解答】解:命题 p 为真命题,则 a﹣1>1 或 0<a﹣1<1. ∴a>2 或∴1<a<2.…(2 分) 命题 q 为真命题则(3a﹣2) ﹣4≥0,解得 a≤0 或
2

.…(4 分)

由命题 p∨q 为真命题,命题 p∧q 为假命题,可知命题 p、q 恰好一真一假.…(5 分) (1)当命题 p 真 q 假时, ,∴ .…(8 分)

(2)当命题 p 假 q 真时, 综上,实数 a 的取值范围为

,∴a≤0 或 a=2.…(11 分) .…(12 分)

【点评】本题考查了复合命题的判断,考查指数函数以及二次函数的性质,是一道基础题. 17. (12 分) (2016 秋?临朐县月考)已知函数 f(x)=cosx(cosx+ (Ⅰ)求 f(x)的最小值; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,S△ABC= 的周长. 【分析】 (Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 +sin(2C+ 即可得解最小值. (Ⅱ)由已知可求 sin(2C+ )= ,结合范围 2C+ ∈( , ) ,可求 C,利用三角形面积公式 ) ,利用正弦函数的性质 sinx) .
2

,c =7,若 f(C)=1,求△ABC

可求 ab,进而利用余弦定理可求 a+b 的值,即可得解. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) = 当 .…(4 分) 时,f(x)取最小值为 .…(6 分)
10 页

…(1 分)

(Ⅱ)∵f(C)= +sin(2C+ ∴sin(2C+ )= ,…7 分 ∈(

)=1,

∵C∈(0,π) ,2C+ ∴C= ,…9 分



) ,

∵S△ABC= absinC= ∴ab=3,…10 分 2 ∵c =7, ∴由余弦定理得 c =
2 2





∴(a+b) =16,即 a+b=4, ∴ ,…(11 分) 所以△ABC 的周长为 .…(12 分) 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,正弦函数的性质,三角形面积公式,余弦定理在解三 角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.

18. (12 分) (2016 秋?临朐县月考)设函数 f(x)=2x+log3 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间;

为奇函数,a 为常数.

(Ⅲ)若对于区间[2,3]上的每一个 x 值,不等式 f(x)>( ) ?m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ) 都成立,即可求实数 a 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,则函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ,即可 为奇函数为奇函数,可得 f(﹣x)+f(x)=0 对定义域内的任意 x

x

讨论函数 f(x)的单调性,并写出单调区间; (Ⅲ)由题意知不等式 在 x∈[2,3]上恒成立,即不等式 在 x∈[2,3]上恒成

立,即可求实数 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ) 为奇函数,

∴f(﹣x)+f(x)=0 对定义域内的任意 x 都成立.…(1 分) 即 ∴
2 2 2 2

对定义域内的任意 x 都成立.…(2 分) ,∴ ,

∴1﹣x =1﹣a x ,∴a =1,…(3 分) 解得 a=﹣1 或 a=1(舍去) ,所以 a=﹣1.…(4 分)

11 页

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 分) 任取 x1,x2∈(1,+∞) ,设 x1<x2,则 ∴函数

,则函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .…(5



为增函数,∴y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,…(7 分)

同理函数 f(x) (﹣∞,﹣1)也为增函数. 所以函数 f(x)的单调增区间为(1,+∞) , (﹣∞,﹣1) .…(8 分) (Ⅲ)由题意知不等式 即不等式 在 x∈[2,3]上恒成立,

在 x∈[2,3]上恒成立.…(9 分)

令函数

,由(Ⅱ)知函数 y=f(x)在 x∈[2,3]上是增函数,

∵函数

在 x∈[2,3]上是减函数,∴函数 y=g(x)在 x∈[2,3]上是增函数,

∴g(x)min=g(2)=16﹣4log33=12.…(11 分) 所以 m 的取值范围为(﹣∞,12) .…(12 分) 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性,考查学生的计算能力,考查恒成立问题,属于中档题. 19. (12 分) (2016 秋?临朐县月考)某企业共有 20 条生产线,由于受生产能力和技术水平等因素的影响, 会产生一定量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数 p 万件与每台机器的日产量 x 万件(4≤x≤ 12)之间满足关系:p=0.1125x ﹣3.6lnx+1.已知每生产 1 万件合格的产品可以以盈利 3 万元,但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元. (Ⅰ)试将该企业每天生产这种产品所获得的利润 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)当每台机器的日产量为多少时,该企业的利润最大,最大为多少? 【分析】 (Ⅰ)利用已知条件直接列出该企业每天生产这种产品所获得的利润 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)利用(Ⅰ)求解函数的导数,利用函数的极值以及单调性,求解函数的最值即可. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)根据题意,该企业所得利润为:y=20?[3(x﹣p)﹣p]=20(3x﹣4p)=60x﹣80p…(2 分) 2 2 =60x﹣80(0.1125x ﹣3.6lnx+1)=60x﹣9x +288lnx﹣80(4≤x≤12) .…(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知: …(6 分)
2

= 令 y'=0,可得 x=6 或 .…(8 分)



从而当 4<x<6 时,y'>0,函数在(4,6)上为增函数; 当 6<x<12 时,y'<0,函数在(6,12)上为减函数.…(9 分) 所以当 x=6 时函数取得极大值,
12 页

即当 x=6 时,

,…(12 分)

所以每台机器的日产量为 6 万件时,该企业的利润最大, 最大利润为 288ln6﹣44(万元) .…(13 分) 【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的解析式的求法,考查分析问题解决问题的能力.

20. (13 分) (2016 秋?临朐县月考)设 x,y 均为非零实数,且满足

=tan



(1)求 的值; (2)在△ABC 中,若 tanC= ,求 sin2A+2cosB 的最大值. 【分析】 (1) 令 tanθ= , 利用两角和的正切公式化简条件可得 tan ( k∈Z,由此求得 tanθ= 的值. + ,再利用 +θ ) =tan , 可得 +θ= +kπ,

(2)在△ABC 中,若 tanC= =1,利用三角恒等变换化简 sin2A+2cosB 为﹣2 二次函数的性质,求得它的最大值.

【解答】解: (1)∵x,y 均为非零实数,且满足

=tan

=



令 tanθ= ,则

=tan

,即 tan(

+θ)=tan





+θ=

+kπ,k∈Z, ,∴tanθ= =1. ,∴A+B= ,
2

即 θ=kπ+

(2)在△ABC 中,若 tanC= =1,则 C= ∴sin2A+2cosB=sin2( 故当 cosB= ,即 B=

﹣B)+2cosB=﹣cos2B+cosB=﹣2cos B+2cosB+1=﹣2 时,sin2A+2cosB 取得最大值为 .

+ ,

【点评】本题主要考查两角和的正切公式,三角恒等变换,二次函数的性质,属于中档题. 21. (14 分) (2016 秋?临朐县月考)已知函数 f(x)= +1(a≠0) .

(Ⅰ)若函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线方程为 x﹣2y+1=0,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的极值;

13 页

(Ⅲ)若 a>0,g(x)=x e ,且对任意的 x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求实数 m 的取值 范围. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,结合切线方程求出 a 的值即可; (Ⅱ)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可; (Ⅲ)问题转化为当 a>0 时,对任意的 x1,x2∈[0,2],fmin(x)≥gmax(x)成立”,通过讨论 a 的范围, 结合函数的单调性,分别求出函数 f(x)的最小值和 g(x)的最大值,从而求出 m 的范围即可. 【解答】解: (Ⅰ) ,∴f'(0)=a.…(3 分)

2 mx

函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线方程为 x﹣2y+1=0∴ (Ⅱ)由题意可知,函数 f(x)的定义域为 R,

.…(4 分)

.…(6 分) 当 a>0 时,x∈(﹣1,1) ,f'(x)>0,f(x)为增函数, x∈(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) ,f'(x)<0,f(x)为减函数, 所以 , .

当 a<0 时,x∈(﹣1,1) ,f'(x)<0,f(x)为减函数, x∈(﹣∞,﹣1) , (1,+∞) ,f'(x)>0,f(x)为增函数, 所以 , .…(8 分)

(Ⅲ)“对任意的 x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立” 等价于“当 a>0 时,对任意的 x1,x2∈[0,2],fmin(x)≥gmax(x)成立”, 当 a>0 时,由(Ⅱ)可知,函数 f(x)在[0,1]上单调递增,在[1,2]上单调递减, 而 f(x)=tanx,所以 f(x)的最小值为 f(0)=1,g'(x)=2xe +x e ?m=(mx +2x)e , 2 当 m=0 时,g(x)=x ,x∈[0,2]时,gmax(x)=g(2)=4,显然不满足 gmax(x)≤1,…(10 分) 当 m≠0 时,令 g'(x)=0 得,x1=0, (ⅰ)当 所以 (ⅱ)当 在 只需 (ⅲ)当 ,
mx 2 mx 2 mx

,即﹣1≤m<0 时,在[0,2]上 g'(x)≥0,所以 g(x)在[0,2]单调递增, ,只需 4e ≤1,得 m≤﹣ln2,所以﹣1≤m≤﹣ln2.…(11 分) ,即 m<﹣1 时,在 ,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以 ,得 ,所以 m<﹣1.…(12 分) ,g'(x)≥0,g(x)单调递增, ,
2m

,即 m>0 时,显然在[0,2]上 g'(x)≥0,g(x)单调递增, ,4e ≤1 不成立,…(13 分)
2m

综上所述,m 的取值范围是(﹣∞,﹣ln2].…(14 分)

14 页

【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想, 转化思想,是一道综合题.

15 页

2017 年 1 月 8 日

16 页



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